函数模型的应用实例(第一课时)_图文

一、新课引入
到目前为止,我们已经学习了哪些常用函数?

一次函数
二次函数 指数函数

y ? ax ? b
y ? ax ? bx ? c
2
x

(a≠0)

y ? a (a ? 0, 且a ? 1)

对数函数
幂函数

y ? log x(a ? 0, 且a ? 1)
a

y?x

a

例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。
v /(km ?h -1)

(1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积,并说明所求面积的 实际含义;
解:(1)阴影部分的面积为

90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5

t/h

50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360

图3.2-7

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路 程为360km

(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前 的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表 读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象。 解:根据图3.2-7,有
s
90 80
2400

v /(km ?h -1)

S=

50t+2004 0≤t<1 80(t-1)+2054 1≤t<2 90(t-2)+2134 2≤t<3 75(t-3)+2224 65(t-4)+2299 3≤t<4 4≤t<5

70 60
2300

50
2200

40 30

2100

20 10

2000

1
0 1

2
2

3
3

4

5
4

t/h
5

t

这个函数的图象如图3.2-8所示

图3.2-7 图3.2-8

例4 人口问题是当今世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了 自然状态下的人口增长模型: rt 0

y?ye

其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示 人口的年平均增长率。 表3-8是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份 人数/万 人 1950
55196

1951
56300

1952
57482

1953
58796

1954
60266

1955
61456

1956
62828

1957
64563

1958
65994

1959
67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口 增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据 是否相符;
解:(1)设1951~1959年的人口增长率分别为 r1,r2,…,r9. 由 55196 (1+r1) =56300

可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。
同理可得, r2≈0.0210 r5≈0.0197 r6≈0.0223 r8≈0.0222 r3≈0.0229 r4≈0.0250 r7≈0.0276 r9≈0.0184

于是,1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为 r=(r1+r2+·· 9)÷9≈0.0221 ·+r

令y0=55196,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为

y ? 55196 e

0.0221t

,t ? N
y
70000

根据表3-8中的数据作出散点图, 并作出函数的图象(图3.2-9)。

65000

60000

由图3.2-9可以看出,所得模型与 1951~1959年的实际人口数据 基本吻合。

55000 50000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t

图3.2-9

(2)如果按表3-8的增长趋势,大约在哪一年我国的 人口达到13亿? 解:将 y=13亿代入

y ? 55196 0.0221t , t ? N e
t≈38.76

由计算器可得

所以,如果按表3-8的增长趋势,那么大约在1950年 后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿。 由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口 自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力。

练习1

中国移动通讯公司拥有“全球通”“神州行”“动感地 三大著名客户品牌. “全球通”:收费标准是月租费50元 通话1分钟话费0.4元;“神州行”:不缴月租费,本地接听 和主叫均为0.6元/分钟,长途0.8元; “动感地带” (M—zone)是今年3月份北京移动为年轻一族量身定做 的移动客户品牌.其最大卖点在于其短信套餐,分别为 每月支付20元可发300条短信或者每月支付30元可发500 条短信(假设选择第一种套餐),一条不到一毛钱, 资费标准:中国移动网内0.4元/分钟,网外0.6元/分钟, 免交月租.若一个月内通话分钟为x(仅考虑均拨打本地 网内电话的情况), 三种方式的费用分别为y1元、y2元和y3元.

(1)一个月内通话多少分钟,“全球通”与“神州行” 通讯费相同?
(2)某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种 通讯方式合算? 解:(1)y1=50+0.4x,y2=0.6x,y3=20+0.4x, 由y1=y2,解得x=250,所以一个月通话250分钟, 两种方式通讯费相同.

(2)当x=300时,y1=170元,y2=180元, y3=140元,所以使用“动感地带”合算 些.

解函数的应用问题,一般地可按以下四步进行: 第一步:阅读理解,认真审题 第二步:引进数学符号,建立数学模型 第三步:利用数学的方法求解数学模型 第四步:再转移成具体问题作出解答

1.通过对给出的图形和数据的分析,抽象出相应 的确定的函数模型。 2.根据收集到的数据,作出散点图,并通过观察 图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器 的数据得出具体的函数解析式。再用得到的函 数模型解决相应的问题。

注 意

用已知的函数模型刻画实际问题的时候,由 于实际问题的条件与得出已知模型的条件有 所不同,因此,往往需要对模型进行修正。


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