2016届高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第1讲 函数及其表示


第 1 讲 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素, 会求一些简单函数的定义域和值域, 了解映射的概 念;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数;3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.

知 识 梳 理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地,设 A,B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应;那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (3)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图象法. (5)分段函数 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应法则,这种函数称 为分段函数. 分段函数是一个函数, 分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集. 2.函数定义域的求法 类型 2n

x 满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)>0
各个函数定义域的交集 使实际问题有意义

f?x?,n∈N*

1 0 与[f(x)] f?x? logaf(x) 四则运算组成的函数 实际问题

1

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数.(×) (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.(×) (3)函数是特殊的映射.(√) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的.(×) 2.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 解析 将 f(2x)表示出来,看与 2f(x)是否相等. 对于 A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于 B,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x); 对于 C,f(2x)=2x+1≠2f(x); 对于 D,f(2x)=-2x=2f(x), 故只有 C 不满足 f(2x)=2f(x),所以选 C. 答案 C 3.(2014·山东卷)函数 f(x)= A.(0,2) C.(2,+∞) 解析 由题意知? 答案 C 1,x>0, ? ? 4.设 f(x)=?0,x=0, ? ?1,x<0, A.1 C.-1 解析 g(π )=0,f(g(π ))=f(0)=0. 答案 B 5.已知 f(2x+1)=3x-4,f(a)=4,则 a=________. 解析 令 2x+1=a,则 x=
?1,x为有理数, ? ?0,x为无理数, ? ? ?log2x-1>0, ?x>0, ?

精彩 PPT 展示

x2 x

) B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

的定义域为( log2x-1

1

) B.(0,2] D.[2,+∞)

解得 x>2,故选 C.

g(x)=?

则 f(g(π ))的值为(

)

B.0 D.π

a-1
2



2

3?a-1? 则 f(2x+1)=3x-4 可化为 f(a)= -4, 2 3?a-1? 19 因为 f(a)=4,所以 -4=4,解得 a= . 2 3 答案 19 3

考点一 求函数的定义域 例 1 (1)(2015·杭州模拟)函数 f(x)= 1-2 + A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] 3,1] lg?x+1? (2)函数 f(x)= 的定义域是( x-1 A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) ∞) 解析 故选 A. lg?x+1? (2)要使函数 f(x)= 有意义, 需满足 x+1>0 且 x-1≠0, 得 x>-1 且 x≠1, x-1 故选 C. 答案 (1)A (2)C 规律方法 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的 取值集合 , 在求解时, 要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组), 这个不等式(组) 的解集就是这个函数的定义域,函数的定义域要写成集合或者区间的形式.(2)对于实际问 题中求得的函数解析式,在确定定义域时,除了要考虑函数解析式有意义外,还要使实际问 题有意义. 【训练 1】 (1)函数 f(x)= A.(-∞,2) C.(2,3)∪(3,+∞) 1 的定义域为( log2?x-2? ) B.(2,+∞) D. (2,4)∪(4, +∞)
? ?1-2 ≥0, (1)由题意知? ?x+3>0, ?
x x

1

x+3

的定义域为(

)

B.(-3,1] D. (-∞, -3)∪(-

) B.[-1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+

解得-3<x≤0, 所以函数 f(x)的定义域为(-3,0],

? 1? 2 (2)函数 f(x)=ln?1+ ?+ 1-x 的定义域为________. ?
x?
3

解析

?log2?x-2?≠0, ? (1)由题意知? ?x-2>0, ?

解得?

?x≠3, ? ?x>2, ?

所以函数 f(x)的定义域为

(2,3)∪(3,+∞). 1 1+ >0, ? ? x (2)由条件知? x≠0, ? ?1-x ≥0
2

x<-1或x>0, ? ? ? ?x≠0, ? ?-1≤x≤1

? x∈(0,1].

答案 (1)C (2)(0,1] 考点二 求函数的解析式

x ?1? 例 2 (1)如果 f? ?= ,则当 x≠0 且 x≠1 时,f(x)等于( x ? ? 1-x
A. C. 1

) B. 1

x
1 1-x

x- 1 x

1 D. - 1

(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)=________.

