2012年6月襄阳市普通高中调研统一测试高二数学(理科)扫描版_图文

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20 12 年 6 月 襄 阳 市 高 中 调 研 统 一 测 试 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题:CAADC 二.填空题:11.2 ≥1 三.解答题: 16.(1)解: S2 ? ? (2)证:猜想 Sn ? ? BDBDA 12.
y2 x2 ? ?1 2 4

13.

1 3

14.[-1,

1 ) 2

15.a≤0 或 a

3 4 5 , S3 ? ? , S4 ? ? 4 5 6

3分 5分 6分 7分

n ?1 n?2 下面用数学归纳法证明 ① n = 1 时,结论显然成立 当 k ?1 ②假设当 n = k (n∈ )时结论成立,即 Sk ? ? N k?2 (k ? 1) ? 1 1 1 k?2 ?? ?? ?? 则 n = k + 1 时, Sk ?1 ? ? k ?1 Sk ? 2 k ?3 (k ? 1) ? 2 ? ?2 k?2 即 n = k + 1 时,结论成立 分 n ?1 由① 得 Sn ? ? ② 对一切 n∈ *成立. N n?2
*

10 12

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17.(1)解: f ?( x) ? 3ax 2 ? 6x 由已知, f ?(2) ? 0 ,即 12a-12 = 1,得:a = 1 (2)解: f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ,由 f ?( x) ? 0 得:x < 0 或 x > 2 ∴ (x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增 f 由 f ?( x) ? 0 得:0 < x < 2,∴ (x)在(0,2)上单调递减 f 因此,f (x)在[-1,5]上有极大值 f (0) = 0,极小值 f (2) = -4 分 又 f (-1) =-4, f (5) = 50 f (x)在[-1,5]上有最大值 50,最小值-4. 分 18.(1)解:设点 P(x,y),则依题意有 整理得

2分 4分

6分 8分 10

12

y

x? 2 x? 2

?

y

??

1 2

3分

x2 ? y 2 ? 1 ,由于 x ? ? 2 , 2 x2 所以求得的曲线 C 的方程为 ? y 2 ? 1( x ? ? 2 ) 2
? x2 ? ? y2 ? 1 (2)解:由 ? 2 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 0 ? y ? kx ? 1 ? ?4k 解得 x1 = 0, x2 ? (x1、x2 分别为 M、N 的横坐标) 1 ? 2k 2 4k 4 由 | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 | |? 2 2 3 1 ? 2k 解得:k =±1 分 所以直线 l 的方程 x-y + 1 = 0 或 x + y-1 = 0. 分 ???? ???? ???? 19.(1)证:以 AB 、AD 、AP 为 xl 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,则 P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0) ???? ???? ? ∴ PC ? (1,, 1) , BD ? (?1,, 1 ? 1 0) ???? ???? ∵PC ? BD ? (1,, 1) ? (?1,, ? 0 ,∴ PC?BD 1 ? 1 0) ??? ? ???? (2)解: PB ?(1, , 1) , PD ? (0 , , 1) 0 ? 1 ?
z 0 ? ?( x ,y , ) ? (1, , 1) ? 0 ?y ? 0 ?? 设平面 PBC 的法向量为 n1 = (x,y,z),则 ? z 1 ? ?( x ,y , ) ? (1, , 1) ? 0 ?x ? z ∴ 可取 n1 = (1,0,1) z 0 ? ?( x ,y , ) ? (1, , 1) ? 0 ?x ? z ?? 设平面 PBD 的法向量为 n2 = (x,y,z),则 ? ( x ,y , ) ? (0 , , 1) ? 0 z 1 ? ? ?y ? z ∴ 可取 n1 = (1,1,1) 设二面角 C-PB-D 的大小为 θ | n1 ? n2 | | (1, , ? (1, , | 0 1) 1 1) 6 cos ? ? ? ? | n1 | ? | n2 | | (1, , | ? | (1, , | 0 1) 1 1) 3 ??? ? (3)解:设 E(x,0,z),则 EB ? (1 ? x , , z) 0 ?
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5分

9分

11 12

4分

6分 8分

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???? ??? ? ?x ? 1 ? ? 0 ? 0 ? ∵ 在棱 PB 上,∴EB ? ? PB (0 ? ? ? 1) ,即 (1 ? x , , z ) ? ? (1, , 1) 得: ? E ?z ? ? 0 ? ∴E (1 ? ? , , ) 10 分 ???? 平面 ABCD 的一个法向量为 AP ? (0 , , 0 1) ???? ???? CE ? AP (?? , 1, ) ? (0 , , ? ? 0 1) ? ∴cos(90? ? 30?) ? ???? ??? ? ? ? ? ? 0 1) | CE | ? | AP | | (?? , 1, ) | ? | (0 , , | 2? 2 ? 1


?

