2015高中数学 1.1变化率与导数课件 新人教版选修2-2_图文

第一章

导数及其应用

1.1 变化率与导数

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预习导引

1.记住函数的平均变化率的概念,学会用符号语言刻画函数的平均 学习目 标 变化率; 2.知道函数的平均变化率的几何意义,会求函数的平均变化率; 3.知道导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数; 4.会通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 重点:导数的概念及其几何意义; 难点:导数的概念.

重点难 点

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1.平均变化率 (1)平均变化率的定义 对于函数 f(x),当自变量 x 从 x1 变到 x2 时,函数值从 f(x1)变到 f(x2), 则称式子
(2 )-f(1 ) 为函数 2 -1

f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率.

(2)符号表示 习惯上,自变量的改变量用 Δx 表示,即 Δx=x2-x1,函数值的改变量用 Δy 表示,即 Δy=f(x2)-f(x1),于是平均变化率可以表示为Δ .
Δ

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(3)平均变化率的几何意义 如下图所示,函数 f(x)的平均变化率的几何意义是直线 AB 的斜率. 事实上,kAB=
- -

=

(2 )-f(1 ) 2 -1

=

Δ .根据平均变化率的几何意义,可求解 Δ

有关曲线割线的斜率.

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预习交流 1
思考:函数 f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率可以等于 0 吗?若平均 变化率等于 0,是否说明 f(x)在区间(x1,x2)上没有变化或一定为常数? 提示:函数 f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率可以等于 0,这时 f(x1)=f(x2);平均变化率等于 0,不能说明 f(x)在区间(x1,x2)上没有变化,也 不能说明 f(x)一定为常数,例如 f(x)=x2-1 在区间(-2,2)上.

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2.导数的概念 (1)导数的定义 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是
y x →0 x



=

f( 0 +x)-f( 0 ) ,称它为函数 x x → 0

y=f(x)在 x=x0 处的导数.

(2)导数的符号表示 用 f'(x0)或 y'|x=x 0 表示函数 f(x)在 x=x0 处的导数,即 f'(x0)=
f(0 +x)-f( 0 ) . x x →0 y x →0 x

=

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预习交流 2
(1)思考:能否认为函数在 x=x0 处的导数值越大,其函数值变化就越 大? 提示:不能.导数的正、负号确定函数值变化的趋势,其绝对值的大 小决定函数值变化的快慢,应该说导数的绝对值越大,函数值变化得越 快. (2)做一做:求函数 f(x)=2x2 在 x=-1 处的导数. 提示:①求 f(x)在 x=-1 处函数值的改变量 y Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=2(Δx)2-4Δx;②求 f(x)的平均变化率 =2Δx-4; x y ③求瞬时变化率即导数 f'(-1)= = (2Δx-4)=-4.
x →0 x x →0

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3.导数的几何意义 (1)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是曲线 y=f(x)在点 x0 处的切 线的斜率,即 f'(x0)=k=
f(0 +x)-f( 0 ) . x x →0

(2)从求函数 f(x)在 x=x0 处导数的过程可以看到,当 x=x0 时,f'(x0)是 一个确定的数.这样,当 x 变化时,f'(x)便是 x 的一个函数,称它为 f(x)的导 函数(简称为导数),y=f(x)的导函数有时也记作 y',即 f'(x)=y'=
f(x+x)-f(x) . x x →0

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预习交流 3
曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗? 提示:不一定.曲线的切线与曲线可能有一个公共点,也可能有无数 个公共点.如直线 y=1 与曲线 y=sin x 相切,它们有无数个公共点.

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一、函数平均变化率的计算 活动与探究
1.在平均变化率的计算公式中,Δx,Δy 的范围是什么? 提示:Δx 为自变量的改变量,所以 Δx≠0,可正、可负. Δy 为函数值的改变量,所以 Δy 可正、可负、可为零,即 Δy∈R. 2.函数 f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率的几何意义是什么?它的 范围是什么? 提示:函数 f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率表示的是过(x1,f(x1))与 (x2,f(x2))两点的直线的斜率,它可正、可负、可为零.

