2015-2016学年江苏省扬州市江都二中九年级(上)第一次月考数学试卷(解析版)

特人教育九年级(上)第一次月考数学试卷
一、精心选一选(每题 3 分,共 24 分)
1.下列方程中,关于 x 的一元二次方程是( A.x2+2x=x2﹣1 B. ) D.3(x+1)2=2(x+1)

C.ax2+bx+c=0 )

2.用配方法解方程 x2+10x+9=0,配方正确的是( A.(x+5)2=16 B.(x+5)2=34 3.如图,在△ ABC 中,DE∥BC,

C.(x﹣5)2=16

D.(x+5)2=25 )

,则下列结论中正确的是(

A.

B.

C.

D.

4.若(a2+b2)2﹣2(a2+b2)﹣3=0,则代数式 a2+b2 的值( A.﹣1 B.3 C.﹣1 或 3

) D.1 或﹣3 )

5.如果关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中 a﹣b+c=0,那么方程必有一个根是( A.1 B.﹣1 C.0 D.2

6. BD 的长分别为 12cm, 16cm, ⊙O 的半径为 10cm, 两平行弦 AC, 则两弦间的距离是 ( A.2cm B.14cm C.6cm 或 8cm D.2cm 或 14cm )



7.△ ABC 是⊙O 内接三角形,∠BOC=80°,那么∠A 等于( A.80° B.40° C.140°

D.40°或 140° 上两点,且

8.如图,已知⊙O 的直径 AB=12,E、F 为 AB 的三等分点,M、N 为 ∠MEB=∠NFB=60°,则 EM+FN=( )

A.

B.

C.2

D.33

1

二、细心填一填(每题 3 分,共 30 分)

9.方程 x2+x=0 的解是

. .

10.以﹣3 和 6 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是

11.如图,AB 是⊙O 的弦,AB=4,点 C 是⊙O 上的一个动点,且∠ACB=45°.若点 M, N 分别是 AB,BC 的中点,则 MN 长的最大值是 .

12.如图,∠C=90°,⊙C 与 AB 相交于点 D,AC=5,CB=12,则 AD=



13.已知关于 x 的一元二次方程(k+1)x2+x+k2﹣1=0 的一个根是 0,则 k= 14.已知 x1,x2 是方程 x2﹣2x﹣1=0 的两个根,则 + 等于 .

15.关于 x 的方程 a(x+m)2+b=0 的解是 x1=﹣2,x2=1,(a,m,b 均为常数,a≠0),则 方程 a(x+m+2)2+b=0 的解是 .

16.已知 a,b 是方程 x2﹣x﹣3=0 的两个根,则代数式 2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6 的值 为 .

17.某校去年投资 2 万元购买实验器材,预计今明 2 年的投资总额为 8 万元.若该校这两 年购买的实验器材的投资年平均增长率为 x,则可列方程为 .

18.如图,已知△ ABC 的三边长为 a=3,b=4,c=5,若平行于三角形一边的直线 l 将△ ABC 的周长分成相等的两部分,设图中的小三角形①、②、③的面积分别为 s1、s2、s3,则 s1、 s2、s3 的大小关系是 (用“>”号连接)

2

三、用心做一做(本大题共 10 小题,共 96 分) 19.解一元二次方程. (1)(x﹣3)2﹣9=0 (2)x2﹣2x﹣5=0

(3)3x(x﹣2)=2(x﹣2)

(4)x2+17=8x.

20.关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+m+1=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数.

21.如图所示,AB 是圆 O 的直径,以 OA 为直径的圆 C 与圆 O 的弦 AD 相交于点 E. 求证:点 E 为 AD 的中点.

3

22.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出 20 件,每件赢利 40 元,为了扩大销售,增加利润,尽 量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价 1 元,商场平均每天可 多售出 2 件; (1)若商场平均每天要赢利 1200 元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?

23.如图:已知 P 是半径为 5cm 的⊙O 内一点.解答下列问题: (1)用尺规作图找出圆心 O 的位置.(要求:保留所有的作图痕迹,不写作法) (2)用三角板分别画出过点 P 的最长弦 AB 和最短弦 CD. (3)已知 OP=3cm,过点 P 的弦中,长度为整数的弦共有 条.

4

24.如图,在半径为 5 的扇形 AOB 中,∠AOB=90°,点 C 是弧 AB 上的一个动点(不与点 A、B 重合) OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为 D、E. (1)当 BC=6 时,求线段 OD 的长; (2)在△ DOE 中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理 由.

25.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动; 同时,点 Q 从点 B 沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动,有一点到终点运动即停止.问: (1)几秒钟后△ PBQ 的面积等于 8cm2? (2)几秒钟后 PQ⊥DQ? (3)是否存在这样的时刻,使 S△ PDQ=8cm2,试说明理由.

