江西省玉山县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

玉山一中 2016—2017 学年度第二学期高二期中考试
理科数学试卷

考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:陶坚 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

审题人:邓雪

1.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点.若 A1B1 = a , A1D1 = b , A1 A = c ,
则下列向

量中与 A1M 相等的向量是

A.- 1

1
a+

b+c

22

11
B. a + b + c
22

C. 1 a - 1 b + c 22

D.- 1 a - 1 b + c 22

2.设函数 f ?x? ? x2 ? 1 , f '(x) 是 f (x) 的导数,则函数 g ? x? ? f ?? x?cos x 的部分图象可
2

以为

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

3.抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P?m,?1? 到焦点距离为 5,则抛物线的标

准方程为

A. x2 ? 8y
4.在下列命题中:

B. x 2 ? ?8 y

C. x 2 ? 16 y

D. x 2 ? ?16 y

①若 a 、 b 共线,则表示 a 、 b 的有向线段所在的直线平行;

②若表示 a 、 b 的有向线段所在直线是异面直线,则 a 、 b 一定不共面;

③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面,则 a 、 b 、 c 三向量一定也共面;

④已知三向量 a 、 b 、 c 不共面,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为

p ? xa ? yb ? zc ,

x, y, z ? R .其中正确命题的个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C 为线段 AB 上一点,且 AB ? 3AC ,则点 C 的坐标是

A. (7 ,? 1 , 5) 2 22

B. (3 , ?3, 2) 8

C. (10 , ?1, 7) 33

D. (5 , ? 7 , 3) 2 22

6.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若 ?PF1Q 是等腰直角 三角形,则双曲线的离心率 e 等于

A. 2 ?1

B. 2

C. 2 ?1

D. 2 ? 2

7.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1,点 E、F 分别是 AB、AD 的中点,

则 ED ? FC 等于

1
A.

B. ? 1

3
C.

D. ? 3

8

8

8

8

8.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,E、F 分别为 BC、CC1 的中点,则直线 EF 与

平面 BB1D1D 所成角的正弦值为

6
A.
3

25
B.
5

15
C.
5

10
D.
5

9.?ABC的三个顶点分别是 A(1,?1,2) , B(5,?6,2) ,C(1,3,?1) ,则 AC 边上的高 BD 长为

A.5

B. 41

C.4

D. 2 5

10.若直线 y ? kx ? 2 与曲线 x ? y2 ? 6 交于不同的两点,那么 k 的取值范围是

A.( ? 15 , 15 ) B.( 0, 15 )

33

3

C.( ? 15 ,0 ) 3

D.( ? 15 ,?1) 3

11.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为(1,0),一个顶点为( 0, 3 ) ,若在此椭圆上存在不

同两点关于直线 y ? 2x ? m 对称,则 m 的取值范围是

A.( ? 15 , 15 ) B.( ? 2 13 , 2 13 ) C.( ? 1 , 1 )

33

13 13

22

D.( ? 15 , 15 ) 13 13

12 . 设 函 数 f (x) ? 1 x3 ? 1 ax2 ? 2bx ? c , 若 f ?x? 有 两 个 极 值 点 ?、? , 且
32 0 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ,则 a2 ? b2
4
的取值范围是

A. (1 ,13) 44

B. (1 ,1) 4

C. (1, 9) 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

D. (9 ,13) 44

13.若 a ? (1,1, 0),b ? (?1, 0, 2),则a ? b 同方向的单位向量是_________________.

14.已知向量 a=(2,-1,1),b ? (?,1, ?1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是

______.

15.椭圆

x2 4

?

y2

? 1的焦点 F1 、 F2

,点 P

为其上的动点,当∠ F1

P

F2

为钝角时,点 P



坐标的取值范

围是

16.设

f

?x? ? ln x ,

f

'(x) 是

f (x) 的导数,若 g ? x? ?

f

? x? ?

f

2
??x

?

?

a

有两个不相同的零

点,则实数 a 的
取值范围是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,17 小题 10 分,其它各小题 12 分.
17.(1)双曲线与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1有相同焦点,且焦点到渐近线的距离等于 5 ,求双曲 27 36
线的标准方程;

(2)已知顶点在原点,焦点在 y 轴上的抛物线被直线 y ? 2x ?1截得的弦长为 15 ,求
抛物线的标准方程.

18.如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD= 2a ,点 E
是 PD 中点.
(1)求证: PA ? 平面ABCD;
P
(2)求二面角 E-AC-D 的余弦值.

E

A D

B

C

19.如图,在五面体 ABCDEF中, AB∥ CD∥ EF , CD? EF ? CF ? 2AB ? 2AD ? 2 , ?DCF ? 600 , AD ? CD,平面 CDEF ? 平面 ABCD, P 是 BC 的中点, (1)求异面直线 BE 与 PF 所成角的余弦值; (2)在直线 EF 上,是否存在一点 Q ,使得 PQ // 平面EBD ,若存在,求出该点;若

不存在请说明 理由.