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例 1 求函数 f(x)=x+2在区间(-1,0),(1,3),(4,4+Δx)上的平均变 化率. 思路分析:按照平均变化率的定义分三步求得平均变化率的值或 表达式. 解:f(x)=x+2在区间(-1,0)上的平均变化率为
y x 1

1

=

f(0)-f(-1 ) 0-(-1)

=

1 -1 2

1

=- ;

1 2

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f(x)=x+2 在区间(1,3)上的平均变化率为
y x

1

=

f(3)-f(1) 3-1

=

11 53

2

=-15;

1

f(x)=
y x

1 在区间(4,4+Δx)上的平均变化率为 x+2 f(4+x)-f(4) (4+x)-4

=

=

1 1 6+x 6

x

= 6(6+x) .

-1

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迁移与应用 1.已知函数 y=f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点 (1+Δx,f(1+Δx)),则x =( A.4 C.4+2(Δx)2 D.4x
y

)

B.4+2Δx

答案:B 解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2 -1-2+1=2(Δx)2+4Δx, 故 =2Δx+4.
y x

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2.已知 f(x)=x2-3x+5,则函数 f(x)从 1 到 2 的平均变化率 是 . 答案:0 解析:∵ Δx=2-1=1,Δy=f(2)-f(1) =22-3× 2+5-(12-3× 1+5)=0, ∴ =0.∴ 函数 f(x)从 1 到 2 的平均变化率为 0.
y x

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求函数 y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的步骤: (1)求自变量的改变量:Δx=x2-x1; (2)求函数值的改变量:Δy=f(x2)-f(x1); (3)求平均变化率:
y x

=

f(2 )-f(1 ) . 2 -1

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二、瞬时速度 活动与探究
什么是瞬时速度?在跳水运动中,若瞬时速度为负,说明什么问题? 提示:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.说明此时运动员是下 降的.

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例 2 一辆汽车按规律 s(t)=at2+1 做直线运动,若汽车在 t=2 时的瞬时速度为 12,求 a. 思路分析:先根据瞬时速度的求法得到汽车在 t=2 时的瞬时速度的 表达式,再代入求出 a 的值. 解:∵ s=at2+1, ∴ s(2+Δt)=a(2+Δt)2+1=4a+4aΔt+a(Δt)2+1. 于是 Δs=s(2+Δt)-s(2)=4a+4aΔt+a(Δt)2+1-(4a+1)=4aΔt+a(Δt)2,
s ∴ t

=

4at+a(t) t

2

=4a+aΔt.因此

s t→0 t

= (4a+aΔt)=4a,
t→ 0

依题意有 4a=12,∴ a=3.

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迁移与应用 1.一个物体的运动方程为 s(t)=1-t+t2,其中 s 的单位是米,t 的单位是 秒,那么该物体在 3 秒末的瞬时速度是( ) A.7 米/秒 C.5 米/秒 答案:C 解析:s(3+Δt)=1-(3+Δt)+(3+Δt)2=(Δt)2+5Δt+7,所以 s(3+Δt)-s(3)=(Δt)
2

B.6 米/秒 D.8 米/秒

s(3+t)- s(3) +5Δt,故 =Δt+5,于是物体在 t

3 秒末的瞬时速

s 度为 t =5(米/秒). t→0

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2.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,则此物 体在 t=2 时的瞬时速度是 . 答案:-1 解析:∵ Δs=3(2+Δt)-(2+Δt)2-(3× 2-22) =3Δt-4Δt-(Δt)2=-Δt-(Δt)2,
s ∴ t

=

-t-(t) t

2

=-1-Δt.

∴ v=

s t→0 t

= (-1-Δt)=-1.
t→ 0

∴ 物体在 t=2 时的瞬时速度为-1.

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根据条件求瞬时速度的步骤: (1)探究非匀速直线运动的规律 s=s(t); (2)由时间改变量 Δt 确定位移改变量 Δs=s(t0+Δt)-s(t0); (3)求平均速度 v= ; (4)运用逼近思想求瞬时速度:当 Δt→0 时,t →v(常数).
s s t

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三、利用导数的定义求导数 活动与探究
1.求函数在某点 x0 处导数的步骤. 提示:(1)求函数值的改变量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率x ; (3)取极限,得导数 f'(x0)=
y . x →0 x y

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2.根据导数定义,若 f'(x0)=3,则
f(0 +2x)-f(0 ) = x x →0



.
f(0 +2x)- f(0 ) =f'(x0), 2x x → 0

提示:由导数定义知, 则

f(0 +2x)-f( 0 ) f(0 +2x)-f( 0 ) = 2 =2f'(x0)=6. x 2x x → 0 x → 0

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例 3(1)求函数 f(x)=

1 在 x+1

x=1 处的导数;

