湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学5月月考试题理(新)

湖北省荆州中学 2016 年 5 月月考高二数学(理)试题
(考试时间:120 分钟 参考公式:随机变量 K 2 ? 临界值表
P( K 2 ? k )

总分:150 分)

n(ad ? bc) 2 (其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.25 1.32 3 0.15 2.07 2 0.10 0.70 6 0.05 3.84 1 0.02 5 5.02 4 0.01 0 6.63 5 0.00 5 7.87 9 0.001 10.828

0.50 0.45 5

0.40 0.70 8

k

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求。 ) 1. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. ? 1 ? i
2

2 2 ) ?z ?( z C. 1 ? i D. ? 1 ? i


2. 已知命题: p : ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0 ,则命题 ?p 是( A. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? x ? 6 ? 0
2 2

D. ?x ? R, x2 ? x ? 6 ? 0

3. 已知命题 p : ?x ? [1,2], x ? x ? a ? 0 ,命题 q : ?x0 ? [0,??), “a ?

1 2 x0 ? x0 ? a ? 0 ,则 3

3 ”是“ p 且 q ”为真命题的( 4



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 4. 若如图所示的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为( ) A. n ? 5 ? B. n ? 6 ? C. n ? 7 ? D. n ? 8 ? 5. 下列推理是归纳推理的是( )

A.由 a1 =1 ,an ? 3n ? 1 ,求出 s1 , s2 , s3 ,猜出数列 {an } 的前 n 项和的表达式 B.由于 f ( x) ? x sin x 满足 f (? x) ? f ( x) 对 ?x ? R 都成立,推断 f ( x) ? x sin x 为偶函数 C.由圆 x2 ? y 2 ? r 2 的面积 S ? ? r 2 ,推断椭 圆

x2 y2 ? ? 1 的面积 S ? ? ab a2 b2

D.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 6. 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,如果只有 4 种颜色可供使用,则不同的染色的方法数为( ) A. 24 B. 60 C. 48 D. 72

1

7. 先后抛掷红、蓝两枚骰子,事件 A : “红骰子出现 3 点” ,事件 B : “蓝骰子出现的点数为 奇数” ,则 P( A B) ? ( A. ) D. )
2 2

1 1 C. 3 2 2 2 2 2 8. 要证: a ? b ? 1 ? a b ? 0 ,只需证明(
B. A. 2ab ? 1 ? a b ? 0
2 2

1 6

5 36

B. a ? b ? 1 ?

a 4 ? b4 ?0 2

C.

( a ? b) 2 ? 1 ? a 2b 2 ? 0 2

D. (a2 ?1)(b2 ?1) ? 0

9. 设双曲线 心率等于( A. 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 相切,则该双曲线的离 a 2 b2
) B. 2
n?1

C. 5

D. 6

10. 设曲线 y ? 2014 x

(n ? N * ) 在点 (1, 2014) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令
) D. ? 1

an ? log2014 xn ,则 a1 ? a2 ? ? ? a2013 的值为(
A. 2014 11. 已知椭圆 B. 2013 C. 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

F1F2 ? 10 , P 是 y 轴正半轴上一点, PF1 交椭圆于点 A ,若
AF2 ? PF1 , 且 ?APF2 的内切圆半径为
A. , 则椭圆的离心率是 ( )

5 4

B.

5 3

C.

5 10

D.

15 4
1 2

12. 设 f ' ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,且 f ' ( x) ? 2 f ( x)( x ? R) , f ( ) ? e(e 为自然对数的 底数 ) ,则不等式 f (ln x) ? x2 的解集为( A. (0, ) )

e 2

B. (0, e )

C. ( , )

1 e e 2

D. ( , e )

e 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
2

13.

? | 3 ? 2 x |dx =
0

3

14. 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) .
x

2 30

4 40

5 60
^

6 t

8 70

y

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 6.5 x ? 17.5 ,则表中 t 的值 为 . 15. 观察下列等式: ① cos 2? ? 2cos ? ? 1
2

② cos 4? ? 8cos ? ? 8cos ? ? 1
4 2

③ cos 6? ? 32cos ? ? 48cos ? ? 18cos ? ?1
6 4 2

④ cos8? ? 128cos ? ? 256cos ? ? 160cos ? ? 32cos ? ? 1
8 6 4 2

⑤ cos10? ? m cos10 ? ?1280cos8 ? ? 1120cos6 ? ? n cos4 ? ? p cos2 ? ?1 可以推测, m ? n ? p ? __ __ _.

?x 16. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e ( x ?1) .下列命题:

①当 x ? 0 时, f ( x) ? e ( x ? 1) ; ②函数 f ( x) 有五个零点;
x

③若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有解,则实数 m 的取值范围是 f (?2) ? m ? f (2) ; ④对 ?x1 , x2 ? R, | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 2 恒成立. 其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都填上) 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
x 17. (本小题满分 10 分)设命题 p : 函数f ( x) ? (a ? ) 是 R 上的减函数,命题 q : 函数

3 2

f ( x) ? x2 ? 4x ? 3( x ??0, a?) 的值域为 ? ?1,3? ,若“ p 且 q ”为假命题,“ p 或 q ”为 真
命题,求实数 a 的取值范围.

* n n 18. (本小题满分 12 分)设 n ? N 且 sin x ? cos x ? ?1 ,请归纳猜测 sin x ? cos x 的

, 2, 3, 4 时的值,归纳猜测 sin x ? cos x 的值,不必证明. 值. (先观察 n ? 1 )
n n

19. (本小题满分 12 分)某校举办安全法规知识竞 赛, 从参赛的高一、 高二学生中各抽出 100 人的成绩

3

作为样本.对高一年级的 100 名学生的成绩进行统计,得到成绩分布的频 率分布直方图如 右图: (1)若规定 60 分以上(包括 60 分)为合格,计算高一年级这次知识竞赛的合格率; (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校大量高一学生中,采用随机抽 样方 法每次 抽取 1 名学生, 抽取 3 次, 记被抽取的 3 名学生中的合格人数为 X .若每次抽取的结 果是相 互独立的,求 X 的分布列和期望 E ( X ) ; (3)若高二年级这次知识竞赛的合格率 为 60%,由以上统计数据画出 2×2 列联表, 并问是否有 99%的把握认为“这次知识竞赛 的成绩与年级有关系” . 合格人数 不合格人数 合计 高一 高二 合计

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 x ? [1,??) 最小值;

2 (a ? R) . x ?1

(2)若 f ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)求证: ln( n ? 1) ?

1 1 1 1 ? ? ??? ( n ? N* ) . 3 5 7 2n ? 1
2 2

21. (本小题满分 12 分) 已知定点 C ? ?1,0 ? 及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与椭 圆相交于 A, B 两点.

1 ,求直线 AB 的方程; 2 ???? ???? (2)在 x 轴上是否存在点 M , 使 MA ? MB 为常数?若存在, 求出点 M 的坐标; 若不存在,
(1)若线段 AB 中点的横坐标是 ? 请说明理由. 22. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? x e (1)求函数 y ? f ? x ? 的单调区间;
2 x ?1

1 ? x3 ? x 2 ? x ? R? . 3
x ?1

(2)当 x ? ?1, ?? ? 时,用数学归纳法证明: ?n ? N , e
*

?

xn . n!

4

5

6

7

8


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