?1? (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f? ?=3x,则 f(x)=________. ?x?
1

t 1 1 1 解析 (1)令 t= ,得 x= ,∴f(t)= = , x t 1 t-1 1- t
∴f(x)= 1 . x-1

(2)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+5a+b, 即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何值都成立, ∴?
?a=2, ? ? ?b+5a=17,

解得?

?a=2, ? ? ?b=7,

∴f(x)=2x+7.

?1? (3)∵2f(x)+f? ?=3x, x ? ?
x
1 把①中的 x 换成 ,得 3 ?1? 2f? ?+f(x)= . x

? ?

x

4

3 ①×2-②得 3f(x)=6x- ,

x

1 ∴f(x)=2x- (x≠0).

x

1 答案 (1)B (2)2x+7 (3)2x- (x≠0)

x

规律方法 求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法, 若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数),可用待定系数法;(2)换元法,已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法, 此时要注意新元的取值范围;(3)配凑法,由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关 于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式;(4)方程法,已知关于 f(x)与

f? ?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程 ?x?
组求出 f(x).

?1?

? 1? 2 1 【训练 2】 (1)已知 f?x+ ?=x + 2,则 f(x)=________. ?
x? x

?1? (2)已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞), 且 f(x)=2f? ?· x-1, 则 f(x)=________. x ? ? ? 1? 2 1 ? 1?2 解析 (1)∵f?x+ ?=x + 2=?x+ ? -2, ?
x? x

?

x?

1 1 且 x+ ≥2 或 x+ ≤-2,

x

x

∴f(x)=x -2(x≥2 或 x≤-2). 1 ?1? (2)在 f(x)=2f? ? x-1 中,用 代替 x,

2

?x?
x

x

1 ?1? 得 f? ?=2f(x) -1, x

? ? ?x?

?1? 2f?x?-1 代入 f(x)=2f?1? x-1 中, 将 f? ?= ? ?
x

?x?

2 1 可求得 f(x)= x+ . 3 3 2 1 2 答案 (1)x -2(x≥2 或 x≤-2) (2) x+ 3 3 考点三 分段函数 例 3 (1)(2014· 山 西 四 校 联 考 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x) = 则 f(3)的值为( ) B.2

?log2?8-x?,x≤0, ? ? ? ?f?x-1?-f?x-2?,x>0,

A.1

5

C.-2 e ,x<1, ? ? 1 (2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=? 3 ? ? x ,x≥1, 的取值范围是________.
x-1

D.-3

则使得 f(x)≤2 成立的 x

解析 (1)f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-log28=-3. (2)当 x<1 时,e ∴x<1.
1

x-1

≤2 成立,解得 x≤1+ln 2,

当 x≥1 时,x3 ≤2,解得 x≤8,∴1≤x≤8. 综上可知 x∈(-∞,8]. 答案 (1)D (2)(-∞,8] 规律方法 (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后 代入该段的解析式求值,当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求某条件下 自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切 记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
? ?x +2x+2,x≤0, 【训练 3】 (2014·浙江卷)设函数 f(x)=? 2 ?-x ,x>0. ?
2

若 f(f(a))=2,则 a

=________. 解析 当 a>0 时,f(a)=-a <0,f(f(a))=a -2a +2=2,解得 a= 当 a≤0 时,f(a)=a +2a+2=(a+1) +1>0,
2 2 2 4 2

2.

f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解.
答案 2

微型专题 抽象函数的定义域问题 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难 度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,在高考中一般不会单独考查,但 从提升能力方面考虑,还应有所涉及. 例 4】 若函数 y=f(x)的定义域是[1,2 015],则函数 g(x)= ( ) A.[0,2 014] 014] C.(1,2 015] 014] D . [ - 1,1) ∪ (1,2 B . [0,1) ∪ (1,2

f?x+1? 的定义域是 x-1

6

点拨 先利用换元法求出函数 f(x+1)的定义域,则函数 g(x)的定义域为 f(x+1)的定 义域与不等式 x-1≠0 的解集的交集. 解析 要使函数 f(x+1)有意义,则有 1≤x+1≤2 015,解得 0≤x≤2 014,故函数 f(x +1)的定义域为[0,2 014].
? ?0≤x≤2 014, 所以使函数 g(x) 有意义的条件是? ? ?x-1≠0,

解得 0≤x<1 或 1<x≤2 014.