(2)求函数 f(x)=2 x 的导数. 思路分析:对于(1)可有两种方法:一是直接利用导数定义求解,二是 先求出 f'(x),再令 x=1 求得 f'(x)的函数值即得导数值;对于(2)可按照导函 数的定义直接求导数. 解:(1)方法一:(导数定义法)∵ Δy=f(1+Δx)-f(1)=
-x y ,∴ 2(2+x) x 1 2+x

? =

1 2

=

-1 .故 2(2+x)

f(x)在 x=1 处的导数 f'(1)=

y 1 =- . x → 0 x 4

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方法二:(导函数的函数值 法)∵ Δy=x+x+1 ? x+1 = (x+x+1)(x+1),∴ = (x+x+1)(x+1).因此 x f'(x)=
y x → 0 x 1 1 -x y -1

=

-1

(x+1 )

2,于是 f'(1)=

-1

(1+1 )

2 =- .

1 4

(2)∵ Δy=f(x+Δx)-f(x)=2 x + x-2 x,
y ∴ x

=

2 x+x-2 x (2 x+x-2 x)( x+x+ x ) 2 = = . x x( x+x+ x ) x+x+ x y x → 0 x

于是 f(x)的导数 f'(x)=

=

2 x →0 x+x+ x

=

1 x

=

x . x

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迁移与应用 1.若函数 f(x)=ax-2 在 x=3 处的导数等于 4,则 a=( A.3 答案:C 解析:由题意知 f'(3)=4,而 f'(3)= a=4.
a(3+x)-2-( 3a-2 ) x x →0

)

B.-2

C.4

D.2

= a=a,故
x → 0

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2.函数 y=x2 在 x=2 处的导数为 答案:-1 解析一:(导数定义法) ∵ Δy=
y 4 (x+2 )
2

4

.

?

4 2
2

=

4

(x+2)

2 -1=-

(x ) +4x (x+2)
2

2

,

∴ =x

x+4

(x+2 )

2 .∴

y x+4 = 2 =-1. x → 0 x x → 0 (x+2)

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解析二:(导函数的函数值法) ∵ Δy=
y 4 (x+x)
2 ? x2=-

4

4x(2x+x) 2 (x+x )
2

,

∴ =x

2. 2 (x+x )

4(2x+x)

∴ y'=

y 4(2x+x) 8 = =y'|x=2=-1. 2 3 .∴ 2 x x x →0 x →0 (x+ x)

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(1)“函数在一点处的导数”:就是在该点的函数的改变量与自变量 的改变量的比的极限,它是一个数值,不是变量. (2)“导函数”:如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说 f(x) 在开区间(a,b)内可导,这时对于区间(a,b)内每一个确定的值 x0,都对应着 一个导数 f'(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这一 新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作 f'(x)或 y',即 f'(x)=y'=
y x →0 x f(x+x)-f(x) . x x →0

=

(3)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是导函数 f'(x)在点 x=x0 处的 函数值 f'(x0)=y'|x=x0 ,所以求函数在某一点处的导数,一般是先求出函数 的导函数,再计算这点的导函数值.

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四、导数的几何意义及应用 活动与探究
1.函数在某点瞬时变化率的大小对函数图象的变化趋势有什么影 响? 提示:当函数在某点瞬时变化率为正时,说明函数图象是上升的,并 且值越大,上升得越快;反之,当瞬时变化率的值为负时,说明函数图象是 下降的,并且绝对值越大,下降得越快.

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2.曲线在点(x0,y0)处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线含义相同吗? 如何求过点(x0,y0)的切线方程? 提示:含义不同,曲线在点(x0,y0)处的切线说明点(x0,y0)一定是切 点,k=f'(x0),切线方程为 y-y0=f'(x0)(x-x0 ),化简即得切线方程.曲线过点 (x0,y0)的切线,点(x0,y0 )不一定是切点,点(x0,y0)也可能不在曲线上,求切 线方程时应设出切点(x1,y1),求出切线方程形式 y-y1=f'(x1)(x-x1),把点 (x0,y0)代入求出 x1,再求出切线方程.

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例 4 设直线 l 是曲线 y=x2 的一条切线,求满足下列要求的切 点. (1)平行于直线 y=4x-5; (2)垂直于直线 2x-6y+5=0; (3)与 x 轴成 135° 的倾斜角. 思路分析:本题主要考查导数的几何意义和两直线平行、垂直的条 件.解题的关键是设出切点的坐标.求出切线的斜率.
f(x+x)-f(x) 解:f'(x)= x x → 0 (x+x) - 2 =2x,设 x x →0
2

=

P(x0,y0 )是满足条件

的切点.