2? 2 ? 1 ??? ? 2 2 ,, 0 ? ) ,| EB | = 1,∴存在满足条件的点 E,且| EB | = 1 这时 EB ? ( 2 2 分

?

2 1 ,解得: ? ? 2 2

12

20.(1)解:∵c ? 2 , ? 3 ,∴ = 1 b a

2分 4分

x ? y 2 ? 1 ,准圆方程为 x2 ? y 2 ? 4 3 (2)解:① l1、l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率 当 ∵ 1 与椭圆只有一个公共点,∴ l 其方程为 x ? 3 或 x ? ? 3 当 l1 的方程为 x ? 3 时,l1 与准圆交于点 ( 3 , 1) ?
故椭圆方程为 此时经过点 ( 3 , 或 ( 3 , 1) 且与椭圆只有一个公共点的直线是 y = 1 或 y =-1 1) ? 即 l2 为 y = 1 或 y =-1,显然 l1⊥l2 同理当 l1 的方程为 x ? ? 3 ,l1⊥l2. 2 2 ② 当直线 l1、l2 的斜率都存在时,设 P(x0,y0),且 x0 ? y0 ? 4 设过点 P 与椭圆只有一个公共点的直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 )

2

6分

? y ? y0 ? l ( x ? x0 ) ? 由 ? x2 得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ? 3( y0 ? kx0 )2 ? 3 ? 0 ? y2 ? 1 ?3 ?
∵? ? [6k 2 ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(1 ? 3k 2 )[3( y0 ? kx0 )2 ? 3] ? 0
2 2 ∴(3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? 1 ? y0 ? 0 分 2 2 2 2 又 x0 ? y0 ? 4 ,∴(3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? x0 ? 3 ? 0 分 设 l1、l2 的斜率为 k1、k2,∵ 1、l2 与椭圆都只有一个公共点 l 3 ? x2 ∴ 1、k2 满足上式,故 k1k2 ? 2 0 ? ?1 ,∴ 1⊥l2. k l x0 ? 3 分 x?a 21.(1)解:f (x)的定义域为(0,+∞),且 f ?( x) ? 2 x ① a≥0 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)在(0,+∞)是单调递减 当 ② a < 0 时,由 f ?( x) ? 0 得:x >-a,由 f ?( x) ? 0 得:x <-a 当 故 f (x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增 a (2)解: g ( x) ? ax ? ? 5ln x ,g (x)的定义域为(0,+∞) x a 5 ax2 ? 5x ? a g ?( x) ? a ? 2 ? ? x x x2 ∵ (x)在其定义域内为增函数,∴ g 对任意 x∈ (0,+∞), g ?( x) ≥ 0

8分

10 12

13

1分 2分 4分

5分

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即 ax 2 ? 5 x ? a ≥ 0 而
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?

a≥

5x x ?1
2

5x 5 5 5 ? ≤ ,当且仅当 x = 1 时取等号,∴a≥ 1 x ?1 x ? 2 2 x 2 x2 ? 5x ? 2 2 (3)解:当 x = 2 时 g ( x) ? 2 x ? ? 5ln x , g?( x) ? x x2 1 1 当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ≥ 0 ,当 x ? ( , 时, g ?( x) ? 0 1) 2 2 1 ∴ 在(0,1)上, g ( x)max ? g ( ) ? ?3 ? 5ln 2 2 ? x1∈ (0,1),? x2∈ [1,2],总有 g (x1)≥h (x2)成立 ? ?x2∈[1,2],-3 + 5ln 2≥h (x)成立

8分

9分

?m ≥ 8 ? 5ln 2 ? ??3 ? 5ln 2 ≥ 5 ? m ∴-3 + 5ln 2≥max{h (1),h (2)},即 ? ? ? 1 ??3 ? 5ln 2 ≥8 ? 2 m ?m ≥ 2 (11 ? 5ln 2) ? ∴ m ≥ 8 ? 5 ln 2 . 分

14

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