2016高考数学复习之函数与导数--1.1--1.2函数基础+单调性--解析版

第1讲
【知识框图 1】

函数与导数

【方法点拨 1】 函数是中学数学中最重要,最基础的内容之一,是学习高等数学的基础.高中函数以具体的幂函数,指 数函数,对数函数和三角函数的概念,性质和图像为主要研究对象,适当研究分段函数,含绝对值的函数和 抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解. 1.活用“定义法”解题. 2.重视“数形结合思想”渗透. 。 。 。 。 。 。 “数缺形时少直观,形缺数时难入微” . 3.强化“分类讨论思想”应用. 。 。 。 。 。 。 “不漏不重” . 4.掌握“函数与方程思想” . 【知识框图 2】

【方法点拨 2】 导数的应用极其广泛,是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具, 也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时,导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重 要内容,体现了高等数学思想及方法。 1.重视导数的实际背景。 2.深刻理解导数概念。
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3.强化导数在函数问题中的应用意识。 4.重视“数形结合”的渗透,强调“几何直观” 。 5.理解和体会“定积分”的实践应用。 1.1 函数基础 【基础练习】 1.设有函数组:① y ? x , y ?

x 2 ;② y ? x , y ? 3 x3 ;③ y ? x , y ?

x ; x

④y??

?1 ??1

( x ? 0), x x ,y? ;⑤ y ? lg x ? 1 , y ? lg .其中表示同一个函数的有___②④⑤___. 10 x ( x ? 0),

2.写出下列函数定义域:

R (1) f ( x) ? 1 ? 3x 的定义域为______________ ;

(2) f ( x) ?

{x x ? ?1} 1 的定义域为______________; x ?1
2

( x ? 1)0 1 [ ? 1, 0) ? (0, ?? ) ??, ?1) ? (?1,0) . (3) f ( x ) ? x ? 1 ? 的定义域为______________; (4) f ( x) ? 的定义域为( _________________ x x ?x
3.写出下列函数值域: (1) f ( x) ? x2 ? x , x ?{1, 2,3} ;值域是 {2, 6,12} . (2) f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ; 值域是 [1, ??) . (3) f ( x) ? x ? 1 , x ? (1, 2] . 【范例解析】 例 1.设有函数组: ① f ( x) ? ③ f ( x) ? 值域是 (2,3] .

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 ; x ?1

② f ( x) ?

x ? 1 ? x ?1 , g ( x) ? x2 ?1 ;

x 2 ? 2 x ? 1 , g ( x) ? x ?1 ;④ f ( x) ? 2 x ?1 , g (t ) ? 2t ? 1 .其中表示同一个函数的有③④.

分析:判断两个函数是否为同一函数,关键看函数的三要素是否相同. 解:在①中, f ( x ) 的定义域为 {x x ? 1} , g ( x) 的定义域为 R ,故不是同一函数;在②中, f ( x ) 的定义域 为 [1, ??) , g ( x) 的定义域为 (??, ?1] ? [1, ??) ,故不是同一函数;③④是同一函数. 点评:两个函数当它们的三要素完全相同时,才能表示同一函数.而当一个函数定义域和对应法则确定时, 它的值域也就确定,故判断两个函数是否为同一函数,只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可. 例 2.求下列函数的定义域:① y ?

1 ? x2 ? 1 ; 2? x

② f ( x) ?

x ; log 1 (2 ? x)
2

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解: (1)① 由题意得: ?

? ?2 ? x ? 0, 解得 x ? ?1 且 x ? ?2 或 x ? 1 且 x ? 2 , 2 ? ? x ? 1 ? 0,

故定义域为 (??, ?2) ? (?2, ?1] ? [1, 2) ? (2, ??) . ② 由题意得: log 1 (2 ? x) ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 ,故定义域为 (1, 2) .
2

例 3.求下列函数的值域: (1) y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 , x ? [0,3) ; (2) y ?

x2 (3) y ? x ? 2 x ? 1 . ( x ? R) ; x2 ? 1

分析:运用配方法,逆求法,换元法等方法求函数值域. (1) 解: y ? ? x2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 2 ,

x ? [0,3) ,? 函数的值域为 [?2, 2] ;

1 1 x2 1 ? 1 ,则 ?1 ? ? 2 ? 0 ,? 0 ? y ? 1,故函数 ? 1? 2 (2) 解法一:由 y ? 2 , 0? 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
值域为 [0,1) . 解法二:由 y ?

x2 y y 2 2 ? 0 ,? 0 ? y ? 1,故函数值域为 [0,1) . ,则 x ? , x ? 0 ,? 2 x ?1 1? y 1? y
2

(3)解:令 x ? 1 ? t (t ? 0) ,则 x ? t ? 1 ,? y ? t 2 ? 2t ?1 ? (t ?1)2 ? 2 , 当 t ? 0 时, y ? ?2 ,故函数值域为 [?2, ??) . 点评:二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法;逆求法利用函数有界性求函数的值域;用换元法求 函数的值域应注意新元的取值范围. 【直击高考】 1. 【2015 高考北京, 理 7】 如图, 函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB , 则不等式 f ? x ? ≥ log 2 ? x ? 1? 的解集是 ( A. ? x | ?1 ? x ≤ 0? B. ? x | ?1 ≤ x ≤ 1? C. ? x | ?1 ? x ≤ 1? D. ? x | ?1 ? x ≤ 2?
A -1 O B 2 x y 2 C



