【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-3)练习:知能基础测试]


选修 2-3 知能基础测试
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中 标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( A.12 种 [答案] B
2 [解析] 由题意,不同的放法共有 C1 3C4=18 种.

)

B.18 种

C.36 种

D.54 种

2.(2014· 四川理,2)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为( A.30 C.15 [答案] C [解析] x3 的系数就是(1+x)6 中的第三项的系数,即 C2 6=15. B.20 D.10

)

3.某展览会一周(七天)内要接待三所学校学生参观,每天只安排一所学校,其中甲学 校要连续参观两天,其余学校均参观一天,则不同的安排方法的种数是( A.210 C.60 [答案] D
2 [解析] 首先安排甲学校,有 6 种参观方案,其余两所学校有 A5 种参观方案,根据分步

)

B.50 D.120

计数原理,安排方法共 6A2 5=120(种).故选 D. 4.若随机变量 ξ~N(-2,4),则 ξ 在区间(-4,-2]上取值的概率等于 ξ 在下列哪个区 间上取值的概率( A.(2,4] C.[-2,0) [答案] C [解析] 此正态曲线关于直线 x=-2 对称,∴ξ 在区间(-4,-2]上取值的概率等于 ξ 在[-2,0)上取值的概率. 5.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5);变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1).r1 表示变量 Y 与 X 之 间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则( A.r2<r1<0 C.r2<0<r1 B.0<r2<r1 D.r2=r1 ) ) B.(0,2] D.(-4,4]

[答案] C [解析] 画散点图, 由散点图可知 X 与 Y 是正相关, 则相关系数 r1>0, U 与 V 是负相关, 相关系数 r2<0,故选 C. 6.现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻 译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( A.152 C.90 [答案] B
2 3 [解析] 先安排司机:若有一人为司机,则共有 C1 3C4A3=108 种方法,若司机有两人, 3 此时共有 C2 3A3=18 种方法,故共有 126 种不同的安排方案.

)

B.126 D.54

7.设 a=?π(sinx+cosx)dx,则二项式(a x-

?0

1 6 ) 展开式中含 x2 项的系数是( x

)

A.192 C.96 [答案] B [解析] 由题意知 a=2
r ∴Tr+1=C6 (2 x)6 r· (-


B.-192 D.-96

1 r - r 6-r ) =C6 · 2 · (-1)r· x3 r x

∴展开式中含 x2 项的系数是 C1 25 · (-1)=-192.故选 B. 6· 8.给出下列实际问题: ①一种药物对某种病的治愈率; ②两种药物冶疗同一种病是否有区别; ③吸烟者得肺病 的概率;④吸烟人群是否与性别有关系;⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系.其中,用独立 性检验可以解决的问题有( A.①②③ C.②③④⑤ [答案] B [解析] 独立性检验主要是对事件 A、B 是否有关系进行检验,主要涉及两种变量对同 一种事物的影响,或者是两种变量在同一问题上体现的区别等. 9.在一次独立性检验中,得出列联表如下: A B B 合计 200 180 380 A 800 a 800+a 合计 1000 180+a 1180+a ) B.②④⑤ D.①②③④⑤

且最后发现,两个分类变量 A 和 B 没有任何关系,则 a 的可能值是( A.200 C.100 [答案] B B.720 D.180

)

a c [解析] A 和 B 没有任何关系,也就是说,对应的比例 和 基本相等,根据列联 a+b c+d 200 180 表可得 和 基本相等,检验可知,B 满足条件.故选 B. 1 000 180+a 10.从装有 3 个黑球和 3 个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出 3 个球,用 ξ 表示 摸出的黑球个数,则 P(ξ≥2)的值为( 1 A. 10 1 C. 2 [答案] C C2 C1 C3 3· 3 3 [解析] 根据条件, 摸出 2 个黑球的概率为 3 , 摸出 3 个黑球的概率为 3, 故 P(ξ≥2) C6 C6
3 C2 C1 1 3· 3 C3 = 3 + 3= .故选 C. C6 C6 2

