2016届江西省宜春市上高二中高三模拟考 数学(理)

2016 届江西省宜春市上高二中高三模拟考 数学理科卷
第 I 卷(选择题) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (5.14)

1、已知集合

U ? { y | y ? log 2 x, x ? 1}, P ? { y | y ?
1 [ , ??) C. 2

1 , x ? 2} C P ?( ) x ,则 U
1 (??, 0) ? [ , ??) 2 D.

1 (0, ) 2 A.

B. (0, ??)

m ? 1 ? ni 2、已知 1 ? i ,其中 m, n ? R,i 为虚数单位,则 m ? ni ? ( )
A 、 1 ? 2i B、 2 ? i C、 1 ? 2i D、 2 ? i
开始

3.已知偶函数 f(x),当 当

x ? ?0,2?

时, f ( x) ? sin x ,

x ??2, ???

时,

f ( x) ? log2 x

S=0,k=1

f (? ) ? f (4) ? 3 则 ( )
A. ? 3 ? 2 B.1 C.3 D.

?

3?2

k=k+1

S?S?

1 3k ? 1 ? 3k ? 2

S?
某程序框图如图所示,若输出 ( )

4 3 ,则判断框中 M 为



M 否 输出 S

A. k ? 7 ? B. k ? 6 ? C. k ? 8 ? D. k ? 8 ?

结束

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?
5 .如图所示,函数
·1·

?

) 2 离 y 轴最近的零点与最大值均在抛物线

3 1 y ? ? x2 ? x ? 1 2 2 上,则 f ( x ) =(



1 ? 1 ? f ( x) ? sin( x ? ) f ( x) ? sin( x ? ) 6 3 B. 2 3 A.
f ( x) ? sin( x ? ) f ( x) ? sin( x ? ) 2 3 D. 2 6 C.

?

?

?

?

(ax ?
6 .二项式

3 3 ) 6 ( a ? 0 ) 的展开式的第二项的系数为

?

3 2 ,则

?

a

?2

x 2 dx

的值为(

)

7 (A) 3

(B) 3

7 (C) 3 或 3

10 (D) 3 或 3 ?


7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示, 根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的全面积为 ( A. 14 ? 4 3 ? 4 2 B. 14 ? 2 3 ? 4 2 C. 10 ? 4 3 ? 4 2 D. 10 ? 2 3 ? 4 2

8.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答 题这 3 种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( A. 150 B. 180 C. 200 D. 280 )

? ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? y ? 1 ? 0, 2 ? 1? 1 ? 1 2 ? y ? ? 0. ?x? ? ?y ? 2? 4 表示的区域为 Γ,向 Ω 区域 2 9.若不等式组 ? 表示的区域 Ω,不等式 ?
均匀随机撒 360 颗芝麻,则落在区域 Γ 中芝麻数约为( ) A.114 B.10 C.150 D.50
·2·

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 b 10.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是双曲线 a 的一个焦点,
两条曲线的交点的连线过点 F,则双曲线的离心率为( A. ) D .1 ? 3
?

2

B.

3

C 1? 2

11、在四面体 S-ABC 中, SA ? 平面 ABC, ?BAC ? 120 , SA ? AC ? 2, AB ? 1, 则该四面体的外接球的表面积为( ) A. 11? B. 7?

10? C. 3

40? D. 3

? x>0 ? ln x f ( x) ? ? 2 ? ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? 0 ,若关于戈的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 12.已知函数

(b, c ? R) 有 8 个不同的实数根,则由点(b,c)确定的平面区域的面积为( )
1 A. 6 1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

? ? ? ? ? a ? (2,1), b ? ( x, ?1) ,且 a ? b 与 b 共线,则 x 的值为 13.已知向量
14.已知随机变量 X 服从正态分布 X~N(2,σ2), P(X<4)=0.84, 则 P(X≤0)的值为 .

15. 已 知 函 数 是

f ? x? ?


?1 ? 1 2 x ? 2ax ? ln x ? , 2? f ? x? 2 ,若 在区间 ?3 ? 上是增函数,则 a 的取值范围

16.如图,已知点 D 在 ?ABC 的 BC 边上,且 ?DAC ? 90? ,

cos C ?

6 3



AB ? 6



BD ? 6





A s D? i

n ?B A D. ___________

三、解答题(共 6 个题,共 70 分) 17.已知单调递增的等比数列 (1)求数列

?an ? 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.
·3·

?an ? 的通项公式;

(2)设

bn ? an ? log 2an ,其前 n 项和为 Sn ,若 (n ?1 )2?m ( S n ?n ?1 ) 对于 n ? 2 恒成立,求实数 m

的取值范围.