故函数 g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2 014],故选 B. 答案 B 点评 函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围, 即 f(x)与 f(g(x))的定义域都 是自变量 x 的取值范围,常见有如下两种类型:(1)已知函数 f(x)的定义域为 D,则函数

f(g(x))的定义域就是不等式 g(x)∈D 的解集;(2)已知函数 f(g(x))的定义域为 D,则函数 f(x)的定义域就是函数 y=g(x)(x∈D)的值域.

[思想方法] 1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应 关系是否相同. 2.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质和图象 的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识. 3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、方程法. [易错防范] 1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法,同时要注意函数的定义 域,如已知 f( x)=x+1,求函数 f(x)的解析式时,通过换元的方法可得 f(x)=x +1,这 个函数的定义域是[0,+∞),而不是(-∞,+∞). 2.求分段函数应注意的问题:在求分段函数的值 f(x0)时,首先要判断 x0 属于定义域 的哪个子集, 然后再代入相应的关系式; 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系 式的取值范围的并集.
2

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1 .(2014·广州调研 ) 若函数 y = f(x) 的定义域为 M = {x| -2≤x≤2},值域为 N = {y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图象可能是( )

7

解析 可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案. 答案 B 2.(2014·郑州模拟)函数 f(x)= 3x
2

+lg(3x+1)的定义域是( 1-x

)

? 1 ? A.?- ,1? ? 3 ? ? 1 1? C.?- , ? ? 3 3?
解析
? ?1-x>0, 由? ?3x+1>0, ?

? 1 ? B.?- ,+∞? ? 3 ?
1? ? D.?-∞,- ? 3? ?

x<1, ? ? 得? 1 x>- , ? 3 ?

? 1 ? 所以定义域为?- ,1?. ? 3 ?

答案 A 3.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( A.2x+1 C.2x-3 解析 ∵g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1, ∴g(x)=2x-1. 答案 B
?2 ,x<0, ? 4.(2015·合肥检测)已知函数 f(x)=? ? ?f?x-1?+1,x≥0,
x

) B.2x-1 D.2x+7

则 f(2 014)=( 4 029 B. 2 4 031 D. 2

)

A.2 014 C.2 015 解析 4 031 . 2 答案 D

f(2 014) = f(2 013) + 1 =?= f(0) + 2 014 = f( - 1) + 2 015 = 2 - 1 + 2 015 =

5.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10
8

的余数大于 6 时再增选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关 系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( A.y=? ? ?10? C.y=? ) B.y=? D.y=?

?x? ?x+4? ? ? 10 ?

?x+3? ? ? 10 ? ?x+5? ? ? 10 ?

解析 法一 取特殊值法,若 x=56,则 y=5,排除 C,D; 若 x=57,则 y=6,排除 A,选 B. 法二 设 x=10m+α (0≤α ≤9,m,α ∈N),当 0≤α ≤6 时,? =? ?, ?10? 当 6<α ≤9 时,? 答案 B 二、填空题 6.下列集合 A 到集合 B 的对应 f 中: ①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数平方; ②A={0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数开方; ③A=Z,B=Q,f:A 中的数取倒数; ④A=R,B={正实数},f:A 中的数取绝对值, 是从集合 A 到集合 B 的函数的为________. 解析 其中②,由于 1 的开方数不唯一,因此 f 不是 A 到 B 的函数;其中③,A 中的元 素 0 在 B 中没有对应元素;其中④,A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素. 答案 ①

?x+3?=?m+α +3?=m ? ? 10 ? ? 10 ? ? ?

?x?

?x+3?=?m+α +3?=m+1=? x ?+1,所以选 B. ? ? ?10? 10 ? ? 10 ? ? ? ? ?