) 1 B. 5 2 D. 5

11. 甲、 乙、 丙三位学生用计算机联网学习数学, 每天上课后独立完成 6 道自我检测题, 4 3 7 甲及格的概率为 ,乙及格的概率为 ,丙极格的概率为 ,三人各答一次,则三人中只有一 5 5 10 人及格的概率为( 3 A. 20 47 C. 250 [答案] C [解析] 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率 ) 42 B. 135 D.以上都不对

3 7 4 3 7 4 3 4 7 47 1- ?×?1- ?+?1- ?× ×?1- ?+?1- ?×?1- ?× = .故选 C. 为: ×? 5? ? 10? ? 5? 5 ? 10? ? 5? ? 5? 10 250 5 ? 12.(1- x)6(1+ x)4 的展开式中 x 的系数是( A.-4 C.3 [答案] B [解析] 解法 1:(1- x)6(1+ x)4 的展开式中 x 的一次项为:
0 2 2 0 C6 · C4( x)2+C2 C4+C1 C1 6(- x) · 6(- x)· 4( x)=6x+15 x-24 x=-3 x,

)

B.-3 D.4

所以(1- x)6(1+ x)4 的展开式中 x 的系数是-3.

解法 2:由于(1- x)6(1+ x)4=(1-x)4(1- x)2 的展开式中 x 的一次项为:
1 0 2 C4 (-x)· C0 C2(- x)2=-4x+x=-3x, 2+C4·

所以(1- x)6(1+ x)4 的展开式中 x 的系数是-3. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13.设(x-1)21=a0+a 1x+a 2x2+?+a21x21,则 a10+a11=________. [答案] 0
11 10 11 10 10 [解析] 本题主要考查二项展开式.a10=C10 21(-1) =-C21,a11=C21(-1) =C21,所以 10 10 10 a10+a11=C11 21-C21=C21-C21=0.

14.已知 ξ 的分布列为: ξ P 则 D(ξ)等于____________. [答案] 179 144 1 1 4 2 1 3 3 1 6 4 1 4

1 1 1 1 29 [解析] 由已知可得 E(ξ)=1× +2× +3× +4× = ,代入方差公式可得 D(ξ)= 4 3 6 4 12 179 . 144 15.对于回归方程 y=4.75x+2.57,当 x=28 时,y 的估计值是____________. [答案] 135.57 [解析] 只需把 x=28 代入方程即可,y=4.75×28+2.57=135.57. 16.某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课 各 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为________(用数字 作答). [答案] 3 5

[解析] 本题考查了排列组合知识与概率的求解.6 节课共有 A6 按要求共有三类 6种排法, 排法,一类是文化课与艺术课相间排列,有 A3 A3 3· 4种排法;第二类,艺术课、文化课三节连
3 2 1 2 1 3 排,有 2A3 C3A3种排 3A3种排法;第三类,2 节艺术课排在第一、二节或最后两节,有 C3C2A2·

法,则满足条件的概率为
3 3 3 2 1 2 1 3 A3 C3A3 3 3A4+2A3A3+C3C2A2· = . 6 A6 5

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2?n 17. (本题满分 12 分)已知? ? x+ x? 的展开式中第五项的系数与第三项的系数比是 求展开式中含 x 的项. ,

[解析]

4 T5=Cn · (

x)

n-4

4 4 ?2?4=Cn · · 2· x ?x?

n-12
2

,T3=C2 ( n·

x)

n-2

?2?2=C2 · 22· x n· ? x?

n-6
2

,所以

C4 24 10 n· 2 ,即 C4 22=10C2 2 2= n· n,化简得 n -5n-24=0,所以 n=8 或 n=-3(舍去),所以 Tr+1 Cn· 2 1 =Cr 8(
r r ?2?r=C8 x) · · 2· x ? x? 8-r

8-3r
2

8-3r ,由题意:令 =1,得 r=2.所以展开式中含 x 的项为 2

2 2 第 3 项,T3=C8 · 2· x=112x.