18.国家“十三五”计划,提出创新兴国,实现中国创新,某市教育局为了提高学生的创新能力,把行 动落到实处,举办一次物理、化学综合创新技能大赛,某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成 绩( x )和化学成绩( y )进行回归分析,求得回归直线方程为 绩表(如下表所示)中缺失了乙的物理和化学成绩. 甲 物理成绩(x) 化学成绩(y) 综合素质 (x? y) 155 160 165 180 75 80 乙 m n 丙 80 85 丁 85 95

y ? 1.5 x ? 35

.由于某种原因,成

(1)请设法还原乙的物理成绩 m 和化学成绩 n ; (2)在全市物理化学科技创新比赛中,由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行 3 场比赛,每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛,每场比赛所抽的选手中,只要有 一名选手的综合素质分高于 160 分,就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章.若记比赛中赢得荣誉奖章 的枚数为 ? ,试根据上表所提供数据,预测该校所获奖章数 ? 的分布列与数学期望.

19 .如图,在四棱锥 S ? ABCD中,底面 ABCD 是菱形,

B 底 面 ?BAD ? 600 , 侧 面 S A ?
S A ? S? B 2 A ? B , F 为 SD 的中点.

ABCD , 并 且

(1)求三棱锥 S ? FAC 的体积; (2)求直线 BD 与平面 FAC 所成角的正弦值.

x2 y 2 1 C : 2 ? 2 ?1 ( a ? b ? 0) a b 20.已知椭圆 的离心率为 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆
与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.
·4·

(1)求椭圆 C 的方程;

??? ? ??? ? OA ? OB (2)求 的取值范围;
(3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点.

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数

f ? x ? ? ex ? ax ? 2,(e
f ? x?

是自然对数的底数, a ? R) 。

(1)求函数

的单调递增区间;

k?x f ?? x? ? 1 f ? ? x? f ? x ? (2)若 k 为整数, a ? 1 ,且当 x ? 0 时, x ? 1 恒成立,其中 为 的导函数,
求 k 的最大值。

请考生在第 22—24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 22.选修 4-4 几何证明选讲 如图, BC 是圆 O 的直径,点 F 在弧 BC 上,点 A 为弧 BF 的中点, 作

AD ? BC 于点 D , BF 与 AD 交于点 E , BF 与 AC 交于点 G .
(1)证明: AE ? BE ; (2)若 AG ? 9 , GC ? 7 ,求圆 O 的半径.

23.选修 4-4

极坐标与参数方程

? x ? 3cos ? C1 : ? ? y ? 2sin ? ( ? 为参数) 已知曲线 C 的极坐标方程为 2? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,曲线 .
(1)求曲线

C1 的普通方程; C1 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值.

(2)若点 M 在曲线

·5·

24.已知函数 f ( x) ?| x ? m | ? | x ? 2 | . (1)若函数 f ( x ) 的值域为 [?4, 4] ,求实数 m 的值; (2)若不等式 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集为 M ,且 [2, 4] ? M ,求实数 m 的取值范围.

·6·

2016 届高三数学试卷(理科)答题卡 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17、 (12 分) 15、 16、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

18、 (12 分)

·7·

19、 (12 分)

20、 (12 分)

21、 (12 分)
·8·

选做题 22□ 23□

24□(10 分)

·9·

22 题图

2016 届高三数学卷答案(5.14) 1-12 CBDDC BDAAC DA 13、 ? 2 13、 0.16 15、

a?

4 3

16、 2

a?

4 3

17.试题解析:试题解析: (1)设等比数列的首项为 a1 ,公比为 q , 由题意可知: 所以

2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,又因为 a2 ? a3 ? a4 ? 28

a3 ? 8, a2 ? a4 ? 20.

?a1 ? 32 3 ? ? a q ? a q ? 20 a ? 2 ? 1 ? ? 1 ?? 1 2 1 ? q? ? ? q?2 2 (舍) ?a1 q ? 8 ,解得 ? 或?


an ? 2 n
·10·

(2)由(1)知,

bn ? n ? 2 n ,

? Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n ? 2n
2Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? n ? 2n?1
①-②得

? S n ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? n ? 2n?1

? S n ? ?(


2 ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ?1 ) ? (n ? 1)2 n ?1 ? 2 1? 2

(n ? 1) 2 ? m(S n ? n ? 1) 对于 n ? 2 恒成立,则 (n ? 1) 2 ? m[(n ? 1)2 n?1 ? 2 ? n ? 1]
n ?1 2 n ?1 ? 1 ,

(n ? 1) 2 ? m(n ? 1)( 2 n ?1 ? 1),? m ?
n ?1 2 n ?1 ? 1 ,

f ( n) ?


