高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆破题致胜复习检测新人教A版选修2_1

内部文件,版权追溯 2.1 椭圆 复习指导 考点一:求椭圆及其标准方程 1.直接法:根据所给条件判断焦点位置,并确定 a,b 的值,按标准方程写出方程,其中难点是确定 a, b 的值. 2.待定系数法:除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定性,后定型,再定参). 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设方程为 x2 y2 ? =1 (m>0,n>0且m ? n) , m n 可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为 Ax 2+By 2= 1 (A>0,B>0 且 A≠B),这种形式在解题中更简 便. 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是: (1)作判断:根据条件判断焦点的位置. (2)设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为 mx 2+ny 2= 1 (m>0,n>0且m ? n) (3)找关系:根据已知条件,建立关于 a、b、c或m、n 的方程组. (4)求解,得方程. 解题指导: (1)方程 x2 y2 x 2 y2 与 + =1 + =? (? >0) 有相同的离心率. a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 x2 y2 共焦点的椭圆系方程为 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0,b2 ? k ? 0) ,恰当运用 a 2 b2 a 2 ? k b2 ? k (2)与椭圆 椭圆系方程,可使运算简便. 待定系数法求椭圆的方程 例题: 例题 1. 当点 P 在圆 x ? y ? 1 上变动时,它与定点 Q ? 3, 0? 的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是( 2 2 ) 1 A. C. ? x ? 3? 2 ? y2 ? 4 B. D. ? 2 x ? 3? ? 2 x ? 3? 2 ? 4 y2 ? 1 ? 4 y2 ? 1 ? x ? 3? 2 ? y2 ? 1 2 【答案】B 例题 2. 如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O,F(-5,0)为 C 的左焦点,P 为 C 上一点,满足|OP|=|OF| 且|PF|=6,则椭圆 C 的方程为( ) A. x2 y2 ? ?1 36 16 x2 y2 ? ?1 40 15 x2 y2 ? ?1 49 24 B. C. x2 y2 ? ?1 D. 45 20 解析:根据题意,设椭圆的右焦点为 M,连接 PM, 则|FM|=2|OF|=10, 由|OP|=|OF|=|OM|知,∠PFM=∠FPO,∠OMP=∠OPM, 所以∠PFM+∠OMP=∠FPO+∠OPM, 2 又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM=180°知, 又由 c=5,则 b ? a ? c ? 49 ? 25 ? 24, 2 2 2 则椭圆的方程为: x2 y2 ? ?1 49 24 【答案】C 考点二: 椭圆的几何性质 1. 椭圆的离心率范围求法是考查的热点, 常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解. 利 用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边),同时注意定义应 用. 2.在解关于离心率 e 的二次方程时,要注意利用椭圆的离心率 e∈(0,1)进行根的取舍,否则将产生增 根. 3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1 等,在求椭圆相 关量的范围时,要注意应用这些不等关系. 解题指导: 1.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏, 要深刻理解椭圆中的几何量 a, b, c, e, a2 等之间的关系,并能熟练地应用. c 3 2.求椭圆的离心率的方法:(1)直接求出 a,c 来求解 e.通过已知条件列出方程组,解出 a,c 的值;(2) 构造 a,c 的齐次式,解出 e.由已知条件得出关于 a,c 的二元次方程,然后转化为关于离心率 e 的一元 二次方程求解;(3)通过取特殊值或特殊位置,求出离心率. 构造齐次方程求椭圆的离心率 定义法求椭圆的离心率 例题 1:设椭圆 x2 y2 ? ? 1 ? a>b>0 ? 的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶点为 A,上顶点为 B,已知 a 2 b2 AB ? 3 FF 2 1 2 (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过点 F2 的直线 l 与该圆相切于 点 M, MF2 ? 2 2 ,求椭圆的方程. 【答案】 (Ⅰ) 2 2 x2 y2 ? ?1 6 3 x2 y2 ? ? 1 ? a>b>0 ? 的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P a 2 b2 (Ⅱ) 例题 2. 已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点, 则 C 的离心率为( A. ) 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 【答案】B 考点三:直线与椭圆的关系 1.涉及直线与椭圆的基本题型有: (1)位置关系的判断 (2)弦长、弦中点问题 4 (3)轨迹问题 (4)定值、最值及参数范围问题 (5)存在性问题 2.直线与椭圆位置关系的判断 (1)代数法:把椭圆方程与直线方程联立消去 y,整理得到关于 x 的方程 Ax2+Bx+C=0.记该一元二次 方 程根的判别式为 Δ ,①若 Δ >0,则直线与椭圆相交;②若 Δ =0,则直线与椭圆相切;③若 Δ <0,则 直线与椭圆相离. (2)几何法:在同一直角坐标系中画出椭圆和直线,利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系. 3.圆锥曲线的弦中点问题是圆锥曲线中的常见题型,通常用“点差法”求弦的斜率. 如 AB 是椭圆 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一条弦, M ( x0,y0 ) 是 AB 的中点, a

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