20.在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y2 ? x 上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足 AO ? BO .
(1)求 ?AOB 的重心 G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (2)?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
21.已知 a ? 0 ,函数 f (x) ? ax2 ? x, g(x) ? ln x . (1)若 a ? 1 ,求函数 y ? f (x) ? 2g(x) 的极值; 2
(2)设 b ? 0 , f '(x) 是 f (x) 的导数,g '(x) 是 g(x) 的导数,h? x? ? f ?? x? ? bg?? x? ?1 ,
图像的最低
点坐标为 (2, 8) ,找出最大的实数 m ,满足对于任意正实数 x1, x2 且 x1 ? x2 ? 1,
h(x1)h(x2 ) ? m 成 立.

22.如图,已知椭圆的离心率为

2 2

,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1, F2

为顶点的

? ? 三角形的周长为 4 2 ?1 ,一双曲线的顶点是该椭圆的焦点,且它的实轴长等于虚轴
长,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C, D ,其中 A,C 在 x 轴的同一侧.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)是否存在题设中的点 P ,使得 AB ? CD ? 3 AB ? CD ?若存在, 求出点 P 的坐 4
标;若不存在,请说明理由.

高二理科数学期中考试参考答案
一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 B A D B C C B D A D C A

二、填空题:

13.(0, 5 ,2 5 ) 55
三、解答题:

14.? ?1且? ? ?2

15.

???? ?

2

6 3

,

2

6 3

????

16.

?? ?,?1? ln 2?

17.(1)椭圆 y2 ? x2 ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3,焦点到渐近线的距离等于 5 ,?b ? 5 , 36 27

?a2 ? 4 ,双曲线方程为 y2 ? x2 ? 1 。 45

(2)设抛物线的方程为

x2

?

2 py?p

?

0?

,则

? ?

x

2

?

2 py

消去

y



?y ? 2x ?1

x2 ? 4 px ? 2 p ? 0 ,? AB ?

5

16 p2 ? 8 p ?

1

抛物线的方程为 x2 ? 1 y或x2 ? - 3 y

2

2

18.(1)证明:因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,

所以 AB=AD=AC=a, 在△ PAB 中,

由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥AB.

同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD.

(2)作 EG//PA 交 AD 于 G,

由 PA⊥平面 ABCD.

知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H,连结 EH,

则 EH⊥AC,∠EHG 即为所求二面角的平面角? .

又 PE =ED,

15 ,? p ? ? 3 或 1 44

所以 EG ? 1 a, AG ? 1 a,GH ? AG sin 60? ? 3 a.

2

2

4

从而 cos? ? EG ? 21 EH 7
19. (1)∵ CD∥ EF , CD ? EF ? CF ? 2 ∴四边形 CDEF 为菱形, ∵ ?DCF ? 600 ,∴ ?DEF 为正三角形,取 EF 的中点 G ,连接 GD ,则 GD ? EF ∴ GD ? CD ,∵平面 CDEF ? 平面 ABCD, GD ? 平面 CDEF , CD ? 平面 CDEF ? 平面 ABCD,∴ GD ? 平面 ABCD ∵ AD ? CD ∴ DA, DC, DG 两 两 垂 直 …………………………………………………2
分 以 D 为原点, DA, DC, DG 的方向为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 ∵ CD ? EF ? CF ? 2, AB ? AD ?1,

∴ A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,2,0), E(0,?1, 3), F (0,1, 3) 、 P?? 1 , 3 ,0?? ?2 2 ?

9

? ? ∴ BE ? ?1,?2, 3 ,PF ? ?? ? 1 ,? 1 , 3 ?? , cos BE,PF ? 2 ? 9 7

?2 2 ?

8? 7 28

2

(2)存在,该点即为 EF 中点 G ,连结 CE、DF 交于点 H ,?PH // ED,GH // ED ,

?平面PGH // 平面EBD

?PG // 平面EBD

20.解:(1)设△

AOB

的重心为

G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ??

x

?

? ??

y

? ?

x1 ? x2 3
y1 ? y2 3

…(1)

∵OA⊥OB ∴ x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,……(2)

又点 A,B 在抛物线上,有 y12 ? x1 , y22 ? x2 ,代入(2)化简得 y1 y2 ? ?1



x

?

x1

? x2 3

?

1( 3

y12

?

y22

)?

1 [( 3

y1

?

y2

)2

? 2 y1 y2

]

?

1 ?( 3y )2 3

?

2 3

? 3y2

?

2 3

所以重心为 G 的轨迹方程为 y2 ? 1 ?? x ? 2 ?? 3? 3?



2



S ?AOB

?

1 2

| OA || OB |?

