【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第2章 4 导数的四则运算法则]

第二章

§4

一、选择题 1.曲线 y=2x3-6x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是( A.(-1,4) C.(-1,-4)或(1,4) [答案] D [解析] y′=(2x3-6x)′=6x2-6, 由 y′=0,得 x=1 或 x=-1. 代入 y=2x3-6x,得 y=-4 或 y=4, 即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4). 2.(2014· 合肥一六八高二期中)下列函数中,导函数是奇函数的是( A.y=sinx C.y=lnx [答案] D [解析] 由 y=sinx 得 y′=cosx 为偶函数,故 A 错;又 y=ex 时,y′=ex 为非奇非偶 1 函数,∴B 错;C 中 y=lnx 的定义域 x>0,∴C 错;D 中 y=cosx- 时,y′=-sinx 为奇函 2 数,∴选 D. x2 1 3.已知曲线 y= -3lnx 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2 A.3 C.1 [答案] A 1 3 1 [解析] y′= x- = , 2 x 2 ∴x2-x-6=0, 解得 x1=3,x2=-2. 又∵x>0,∴x=3. 二、填空题 4.(2014· 杭州质检)若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f ′(x)>0 的解集为________. [答案] (2,+∞) [ 解析 ] 4 由 f(x)= x2- 2x-4lnx,得函数定义域为 (0,+ ∞),且 f ′(x)= 2x- 2- = x B.2 1 D. 2 ) B.y=ex 1 D.y=cosx- 2 ) B.(1,-4) D.(-1,4)或(1,-4) )

2x2-2x-4 x2-x-2 ?x+1??x-2? =2· =2· ,f ′(x)>0,解得 x>2,故 f ′(x)>0 的解集为(2,+ x x x ∞). 5.(2014· 上海徐汇摸底)已知函数 f(x)=x3-3x,过点 P(-2,-2)作曲线 y=f(x)的切线, 则切线的方程为________. [答案] y=9x+16 或 y=-2 [解析] ①当 P(-2,-2)为切点时,切线方程为 y=9x+16; ②当 P(-2,-2)不是切点时,设切点为(a,b),则 b=a3-3a,由于 y′=3x2-3,所 以切线的斜率 k=3a2-3,故切线方程为 y-b=(3a2-3)(x-a),又切线过点(-2,-2),所
? ? ?a=1, ?a=-2, 以-2-b=(3a2-3)· (-2-a),解得? 或? (舍去),所以切线方程为 y=- ?b=-2 ? ? ?b=-2,

2. 综上,所求的切线方程为 y=9x+16 或 y=-2. 三、解答题 6.求下列函数的导数: (1)y=x4-3x2-5x+6; (2)y=x2· sinx; ex+1 (3)y= x . e -1 [分析] 仔细观察和分析各函数的结构规律,紧扣求导运算法则,联系基本函数求导公 式,不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形. [解析] (1)y′=(x4-3x2-5x+6)′ =(x4)′-3(x2)′-5x′+6′ =4x3-6x-5; (2)y′=(x2)′· sinx+x2· (sinx)′ =2x· sinx+x2· cosx; ?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ (3)y′= ?ex-1?2 = ex?ex-1?-?ex+1?ex -2ex = x . ?ex-1?2 ?e -1?2

一、选择题 1.已知 f(x)=x2+2x· f′(1),则 f′(0)等于( A.2 C.-4 )

B.-2 D.0

[答案] C [解析] f′(x)=2x+2f′(1),于是 f′(1)=2+2f′(1),则 f′(1)=-2, 故得 f′(x)=2x-4,因此 f′(0)=-4.故选 C. sinx 2.(2014· 深圳模拟)函数 f(x)= 的导数是( x xsinx+cosx xcosx+sinx A. B. 2 x x2 xsinx-cosx xcosx-sinx C. D. x2 x2 [答案] D xcosx-sinx sinx [解析] f′(x)=( )′= ,故选 D. x x2 3.(2014· 太原模拟)曲线 y=sinx+ex 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0 [答案] C [解析] 依题意得 y′=cosx+ex,又曲线 y=sinx+ex 在点(0,1)处的切线的斜率为 cos0 +e0=2,因此该切线方程是 y-1=2x,即 2x-y+1=0.选 C. 4.(2014· 山师附中高二期中)直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a +b 的值为( A.2 [答案] C [解析] 由条件知,点 A 在直线上,∴k=2,又点 A 在曲线上,∴a+b+1=3,∴a+b =2.由 y=x3+ax+b 得 y′=3x2+a,∴3+a=k,∴a=-1,∴b=3,∴2a+b=1. 4 5.(2010· 辽宁文,12)已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e +1 则 α 的取值范围是( π A.[0, ) 4 π 3π C.( , ] 2 4 [答案] D [解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式 4ex 解析:y′=- x ?e +1?2 4ex 4ex 4 ∴tanα=- x =- =- 1 ?e +1?2 ?ex?2+2ex+1 x e + x+2 e ) π π B.[ , ) 4 2 3π D.[ ,π) 4 ) B.-1 C.1 D.-2 B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0 ) )