?1-x?=1-x ,则 f(x)的解析式为________. 7.已知 f? ? ?1+x? 1+x2
1-x 1-t 解析 令 t= ,由此得 x= (t≠-1), 1+x 1+t

2

?1-t?2 1-? ? 2t ?1+t? 所以 f(t)= = , 1 - t 1 + t2 ? ?2 1+? ? ?1+t?
从而 f(x)的解析式为 f(x)= 2x 答案 f(x)= 2(x≠-1) 1+x 2x 2(x≠-1). 1+x

9

8.(2015·武汉一模)若函数 f(x)= 2 ________. 解析 由题意知 2
2

x +2ax-a

2

-1的定义域为 R,则 a 的取值范围是

x +2ax-a-

2

1≥0 恒成立.

∴x +2ax-a≥0 恒成立, ∴Δ =4a +4a≤0,∴-1≤a≤0. 答案 [-1,0] 三、解答题 9. 已知 f(x)是二次函数, 若 f(0)=0, 且 f(x+1)=f(x)+x+1.求函数 f(x)的解析式. 解 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),又 f(0)=0, ∴c=0,即 f(x)=ax +bx.又 f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1) +b(x+1)=ax +(b+1)x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1, 1 a= , ? ? 2 解得? 1 ? ?b=2.
2 2 2 2 2

? ?2a+b=b+1, ∴? ? ?a+b=1,

1 2 1 ∴f(x)= x + x. 2 2

10.根据如图所示的函数 y=f(x)的图象,写出函数的解析式.



当-3≤x<-1 时,函数 y=f(x)的图象是一条线段(右端点除外),设 f(x)=ax+ 3 2 7 2

b(a≠0),将点(-3,1),(-1,-2)代入,可得 f(x)=- x- ;
当-1≤x<1 时,同理可设 f(x)=cx+d(c≠0), 3 1 将点(-1,-2),(1,1)代入,可得 f(x)= x- ; 2 2 当 1≤x<2 时,f(x)=1.

? ? 所以 f(x)=?3 1 x- ,-1≤x<1, 2 2 ? ?1,1≤x<2.

3 7 - x- ,-3≤x<-1, 2 2

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

10

2+x ?x? ?2? 11.设 f(x)=lg ,则 f? ?+f? ?的定义域为( 2-x ?2? ?x?

)

A.(-4,0)∪(0,4) (1,4) C.(-2,-1)∪(1,2) (2,4) 2+x 解析 ∵ >0,∴-2<x<2, 2-x

B . ( - 4 , - 1) ∪

D . ( - 4 , - 2) ∪

x 2 ∴-2< <2 且-2< <2, 2 x
2 取 x=1,则 =2 不合题意(舍去),

x

故排除 A,取 x=2,满足题意,排除 C,D,故选 B. 答案 B
? ?3 ,x≤1, 12.(2014·包头测试与评估)设函数 f(x)=? ?1-log3x,x>1, ?
1-x



满足 f(x)≤3 的 x 的取值范围是( A.[0,+∞) C.[0,3]

) B.[-1,3] D.[1,+∞) 或

? ?x≤1, 解析 依题意,不等式 f(x)≤3 等价于①? 1-x ?3 ≤3 ?

②?

? ?x>1, ? ?1-log3x≤3.

解①得 0≤x≤1,解②得 x>1.因此,满足 f(x)≤3 的 x 的取值范

围是[0,1]∪(1,+∞)=[0,+∞). 答案 A 1 13.(2015·杭州质检)函数 f(x)=ln 的值域是________. |x|+1 1 解析 依题意,因为 |x|+1≥1,则 0< ≤1, |x|+1 ln 1 ≤ln 1=0,即函数的值域是(-∞,0]. |x|+1

答案 (-∞,0] 14.某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地.在 B 地停 留 1 h 后,再以 50 km/h 的速度返回 A 地,把汽车与 A 地的距离 x(km)表示为时间 t(h)(从

A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象.
11



60t,0≤t≤ , 2 ? ? 5 7 x=?150,2<t≤2, 7 7 13 ? ?150-50???t-2???,2<t≤ 2 . 5

其图象如图所示.

12


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