1 2

( x12

?

y12 )(x22

?

y22 )

?

1 2

x12 x22

?

x12

y

2 2

?

x22 y12

?

y12 y22

由(1)得

S?AOB

?

1 2

y16

?

y26

?

2

?

1 2

2

y16

?

y26

?2

?

1 2

2 ( ?1)6 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 2

当且仅当 y16 ? y26 即 y1 ? ? y2 ? ?1时,等号成立。
所以△ AOB 的面积存在最小值,存在时求最小值 1;

21.(1)当 a ? 1 时, f ?x? ? 2g?x? ? 1 x2 ? x ? 2 ln x ,

2

2

? f ' ?x? ? x ?1 ? 2 ? x2 ? x ? 2 ? ?x ? 2??x ?1? , x ? 0-

x

x

x

? f ?x? ? 2g?x?在 x ? 2 处取得极小值 f ?2? ? 2g?2? ? ?2ln 2 ,没有极大值

(2)由题意,得 h?x? ? 2ax ? b ,则 h?x? ? 2ax ? b ? 2 2ab, 当且仅当 x ? b 时,

x

x

2a

等号成立,?

? ? ?
??2

b? 2a 2ab

2 ?

8

?

?a ??b

? ?

1 8

,?

h?x?

?

2x

?

8 x

h(x1)h(x2 ) ? m 恒成立,设

u

?

h(x1)h(x2 ) ?

4( x1

?

4 x1

)(

x2

?

4 )? x2

4x1x2

?

64 x1x2

?16( x1 x2

?

x2 ) x1

= 4x1x2

?

64 x1x2

?16 ? x12 ? x22 x1x2

? 4x1x2

?

64 x1x2

?16? (x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 x1x2

? 4x1x2

?

80 x1x2

? 32



t

?

x1 x2

,则

t

?

x1x2

?

(

x1

? 2

x2

)2

?

1 4

,即

t

? (0,

1] 4

,则 u ? 4t ? 80 ? 32 在 t ?(0, 1]

t

4

上单调递减, u ? u(1) ? 289 ,? 最大的实数数 m ? 289 . 4

22.解:(1)由题意知,椭圆离心率为 c ? 2 ,得 a ? 2c ,又 2a ? 2c ? 4( 2 ?1) ,所 a2

以可解得 a ? 2 2 ,

c ? 2 ,所以 b2 ? a2 ? c2 ? 4 ,所以椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1;所以椭圆的焦点坐标为( ?2 ,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭 84

圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1 44

? ? ( 2 ) 设 P x? , y?

, 则 k PF1

?

x?

y? ?

2

,

k

PF2

?

y? x? ? 2

,?P 在双曲线

x2 4

?

y2 4

?1 上,

?kPF1 ? kPF2 ? 1,设 PF1 方程为 y ? k?x ? 2? ,

PF2

的方程为

y

?

1 k

?x

?

2? ,设

A?x1 ,

y1 ?,

B?x2 ,

y2 ?,则

?x2 y2

? ? ?
?8

?

4

?1?

2k 2 ? 1 x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,

??y ? k?x ? 2?

x1

?

x2

?

?

8k 2k 2

2
?

1

,

x1

?

x2

?

8k 2 2k 2

?8 , ?1

? ? ? AB ?

1? k2 ?

?x1 ? x2 ?2 ? 4x1 ? x2 ?

1? k2 ?

???? ?

8k 2k 2

2
?

1

????

2

?

4?

8k 2 2k 2

?8 ?1

?

4

2 1? k2 2k 2 ?1

? ? 4
同理,? CD ?

2????1 ?

?? ?

1 k

?? 2 ?

?? ??

?

4

2 k2 ?1 ,

2??

1

?2 ?

?1

2?k2

?k?

由题知,

? ? ? ? AB

?

CD

?

3 4

AB? CD

?

3 4

AB

?

CD

? cos?

?

cos?

?

4 ??

3

? ?

1 AB

?

1 CD

?? ? ?

?

4? 3

31? k2 4 2 1? k2

?

2 2

?

?

,? ? ?F1PF2 .

? PF 1 ? PF 2 ? PF1 PF2 cos? ? ?? 2 ? x? ??2 ? x? ? ? ?? y? ??? y? ? ?

?x? ? 2?2 ? y?2 ?

?x? ? 2?2 ? y?2 ?

2 2



又? x?2 ? y?2 ? 4

? ? ? ? ?2 x?2 ? 4 ?

?x? ? 2?2 ? x?2 ? 4 ?

?x? ? 2?2 ? x?2 ? 4 ?

2? 2

2x?2 ? 4x? ?

2x?2 ? 4x? ?

2? 2

2 x?2 ? 4 x?2

? ? ? x?2

?

8,

y?2

?

4

即存在,点
,

P的坐标为

?

2

2,? 2 .


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