2012福建理如图椭圆


1、2012 福建文如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均 在抛物线 E : x 2 ? 2 py( p ? 0) 上。 (I)求抛物线 E 的方程; (II) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P , 与直线 y ? ?1 相交于点 Q 。 证明以 PQ 为直

2、2012 福建理如图椭圆 E :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 e=2, 2 a b

过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试探 究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐

标;若不存在,说明理由.

2、解:解法一:

(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以 4a=8,a=2. 1 c 1 又因为 e= ,即 = ,所以 c=1, 2 a 2 所以 b= a -c = 3. 故椭圆 E 的方程是 + =1. 4 3
2 2

x2 y2

?y=kx+m, ? (2)由?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ?

得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且 Δ =0, 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.(*) 4km 4k 3 ? 4k 3? 此时 x0=- 2 =- ,y =kx +m= ,所以 P?- , ?. 4k +3 m 0 0 m ? m m? 由?
?x=4, ? ? ?y=kx+m

得 Q(4,4k+m).

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. → → 设 M(x1,0),则MP·MQ=0 对满足(*)式的 m、k 恒成立. 3? → → ? 4k → → 因为MP=?- -x1, ?,MQ=(4-x1,4k+m),由MP·MQ=0,

?

m

m? m

16k 4kx1 2 12k 得- + -4x1+x1+ +3=0,

m

m

整理,得(4x1-4) +x1-4x1+3=0.(**)
? ?4x1-4=0, 由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立,所以? 2 ?x1-4x1+3=0, ?

k m

2

解得 x1=1.

故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 解法二:(1)同解法一.

?y=kx+m, ? (2)由?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ?

得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且 Δ =0, 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.(*) 4km 4k 3 ? 4k 3? 此时 x0=- 2 =- ,y0=kx0+m= ,所以 P?- , ?. 4k +3 m m ? m m?

由?

? ?x=4, ?y=kx+m, ?

得 Q(4,4k+m).

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 取 k=0,m= 3,此时 P(0, 3),Q(4, 3),以 PQ 为直径的圆为(x-2)2+(y- 3)2=4,交 x 轴于点 1 ? 3? ? 5? ? 3? M1(1,0),M2(3,0);取 k=- ,m=2,此时 P?1, ?,Q(4,0),以 PQ 为直径的圆为?x- ?2+?y- ? 2? 2 ? ? 2? ? 4?
2

=

45 ,交 x 轴于点 M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点 M 存在,则 M 的坐标必为(1,0). 16

以下证明 M(1,0)就是满足条件的点: 3? → → ? 4k 因为 M 的坐标为(1,0),所以MP=?- -1, ?,MQ=(3,4k+m),

?

m

m?

→ → 12k 12k 从而MP·MQ=- -3+ +3=0,

m

m

→ → 故恒有MP⊥MQ,即存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 径的圆恒过 y 轴上某定点。


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