化归思想在中学数学解题中的应用

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 化归思想在中学数学解题中的应用 作者:张海军 来源:《理科考试研究· 初中》2015 年第 11 期 在新课标中指出,数学是为其他学科提供语言、思想和方法的学科,教师需要帮助学生在 自主探究、合作交流的过程中掌握数学知识,促进学生学习经验的增长。化归思想通过对数、 式、形的相互转化,对学生发现问题、分析问题和解决问题的能力有着重要作用。对此,教师 必须充分结合自身的教学经验,通过化归思想在数学解题中的运用来提高学生的学科综合素 养。 化归思想是指将一个复杂问题由难化简、由繁化简的思想方法。在中学数学教学中,化归 思想又称转换思想或转化思想,即是将学生未知的问题,通过某种转化过程转换为学生们熟知 或是容易解决的问题。在本文中,我们将从化归思想在中学数学解题中的实践出发,探究化归 思想的高效实施策略。 一、化未知为已知,扩展解题思维 新课程理念要求我们掌握辩证唯物主义观念,灵活运用化归思想进行解题。通过化归思想 的运用,可以将学生们未知或是不熟悉的问题转换成他们熟悉的问题,并在未知与已知之间建 立科学联系,提高学生对数学知识的认识。尤其是在面对一些数学难题时,化归思想就成为了 学生们的解题方向,一旦找到合适的转化方法,难题必定将迎刃而解。同时,很多时候学生们 说的繁题也可能是学生们没有找到合适的方法,运用了不合适的解题方法。对此,教师必须进 行化归思想的教学,帮助学生拓展解题思维。 例题 已知圆 O 的半径为 r,试求这个圆的外切直角三角形是怎样的三角形时,可以保证该 三角形周长最短,且最短的周长是多少? 分析 从本题的已知条件来看,我们只知道圆的半径,与欲求的内切直角三角形周长存在 较大差距。对此,我们必须进行化归转化,将学生们未知的周长求解转化成他们所熟悉的三角 函数问题。同时,教师必须明确:三角函数法是几何量最值求解的核心方法。于是,教师为学 生们绘制了如下的分析图,要求学生尝试利用三角法进行求解。 首先,我们画出该圆的外切三角形,然后尝试将圆形半径与三角形周长的关系联系起来。 由于 E、F、D 分别是三角形的三个切点,于是可得 BE=BD=rcot[SX(]B[]2[SX)]、 AD=AF=rcot[SX(]A[]2[SX)]。再结合“一组邻边相等的矩形为正方形”的结论,我们可以得到 CE=CF=r。综上,我们不妨假设三角形的周长为 y,于是可得 y=2rcot[SX(]A[]2[SX)]+2rcot[SX(]B[]2[SX)]+2r。 通过对三角函数的化简可得 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn [JP2]y=2r([SX(]sin[SX(]A+B[]2[SX)][]sin[SX(]A[]2[SX)]sin[SX (]B[]2[SX)][SX)]+1) =2r· [SX(][SX(][KF(]2[KF)][]2[SX)][][SX(]1[]4[SX)](2cos[SX(]A-B[]2[SX)][KF(]2[KF)])[SX)]+2r。 于是可知,当 cos[SX(]A-B[]2[SX)]=1 时,即是 A=B 时,该圆的外切三角形周长最短为 2(3+2[KF(]2[KF)])r。如此一来,原本陌生的周长求解问题就变成了三角函数最值问题, 实现了化归思想下的未知向已知的转化。 二、化函数为图形,提高解题效率 在中学数学训练中,一旦学生们遇到抽象类问题,他们的正确率就会迅速下降。尤其是在 数形结合类问题上,很多学生难以合理使用化归思想,给他们的求解和思路造成了阻碍。在新 课标中指出,中学几何教学要求学生能够运用图形,进行直观的思考。对此,教师必须通过化 归思想的实践教学,化抽象为具体,提高学生对几何图形的认识。 例题 (2009 年广东)如图 2,已知一次函数 y1=x+m(m 为。05 常数)的图象与反比例函 数 y2=[SX(]k[]x[SX)] (k 为常数,且 k≠0)的图象相交于点 A(1,3)。(1)求这两个函 数的解析式,并写出 B 点坐标;(2)观察图象,直接写出使函数值 y1≥y2 的自变量取值范 围。 分析 本题属于中学函数问题,是对一次函数与反比例函数的性质运用题。首先,对于第 一问的求解,我们将点 A 的坐标代入对应的表达式便可以求得 m=2、k=3,各自的表达式也可 求出。再通过两式联立方程组即可求出 B 点的坐标为(-3,-1)。第二问是本题的难点,需要 利用化归思想才能求出。若是利用分式不等式进行求解,则超出了中学数学提纲。对此,我们 不妨将对应的不等式转化成图形信息进行求解。y1≥y2 即是 y1 的图象位于 y2 图象的上部,也 就是直线位于双曲线上方的部分。于是,我们可以求出对应的自变量取值范围为-3≤x 三、化实例为模型,提高建模意识 数学知识和人们的日常生活密切相关,是人类生产、生活中重要的帮手,可以帮助人们处 理数据、分析数据、解决实际问题,从而更加鲜明科学地描述社会现象。在新课改背景下,教 师对学生的数学实际应用模型的考察越来越重视。尤其是在数学实际应用题的考察中,能否将 实际案例转换成数学模型,对学生的化归能力提出了进一步的要求。 例题 (2010 年山东)某政府大力支持学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价 为每件 20 元的护眼台灯。销售过程中发现,每月销量 y 件与销售单价 x 元之间的关系可近似 看成一次函数 y=-10x+500。 (1)设李明每月获得利润为 w 元,当销售单价定位多少元时可以获得最大利润? 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn (2)李明想要每月获得 2000 元利润,那么销售单价应该定为多少? (3)由于物价部门规定,台灯单价不能超过 32 元,那么要想每月获得利润不低于 2000 元,他每月最少需要成本多少元? 分析 对于第一问,要想求出每月利润的最大值,即相当于求解二次函数的最值。于是, 我们需要将本题中

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