则当 n ? 2 ,

f (n ? 1) ? f (n) ?

n 2 n?2

? n ?1 2 ? n?2 n?1 ? 1 ? ? ?0 ? 1 2 n?1 ? 1 (2 n?2 ? 1)(2 n?1 ? 1)

1 当 n ? 2 , f ( n) 单调递减,则 f ( n) 的最大值为 7 ,

?1 ? , ?? ? ? ?. 故实数 m 的取值范围为 ? 7
18、 【解析】 (1)由已知可得, n ? 260 m ? 240 ? 1.5 ? ? 35,?3m ? 2n ? 80 4 所以 4 , 又 m ? n ? 160 ,解得 m ? 80, n ? 80 .
y? n ? 260 m ? 240 ,x ? 4 4 ,因为回归直线 y=1.5 x ? 35 过点 ( x , y ) ,

p ? 1?
(2)在每场比赛中,获得一枚荣誉奖章的概率

2 C2 5 5 ? ? ~ B(3, ) 2 C4 6 ,则 6 ,

1 1 1 5 1 5 P (? ? 0) ? C30 ( )3 ? P(? ? 1) ? C3 ? ? ( )2 ? 6 216 , 6 6 72 , 所以

·11·

5 1 25 5 125 3 P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? P(? ? 3) ? C3 ? ( )3 ? 6 6 72 , 6 216 .
所以预测 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 216
E? ? 3 ? 5 5 ? 6 2.

5 72

25 72

125 216

故预测

19.试题解析: (Ⅰ)如图 4,取 AB 的中点 E,连接 SE,ED,过 F 作 FG∥SE 交 ED 于 G, 因为平面 SAB ? 平面ABCD ,并且 SA ? SB ? AB ? 2,
∴SE ? 平面ABCD ,∴FG ? 平面ACD ,

又 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60? , SE ? 3 ,
FG ? 1 3 1 SE ? S△ACD ? ? 2 ? 2sin120? ? 3 2 2 , 2 ,



∴三棱锥 S? FAC 的体积

V三棱锥S ? FAC ? V三棱锥S ? ACD ? V三棱锥F ? ACD

1 1 1 1 ? V三棱锥S ? ACD ? ? ? 3 ? 3 ? 2 2 3 2.

(Ⅱ)连接 AC,BD 交于点 O,取 AB 的中点 E,连接 SE,则 BD ? AC , SE ? AB ,以 O 为原点, AC,BD 为轴建系如图所示,

·12·

设直线 BD 与平面 FAC 所成角为 ? ,

0, 0) , C( 3, 0, 0) , B(0,? 1,0) , 则 A(? 3,
? ? ? 3 1 3? 3 1 S? ? ,? , 3 ? F? ? , , ? ? ? ? ? 2 2 D(0,, 1 0) ?, ? 4 4 2 ?, , ?

???? ? 3 3 1 3? AF ? ? ? 4 ,4 , 2 ? ? ???? 0, 0) , ? ? , AC ? (2 3, 所以,

? n 1) , 设平面 FAC 的法向量为 ? ( x,y,
???? ? 3 3 1 3 AF ? n ? x? y? ? 0 ???? ? 4 4 2 , AC ? n ? 2 3x ? 0 ,

? n ? 2 3, 1) , 得 ? (0, ??? ? 2, 0) , 又 BD ? (0,
? ??? ? 4 3 2 39 sin ? ?| cos? n, BD? |? ? 13 , 2 13 所以
2 39 故直线 BD 与平面 FAC 所成角的正弦值为 13 .

e?
20.试题解析: (1)由题意知

c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? a2 ? b2 e2 ? 2 ? ? 2 a 2 ,∴ 3 , a a 4 ,即

b?


6 ? 3 2 2 1?1 ,∴ a ? 4, b ? 3 ,
·13·

x2 y 2 ? ?1 3 故椭圆的方程为 4 .
(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,

? y ? k ( x ? 4) ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 2 ? 4 3 ? 由 ,得: (4k ? 3) x ? 32k x ? 64k ?12 ? 0 ,
2 2 2 2 由 ? ? (?32k ) ? 4(4k ? 3)(64k ?12) ? 0 ,得:

k2 ?

1 4,

32k 2 64k 2 ? 12 x ?x ? xx ? A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 1 2 4k 2 ? 3 , 1 2 4k 2 ? 3 ,① 设


y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1x2 ? 4k 2 (x1 ? x2 ) ?16k 2

2 ??? ? ??? ? 64k 2 ? 12 87 2 32k OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) ? 4 k ? 16k 2 ? 25 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ∴

0 ? k2 ?