【解析】如图所示,把函数 y ? log2 x 的图象向左平移一个单位得到

y ? log2(x ? 1)的图象, x ? 1 时两图象相交,不等式的解为 ?1 ? x ? 1 ,用集合表示解集选 C

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2.【2015 高考安徽,理 9】函数 f ? x ? ? (A) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (B) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (C) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (D) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 【解析】 由 f ? x? ?

ax ? b

? x ? c?

2

的图象如图所示,则下列结论成立的是(



ax ? b

? x ? c?

2

?c ? 0 , 及图象可知, 则c ? 0; 当 x ? 0 时,f (0) ? x ? ?c ,

b 所以 b ? 0 ; ?0, c2

当 y ? 0 , ax ? b ? 0 ,所以 x ? ?

b ? 0 ,所以 a ? 0 .故 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,选 C. a

3.【2015 高考天津,理 8】已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ?
2

, x ? 2,

函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,其中 b ? R , )

若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( (A) ?

?7 ? , ?? ? ?4 ?

(B) ? ??, ?

? ?

7? 4?

(C) ? 0,

? ?

7? ? 4?

(D) ?

?7 ? ,2? ?4 ?

【解析】由 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

得 f (2 ? x ) ? ?

? ?2 ? 2 ? x , x ? 0 , 2 x?0 ? ?x ,
8 6 4 2 15 10 5 2 4 6 8 5 10 15

?2 ? x ? x 2 , x?0 ? 0 ? x ? 2, 所以 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?4 ? x ? 2 ? x , ? 2 ?2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) , x ? 2
? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 即 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?2, 0? x?2 ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ?

y ? f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? b , 所 以 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰 有 4 个 零 点 等 价 于 方 程 f ( x ) ? f (2 ? x ) ? b ? 0 有 4 个不同的解,即函数 y ? b 与函数 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) 的图象的 4 个公共点,
由图象可知

7 ? b ? 2. 4

4.【2015 高考山东,理 10】设函数 f ? x ? ? ?

?3 x ? 1, x ? 1 ?2 , x ? 1
x

, 则满足 f ? f ? a ? ? ? 2 f ? a ? 的 a 取值范围是(
? ?
(D) ?1, ?? ?



(A) ? ,1? 【答案】C

?2 ? ?3 ?

(B) ? 0,1?

(C) ? , ?? ?

?2 ?3

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【反馈演练】

(??, 0] . 1.函数 f(x)= 1 ? 2 x 的定义域是___________
2.函数 f ( x) ? 3. 函数 y ?

1 (1, 2) ? (2,3) . 的定义域为_________________ log2 (? x ? 4 x ? 3)
2

1 ( x ? R ) 的值域为_______ (0,1] _________. 1 ? x2

(??, 4] 4. 函数 y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4 x 的值域为_____________ .

1 3 [? , 0) ? ( ,1] 2 4 4 5.函数 y ? log 0.5 (4 x ? 3x) 的定义域为_____________________ .
6.记函数 f(x)= 2 ? (1) 求 A; 解:(1)由 2-

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B. x ?1

(2) 若 B ? A,求实数 a 的取值范围.

x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0,x<-1 或 x≥1, 即 A=(-∞,-1)∪ [1,+ ∞) . x ?1 x ?1 1 或 a≤-2,而 a<1, 2
1 ,1). 2

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵ a<1,∴ a+1>2a,∴ B=(2a,a+1) . ∵ B ? A, ∴ 2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥

∴ ≤a<1 或 a≤-2,故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪ [

1 2

1.2 函数单调性 【基础练习】 1.下列函数中: ① f ( x) ?

1 2 ; ② f ? x ? ? x ? 2x ? 1 ; x

③ f ( x) ? ? x ;

④ f ( x) ? x ?1 .

其中,在区间(0,2)上是递增函数的序号有___②___. 2.函数 y ? x x 的递增区间是___ R ___. 3.函数 y ?

(??, ?1] . x2 ? 2 x ? 3 的递减区间是__________

(1, ??) . 4.已知函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是单调减函数,且 f (a ? 1) ? f (2a) ,则实数 a 的取值范围__________
5.已知下列命题:①定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x ) 是 R 上的增函数;
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②定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x ) 在 R 上不是减函数; ③定义在 R 上的函数 f ( x ) 在区间 ( ??, 0] 上是增函数,在区间 [0, ??) 上也是增函数,则函数 f ( x ) 在 R 上 是增函数; ④定义在 R 上的函数 f ( x ) 在区间 ( ??, 0] 上是增函数,在区间 (0, ??) 上也是增函数,则函数 f ( x ) 在 R 上 是增函数. 其中正确命题的序号有_____②③______. 【范例解析】 例 1. 求证(定义法) : (1)函数 f ( x) ? ?2x2 ? 3x ?1 在区间 (??, ] 上是单调递增函数; (2)函数 f ( x) ?