18.(本题满分 12 分)某电脑公司有 6 名产品推销员,其中 5 名的工作年限与年推销金 额数据如下表: 推销员编号 工作年限 x/年 推销金额 Y/万元 1 3 2 2 5 3 3 6 3 4 7 4 5 9 5

(1)求年推销金额 Y 关于工作年限 x 的线性回归方程; (2)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年,试估计他的年推销金额. ^ ^ ^ [解析] (1)设所求的线性回归方程为y=bx+a,

^ 则b=

i=1

? ?xi- x ??yi- y ? ? ?xi- x ?2
5

5

10 = =0.5, 20

i=1

^ ^ a= y -b x =0.4. ^ 所以年推销金额 Y 关于工作年限 x 的线性回归方程为y=0.5x+0.4. (2)当 x=11 时, ^ y=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元). 所以可以估计第 6 名推销员的年推销金额为 5.9 万元. 19.(本题满分 12 分)在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人.女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是 运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)试问休闲方式是否与性别有关? [解析] (1)2×2 列联表为 性别 女 男 看电视 43 21 运动 27 33 合计 70 54

总计 (2)由 χ2 计算公式得其观测值

64

60

124

124×?43×33-27×21?2 χ= ≈6.201. 70×54×64×60
2

因为 6.201>3.841,所以有 95%的把握认为休闲方式与性别有关. 20.(本题满分 12 分)某研究机构举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参 加,使用不同版本教材的教师人数如表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言, 设使用人教 A 版的教师人数为 ξ, 求随机变 量 ξ 的分布列. [解析] (1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C2 50=1 225.
2 2 2 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C2 20+C15+C5+C10=350.

350 2 故 2 人使用版本相同的概率为:P= = . 1 225 7
1 C2 3 C1 60 15 20C15 (2)∵P(ξ=0)= 2 = ,P(ξ=1)= 2 = , C35 17 C35 119

C2 38 20 P(ξ=2)= 2 = ,∴ξ 的分布列为 C35 119 ξ P 0 3 17 1 60 119 2 38 119

21.(本题满分 12 分)(2014· 陕西理, 19)在一块耕地上种植一种作物, 每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 概率 300 0.5 500 0.5

作物市场价格(元/kg) 概率

6 0.4

10 0.6

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元的 概率. [解析] (1)设 A 表示事件“作物产量为 300kg”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元 /kg”, 由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4,

∵利润=产量×市场价格-成本, ∴X 所有可能的取值为 500×10-1000=4000,500×6-1000=2000, 300×10-1000=2000,300×6-1000=800, - - P(X=4000)=P( A )P( B )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, - - P(X=2000)=P( A )P(B)+P(A)P( B )=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 所以 X 的分布列为 X P 4000 0.3 2000 0.5 800 0.2

(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i=1,2,3), 由题意知 C1,C2,C3 相互独立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为 - - - P( C 1C2C3)+P(C1 C 2C3)+P(C1C2 C 3)=3×0.82×0.2=0.384, 所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512+0.384=0.896. 22.(本题满分 14 分)学校校园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个 黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱 子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原 箱) (1)求在 1 次游戏中, ①摸出 3 个白球的概率; ②获奖的概率. (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X). [解析] (1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=0,1,2,3), 则 P(A3)= 1 . 5
2 1 1 C2 C1 1 3 C2 3C2 C2 ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3.又 P(A2)= 2· 2+ 2 · 2= , C5 C3 C5 C3 2 1 C2 3 C2 2· 2= C5 C3

且 A2,A3 互斥,

1 1 7 所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = . 2 5 10 (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. 7 ?2 9 P(X=0)=? ?1-10? =100, 7 ? 21 7 ? P(X=1)=C1 2· ·1-10 = ? 50, 10 ? 7 ?2 49 P(X=2)=? ?10? =100. 所以 X 的分布列是 X P X 的数学期望 E(X)=0× 0 9 100 1 21 50 2 49 100

9 21 49 7 +1× +2× = . 100 50 100 5


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