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(1)∵ 切线与直线 y=4x-5 平行, ∴ 2x0=4,x0=2,y0=4,即 P(2,4)是满足条件的点. 1 (2)∵ 切线与直线 2x-6y+5=0 垂直,∴ 2x0· =-1,
3

得 x0=- ,y0= ,即 P - ,

3 2

9 4

3 9 2 4

是满足条件的点.

(3)∵ 切线与 x 轴成 135° 的倾斜角,∴ 其斜率为-1,即 2x0=-1, 得 x0=- ,y0= ,即 P - ,
1 2 1 4 1 1 2 4

是满足条件的点.

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迁移与应用 1.已知曲线 y=2x2-2 上一点 P 1,- 2 ,则过点 P 的切线的倾斜角为 ( ) A.30° 答案:B 解析:∵ y=2x2-2,∴ y'= =
1 2 ( x ) +xx 2

1

3

B.45°

C.135°
1 2 1 2 ( x+ x ) 2 -2 2 2

D.165°

1

x → 0

x

x → 0

x

= x + 2 x =x.∴ y'|x=1=1.
x →0

1

∴ 过点 P 1,-

3 2

的切线的斜率为 1,则切线的倾斜角为 45° .

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2.已知曲线 C:y=x3. (1)求以曲线 C 上横坐标为 1 的点为切点的切线方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点? 解:(1)将 x=1 代入曲线 C 的方程得 y=1, 3 y (x+x) - 3 故切点为 P(1,1).∵ y'= =
3 2 x+3x(x ) +(x ) = x x → 0
2

x → 0 x
3

x →0

x

= [3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,
x →0

∴ y'|x=1=3.∴ 过 P 点的切线方程为 y-1=3(x-1), 即 3x-y-2=0. y = 3(x-1) + 1, 2 (2)由 可得 (x-1)(x +x-2)=0,解得 x1=1,x2=-2. 3 y=x , 从而求得公共点为 P(1,1),或 P(-2,-8). 说明切线与曲线 C 除了切点外,还有另外的公共点.

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(1)导数的几何意义是指:曲线 y=f(x)在(x0,y0)点处的切线的斜率就 是函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,而切线的斜率就是切线倾斜角的正切 值. (2)运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时,一定要注意所给 的点是否在曲线上,若点在曲线上,则该点的导数值就是曲线在该点的 切线的斜率;若该点不在曲线上,则该点的导数值不是切线的斜率. (3)若所给的点不在曲线上,应另设切点,然后利用导数的几何意义 建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解.

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1

2

3

4

5

1.函数 f(x)=x3 在区间(-1,3)上的平均变化率为( A.6.5 答案:B 解析:
y x f(3)-f(-1) 3-(-1)

) D.13

B.7
27-(- 1) =7. 4

C.14

=

=

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1

2

3

4

5

2.若一物体的运动方程为 s(t)=2-2t2,则该物体在 t=6 时的瞬时速度为 ( A.8 答案:C
s 解析:瞬时速度为 t→0 t

1

) B.-4 C.-6
s(6+t)-s(6) t t→0

D.6
2-2(6+t)2 -(-16 ) t
1

=

=

t →0

=

t→0

- t-6 =-6.

1 2

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2

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5

3.已知曲线 y=2x2 上一点 A(2,8),则该曲线在点 A 处的切线斜率为( A.4 C.8 答案:C 解析:由于 B.16 D.2
y y'|x=2= x →0 x 2(2+x ) -8 =8,由导数几何意义知点 A x x → 0
2

)

=



的切线斜率 k=y'|x=2=8.

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2

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4

5

4.若 f(x)=-4x+1,则 f'(0)= 答案:-4 解析:f'(0)=
y x →0 x

.

=

-4(0+x)+1-1 =-4. x x →0

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1

2

3

4

5

5.函数 f(x)的图象如图所示,则 0,f'(2),f'(3)及 f(3)-f(2)的大小顺序 为 .

答案:0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) 解析:根据几何意义可知 f'(2)>f'(3)>0, 又 f(3)-f(2)=
f(3)- f(2) 为过(2,f(2))及(3,f(3))两点的直线的斜率, 3- 2

所以 f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).


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