1 ∵ex>0∴ex+ x ≥2(当且仅当 x=0 时取等号) e 1 4 ∴ex+ x+2≥4,∴0< ≤1 e 1 x e + x+2 e ∴-1≤tanα<0 3 ∵α∈[0,π),∴α∈[ π,π),故选 D 4 二、填空题 6.(2012· 辽宁理,15)已知 P、Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P、Q 的横坐标分别为 4、 -2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. [答案] -4 [解析] 本题考查导数的几何意义. 由题意知:P(4,8),Q(-2,2),y′=x, ∴切线斜率 k=4 或 k=-2. LAP:y-8=4(x-4),LAQ:y-2=-2(x+2)联立消去 x, 得 y=-4. 注意在切线问题中常常用导数的几何意义. 7.(2014· 广东理,10)曲线 y=e [答案] y=-5x+3 [解析] ∵y=e
-5x -5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________.

+2,∴y′=-5e

-5x

|x=0=-5.

∴k=-5,又过点(0.3), ∴切线方程 y-3=kx=-5x, ∴y=-5x+3,注意导数的几何意义. 三、解答题 8.求过原点作曲线 C:y=x3-3x2+2x-1 的切线方程. [分析] 因为 C 不过原点,所以切点不为原点,应另设切点,再用导数几何意义求切线 方程. [解析] 设切点为(x0,y0), ∵y′=3x2-6x+2,
2 ∴切线斜率为 3x0 -6x0+2, 2 ∴切线方程为 y-y0=(3x0 -6x0+2)(x-x0)

∵切点在曲线 C,
2 ∴y0=x3 0-3x0+2x0-1,



又切线过原点, ∴-y0=(3x2 0-6x0+2)(-x0), ②

2 由①②得 0=-2x3 0+3x0-1, 2 ∴2x3 0-3x0+1=0,

因式分解得:(x0-1)2(2x0+1)=0 1 ∴x0=1 或 x0=- , 2 1 23 ∴两个切点为(1,-1),(- ,- ) 2 8 23 23 1 ∴两条切线方程为 y+1=-1(x-1)和 y+ = (x+ ) 8 4 2 即 x+y=0 或 23x-4y=0. [点评] 过曲线外一点作切线,应是设切点坐标,利用导数求切线方程,再列关于切点 横坐标的方程,求解. 9.已知曲线 C:y=3x4-2x3-9x2+4. (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线的方程; (2)第(1)小题中切线与曲线 C 是否还有其他公共点? [解析] (1)把 x=1 代入 C 的方程,求得 y=-4, ∴ 切点为(1,-4),y′=12x3-6x2-18x, ∴切线斜率为 k=12-6-18=-12. ∴切线方程为 y+4=-12(x-1),即 y=-12x+8.
?y=3x4-2x3-9x2+4, ? (2)由? ?y=-12x+8 ?

得 3x4-2x3-9x2+12x-4=0, ∴(x-1)2(x+2)(3x-2)=0, 2 ∴x=1,-2, . 3 代入 y=3x4-2x3-9x2+4, 求得 y=-4,32,0, 2 即公共点为(1,-4)(切点),(-2,32),( ,0). 3 2 ∴除切点外,还有两个交点(-2,32)、( ,0). 3 10.已知抛物线:C1 y=x2+2x 和 C2 y=-x2+a.如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线, 称 l 是 C1 和 C2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段. (1)a 取什么值时,C1 和 C2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程. (2)若 C1 和 C2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分. [解析] (1)函数 y=x2+2x 的导数 y′=2x+2,曲线 C1 在点 P(x1,x2 1+2x1)的切线方程
2 是 y-(x2 1+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x1.



函数 y=-x2+a 的导数 y′=-2x, 曲线 C2 在点 Q(x2,-x2 2+a)的切线方程是 y-(-x2 2+a)=-2x2(x-x2), 即 y=-2x2x+x2 2+a. ②

?x1+1=-x2, ? 如果直线 l 是过点 P 和 Q 的公切线,则①式和②式都是 l 的方程? 2 2 消去 ? ?-x1=x2+a,

x2 得方程 2x2 1+2x1+1+a=0,此方程 Δ=4-4×2(1+a). 1 1 1 由 Δ=0,得 a=- ,解得 x=- ,此时 P 与 Q 重合,即当 a=- 时,C1 和 C2 有且仅 2 2 2 有一条公切线. 1 由①得公切线方程为 y=x- . 4 1 (2)由(1)可知,当 a<- 时,C1 和 C2 有两条公切线,设一条公切线上切点为 P(x1,y1)、 2
2 2 Q(x2,y2),其中 P 在 C1 上,Q 在 C2 上,则有 x1+x2=-1,y1+y2=x2 1+2x1+(-x2+a)=x1+

1 -1+a 2x1-(x1+1)2+a=-1+a,线段 PQ 的中点为(- , ). 2 2 1 -1+a 同理,另一条公切线段 P′Q′的中点也是(- , ), 2 2 所以公切线段 PQ 和 P′Q′互相平分.


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