5

26.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,延长 BC 至点 D,使 DC=CB,延长 DA 与⊙O 的另一个 交点为 E,连接 AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若 AB=4,BC﹣AC=2,求 CE 的长.

27.如图,I 是△ ABC 的内心,∠BAC 的平分线与△ ABC 的外接圆相交于点 D,交 BC 于点 E.

(1)求证:BD=ID; (2)求证:ID2=DEDA.

6

28.如图,直径为 10 的⊙O 经过原点 O,并且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,线段 OA、OB(OA >OB)的长分别是方程 x2+kx+48=0 的两根. (1)求线段 OA、OB 的长; (2)已知点 C 在劣弧 OA 上,连结 BC 交 OA 于 D,当 OC2=CDCB 时,求 C 点的坐标; (3)在⊙O 上是否存在点 P,使 S△ POD=S△ ABD?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

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一、精心选一选(每题 3 分,共 24 分) 1.故选 D.2.故选 A.3.故选 A.4.故选 B.5.故选 B.6.故选 D.7.故选 D.8.故选 C.二、 细心填一填(每题 3 分,共 30 分) 9.方程 x2+x=0 的解是 x1=0,x2=﹣1 . 10.以﹣3 和 6 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是 x2﹣3x﹣18=0 . 11.如图,AB 是⊙O 的弦,AB=4,点 C 是⊙O 上的一个动点,且∠ACB=45°.若点 M,N 分别是 AB, BC 的中点,则 MN 长的最大值是 2 . . .

12.如图,∠C=90°,⊙C 与 AB 相交于点 D,AC=5,CB=12,则 AD=

13.已知关于 x 的一元二次方程(k+1)x2+x+k2﹣1=0 的一个根是 0,则 k= 1 14.已知 x1,x2 是方程 x2﹣2x﹣1=0 的两个根,则 + 等于 ﹣2 .

15.关于 x 的方程 a(x+m)2+b=0 的解是 x1=﹣2,x2=1, (a,m,b 均为常数,a≠0),则方程 a(x+m+2)
2

+b=0 的解是 x3=﹣4,x4=﹣1 .

16.已知 a,b 是方程 x2﹣x﹣3=0 的两个根,则代数式 2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6 的值为 24 . 17.某校去年投资 2 万元购买实验器材,预计今明 2 年的投资总额为 8 万元.若该校这两年购买的实验 器材的投资年平均增长率为 x,则可列方程为 2(1+x)+2(1+x)2=8 . 18.如图,已知△ ABC 的三边长为 a=3,b=4,c=5,若平行于三角形一边的直线 l 将△ ABC 的周长分成 相等的两部分,设图中的小三角形①、②、③的面积分别为 s1、s2、s3,则 s1、s2、s3 的大小关系是 s2 >s3>s1 (用“>”号连接) 三、用心做一做(本大题共 10 小题,共 96 分)

【解答】解:(1)x1=6,x2=0; (2)x1=1+ ,x2=1﹣ ;

(3)x1=2,x2= ; (4)x2﹣8x+17=0, △ =(﹣8)2﹣4×17═﹣4<0 20. 【解答】解:(1)∵△=b2﹣4ac=(﹣2m)2﹣4(m﹣1)(m+1)=4>0, ∴方程有两个不相等的实数根; 所以原方程没有实数解.

8

(2)由求根公式,得 x= ∴x1= = ,x2=

, =1;

∵m 为整数,且方程的两个根均为正整数, ∴x1= =1+ ,必为正整数,

∴m﹣1=1 或 2, ∴m=2 或 m=3.

21. 【解答】证明:∵AO 是⊙C 的直径, ∴∠AEO=90°,即 OE⊥AD 于 E, 又∵OE 经过圆心 O, ∴AE=DE, 即:点 E 为 AD 的中点.

22.【解答】解:(1)设每件衬衫应降价 x 元, 根据题意得(40﹣x)(20+2x)=1200, 整理得 2x2﹣60x+400=0 解得 x1=20,x2=10. 因为要尽量减少库存,在获利相同的条件下,降价越多,销售越快, 故每件衬衫应降 20 元. 答:每件衬衫应降价 20 元. (2)设商场平均每天赢利 y 元,则 y=(20+2x)(40﹣x) =﹣2x2+60x+800

9

=﹣2(x2﹣30x﹣400)=﹣2[(x﹣15)2﹣625] =﹣2(x﹣15)2+1250. ∴当 x=15 时,y 取最大值,最大值为 1250. 答:每件衬衫降价 15 元时,商场平均每天赢利最多,最大利润为 1250 元. 23.【解答】解:(1)如图所示:点 O 即为所求; (2)如图所示:AB,CD 即为所求; (3)如图:连接 DO, ∵OP=3cm,DO=5cm, ∴在 Rt△ OPD 中,DP= ∴CD=8cm, ∴过点 P 的弦中,长度为整数的弦共有:4 条. 故答案为:4. =4(cm),