??? ? ??? ? 13 1 87 87 87 OA ? OB ? [?4, ) ? ?? 2 ?? 4 ,∴ 3 4k ? 3 4 ,∴ 4 ,

13 ??? ? ??? ? [?4, ) 4 . ∴ OA ? OB 的取值范围是
(3)证明:∵ B、E 两点关于 x 轴对称,∴

E ( x2 , ? y2 ) ,

y ? y1 ?
直线 AE 的方程为

y1 ? y2 y (x ? x ) ( x ? x1 ) x ? x1 ? 1 1 2 x1 ? x2 y1 ? y2 , ,令 y ? 0 得: x? 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 8 ,



y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) ,∴

由将①代入得: x ? 1 ,∴直线 AE 与 x 轴交于定点 (1, 0) .

21.解析: (1) f ( x) ? e ? a, x ? R .
/ x / 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 0 恒成立,所以, f ( x) 在区间 ?? ?,??? 上单调递增.........2 分

·14·

/ 若 a ? 0 ,当 x ? ?ln a,??? 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 ?ln a,?? ? 上单调递增.

综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 ?? ?,??? ;当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 ?ln a,?? ? . ........................................................ 4 分

k?x f ?( x) ? 1 ? (k ? x)(e x ? 1) ? x ? 1 a ? 1 x ? 1 (2)由于 ,所以,
当 x ? 0 时, e ? 1 ? 0 ,故
x

(k ? x) ? e x ? 1? ? x ? 1 ? k ?

x ?1 ?x ex ?1 ————①......6 分

? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) / x ?1 ? ? g x ? ? 1 ? . 2 2 g ? x? ? x ? x ( x ? 0) x x e ? 1 e ? 1 e ? 1 令 ,则

?

?

?

?

函数 h( x) ? e ? x ? 2 在 ?0,??? 上单调递增,而 h(1) ? 0, h(2) ? 0.
x

所以 h( x) 在 ?0,??? 上存在唯一的零点, 故 g ( x ) 在 ?0,??? 上存在唯一的零点. .............................8 分
/

设此零点为 ? ,则 ? ? ?1,2? . 当 x ? ?0, ? ? 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? ?? ,??? 时, g ( x) ? 0 ;
/ /

所 以 ,

g ( x)



?0,???

上 的 最 小 值 为

g (? )

. 由

g / (? ) ? 0,

可 得

e? ? ? ? 2,

.........................................................10 分

所以, g (? ) ? ? ? 1 ? ?2,3?. 由于①式等价于 k ? g (? ) . 故整数 k 的最大值为 2. .............................................12 分

22.试题解析: (1)连接 AB ,因为点 A 为 BF 的中点,

?

? ? 故 BA ? AF ,??ABF ? ?ACB
又因为 AD ? BC , BC 是 ? O 的直径,

??BAD ? ?ACB

?? A B F ? ?B A D
·15·

? AE ? BE
2 (2)由 ?ABG ? ?ACB 知 AB ? AG ? AC ? 9 ?16

AB ? 12
直角 ?ABC 中由勾股定理知 BC ? 20 圆的半径为 10

x ? cos ? ? ? ? 3 ? x ? 3cos ? ? x2 y 2 ?sin ? ? y ? ? ?1 y ? 2sin ? 得 ? ? 2 ,代入 cos 2 ? ? sin 2 a ? 1 得 9 4 23.试题解析: (1)由 ?
(2)曲线 C 的普通方程是: x ? 2 y ? 10 ? 0 设点 M (3cos ? , 2sin ? ) ,由点到直线的距离公式得:

d?

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

1 3 4 5cos(? ? ? ) ? 10 cos ? ? ,sin ? ? 5 5 5 其中
9 8 M( , ) 5 5

?? ? ? ? 0 时, dmin ? 5 ,此时

24.试题解析:(1) 由不等式的性质得: 因为函数

x?m ? x?2 ? x?m?x?2 ? m?2

f ? x?

的值域为

??4, 4? ,所以 m ? 2 ? 4 ,

即 m ? 2 ? ?4 或 m ? 2 ? 4 所以实数 m = ? 2 或 6 . (2)

f ? x? ? x ? 4

,即

x?m ? x?2 ? x?4

x ? m ? x ? 4 + x ? 2 ? x ? m ? ?x+4+x ? 2 ? 2 当 2 ? x ? 4 时, ,
x?m ? 2
,解得: x ? m ? 2 或 x ? m ? 2 ,即解集为

? ??, m ? 2? 或 ?m ? 2, ??? ,

由条件知: m+2 ? 2 ? m ? 0 或 m ? 2 ? 4 ? m ? 6 所以 m 的取值范围是

+?? ? ??,0? ? ?6, .

·16·


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