3 4

2x ?1 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调递增函数. x ?1
3 4

分析:利用单调性的定义证明函数的单调性,注意符号的确定. 证 明 :( 1 ) 对 于 区 间 (?? ,

] 的 任 意 两 个 值 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 , 因 为 内

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2x12 ? 3x1 ?1 ? (?2x22 ? 3x2 ?1) ? 2x22 ? 2x12 ? 3x1 ? 3x2 ? ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ,
又 x1 ? x2 ?

3 3 , 则 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? , 得 3 ? 2( x1 ? x2 ) ? 0 , 故 ( x1 ? x2 )[3? 2( x1 ? x2 )] ? , 0即 4 2 3 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .所以,函数 f ( x) ? ?2x2 ? 3x ?1 在区间 (??, ] 上是单调增函数. 4

(2)对于区间 (??, ?1) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 3( x1 ? x2 ) ,又 x1 ? x2 ? ?1 ,则 x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 1) ? 0 , ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

( x2 ? 1) ? 0 得, ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,故
所以,函数 f ( x) ?

2x ?1 在区间 (??, ?1) 上是单调增函数. x ?1 2x ?1 同理,对于区间 (?1, ??) ,函数 f ( x) ? 是单调增函数; x ?1 2x ?1 所以,函数 f ( x) ? 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调增函数. x ?1
点评:利用单调性定义证明函数的单调性,一般分三步骤: (1)在给定区间内任意取两值 x1 , x2 ; (2)作差 (3)给出结论. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,化成因式的乘积并判断符号; 例 2.确定函数 f ( x) ?

1 的单调性. 1? 2x

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分析:作差后,符号的确定是关键. 解:由 1 ? 2 x ? 0 ,得定义域为 ( ??, ) .对于区间 ( ??, ) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 2

1 2

1 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x1 2( x1 ? x2 ) 1 1 ? ? ? 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ( 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 )

又 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ( 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ) ? 0 ,

1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .所以, f ( x) 在区间 (??, ) 上是增函数. 2
点评:运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定. 【直击高考】
?1, x ? 0, ? 1. 【2015 高考湖北, 理 6】 已知符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0, ? ?1, x ? 0. ?

f ( x) 是 R 上的增函数,g ( x) ? f ( x) ? f (ax) (a ? 1) ,

则(

) B. sgn[ g ( x)] ? ? sgn x C. sgn[ g ( x)] ? sgn[ f ( x)] D. sgn[ g ( x)] ? ? sgn[ f ( x)]

A. sgn[ g ( x)] ? sgn x

【解析】因为 f ( x) 是 R 上的增函数,令 f ( x) ? x ,所以 g ( x) ? (1 ? a ) x ,因为 a ? 1 ,所以 g ( x) 是 R 上的
??1, x ? 0 ?1, x ? 0 ? ? 减函数,由符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0 知, sgn[ g ( x)] ? ?0, x ? 0 ? ? sgn x .故选 B ? ?1, x ? 0 ?1, x ? 0 ? ?

2.【2015 高考新课标 2,理 10】如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 , O 是 AB 的中点,点 P 沿着 边 BC ,CD 与 DA 运动, 记 ?BOP ? x . 将动 P 到 A 、B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x) , 则 y ? f ( x) 的图像大致为( )
y y y y

2

2

2

2

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

(A)

(B)

(C)

(D)

【解析】由已知得,当点 P 在 BC 边上运动时,即 0 ? x ?

?
4

时, PA ? PB ?

tan 2 x ? 4 ? tan x ;当点 P 在

CD 边上运动时,即

?
4

?x?

1 1 3? ? ? ? 1) 2 ? 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 ,当 x ? 时, , x ? 时, PA ? PB ? ( tan x tan x 4 2 2
3? ? x ? ? 时,PA ? PB ? tan 2 x ? 4 ? tan x ,从点 P 的 4

PA ? PB ? 2 2 ;当点 P 在 AD 边上运动时,即
运动过程可以看出,轨迹关于直线 x ?

?
2

对称,且 f ( ) ? f ( ) ,且轨迹非线型,故选 B.

?

?

4

2

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【反馈演练】 1.已知函数 f ( x) ?

1 (0,1) . ,则该函数在 R 上单调递__减__, (填“增” “减” )值域为_________ 2 ?1
x

2.已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 在 (??, ?2) 上是减函数,在 (?2, ??) 上是增函数,则 f (1) ? __25___. 3. 函数 y ? ? x 2 ? x ? 2 的单调递增区间为 [ ?2, ? ] .

1 2

2 4. 函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x 的单调递减区间为 ( ??, ?1],[ ,1] .

1 2

5. 已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x?2

解:设对于区间 (?2, ??) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax1 ? 1 ax2 ? 1 (1 ? 2a)( x2 ? x1 ) ? ? ?0, x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
1 . 2

x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 2) ? 0 , ( x2 ? 2) ? 0 得 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,?1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

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