24 【解答】解:(1)如图(1),
10

∵OD⊥BC, ∴BD= BC= ×6=3, ∵∠BDO=90°,OB=5,BD=3, ∴OD= =4,

即线段 OD 的长为 4. (2)存在,DE 保持不变. 理由:连接 AB,如图(2),

∵∠AOB=90°,OA=OB=5, ∴AB= =5 ,

∵OD⊥BC,OE⊥AC, ∴D 和 E 分别是线段 BC 和 AC 的中点, ∴DE= AB= ∴DE 保持不变. 25. 【解答】解:
11



(1)设 x 秒后△ PBQ 的面积等于 8cm2. 则 AP=x,QB=2x. ∴PB=6﹣x. ∴ ×(6﹣x)2x=8, 解得 x1=2,x2=4, 答:2 秒或 4 秒后△ PBQ 的面积等于 8cm2; (2)设 x 秒后 PQ⊥DQ 时,则∠DQP 为直角, ∴△BPQ∽△CQD, ∴ = ,

设 AP=x,QB=2x. ∴ = ,

∴2x2﹣15x+18=0, 解得:x= 或 6, 答: 秒或 6 秒钟后 PQ⊥DQ; (3)设出发秒 x 时△ DPQ 的面积等于 8cm2. ∵S 矩形 ABCD﹣S△ APD﹣S△ BPQ﹣S△ CDQ=S△ DPQ

∴12×6﹣ ×12x﹣ ×2x(6﹣x)﹣ ×6×(12﹣2x)=8, 化简整理得 x2﹣6x+28=0,

∵△=36﹣4×28=﹣76<0, ∴原方程无解, ∴不存在这样的时刻,使 S△ PDQ=8cm2.

26.【解答】(1)证明:∵AB 为⊙O 的直径,

12

∴∠ACB=90°, ∴AC⊥BC, 又∵DC=CB, ∴AD=AB, ∴∠B=∠D; (2)解:设 BC=x,则 AC=x﹣2, 在 Rt△ ABC 中,AC2+BC2=AB2, ∴(x﹣2)2+x2=42, 解得:x1=1+ ,x2=1﹣ (舍去),

∵∠B=∠E,∠B=∠D, ∴∠D=∠E, ∴CD=CE, ∵CD=CB, ∴CE=CB=1+ .

27.【解答】(2)证明:连接 BI,CI,CD, ∵I 为内心, ∴AI 为∠BAC 角平分线, BI 为∠ABC 平分线, ∴∠ABI=∠CBI,∠BAD=∠DAC, ∵∠BID=∠ABI+∠BAI, ∠CBD=∠DAC=∠BAI, ∴∠BID=∠CBI+∠CBD=∠DBI, ∴△DBI 为等腰三角形, ∴DB=DI; (3)证明:∵∠DBE=∠CAD,∠BAE=∠CAE,

13

∴∠BAE=∠EBD, ∴△DBE∽△DAB, ∴ = ,

∴DB2=DEDA, 又∵DB=DI(已证), ∴DI2=DEDA. 28.【解答】解:(1)连接 AB, ∵∠BOA=90°, ∴AB 为直径,根与系数关系得 OA+OB=﹣k,OA×OB=48; 根据勾股定理,得 OA2+OB2=100, 即(OA+OB)2﹣2OA×OB=100, 解得:k2=196, ∴k=±14(正值舍去). 则有方程 x2﹣14x+48=0, 解得:x=6 或 8. 又∵OA>OB, ∴OA=8,OB=6; (2)若 OC2=CD×CB,则△ OCB∽△DCO, ∴∠COD=∠CBO, 又∵∠COD=∠CBA, ∴∠CBO=∠CBA, 所以点 C 是弧 OA 的中点. 连接 O′C 交 OA 于点 D,根据垂径定理的推论,得 O′C⊥OA, 根据垂径定理,得 OD=4, 根据勾股定理,得 O′D=3, 故 CD=2,即 C(4,﹣2); (3)设直线 BC 的解析式是 y=kx+b,把 B(0,6),C(4,﹣2)代入得: ,

14

解得:



则直线 BC 的解析式是:y=﹣2x+6, 令 y=0, 解得:x=3, 则 OD=3,AD=8﹣3=5, 故 S△ ABD= ×5×6=15. 若 S△ ABD=S△ OBD,P 到 x 轴的距离是 h, 则 ×3h=15,解得:h=10. 而⊙O′的直径是 10,因而 P 不能在⊙O′上, 故 P 不存在.

【点评】本题考查了圆的综合题目,涉及了一元二次方程的根与系数的关系,二次函数解析式的确定、 图形的面积求法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识,注意所学知识的融会贯通.

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