2009-2010学年度新课标高二下学期数学单元测试4-文科

2009—2010 学年度下学期

高二数学文单元测试(4)
[新课标版] 命题范围
选修 4-5

说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题时间 120 分钟. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每 小题 5 分,共 60 分). 1.下列不等式:① x+

1 1 ≥2;② |x+ |≥2;③ 若 0<a<1<b,则 logab+logba≤-2;④ 若 0<a<1<b,则 logab+logba x x
D.①②④ ( ≥2 )

≥2.其中正确的是 ( ) A.②④ B.①② C.②③ 2.在下列结论中,错用基本不等式作依据的是 A.x, y, z∈R+, 则

x y z ? ? ≥3 y z x

B.

x2 ? 2 x2 ?1

C.lgx+logx10≥2

D.a∈R+, (1+a)(1+

1 )≥4 a
( )

3.已知 x, y∈R,且 x2-2xy+2y2=2,则 x+y 的取值范围是 A.R C.[- 10 , B.(- 10 ,

10 )

10 ]

D.[-1, 1] ( )

4.若 x ? a ? h, y ? a ? h, 则下列不等式一定成立的是 A. x ? y ? h C. x ? y ? h 5.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? B. x ? y ? 2h D. x ? y ? 2h

1 ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) , (n ? N*) (n ? 1)2
( )

通过计算 f (1), f (2), f (3), f (4) 的值,由此猜想 f (n) ?

A.

n?2 2(n ? 1)

B.

n?2 4n

C.

2n ? 1 (n ? 1) 2

D.

n ?1 n(n ? 1)
( )

6.若|a+c|<b,则 A.|a|<|b|-|c|

B.|a|>|c|-|b|

C.|a|>|b|-|c|

D.|a|<|c|-|b| ( )

7.不等式 x ? 1 ? x ? 2 <5 的解集是 A. (-3,2) B. (-1,3) C. (-4,1)
1

D. (?

3 7 , ) 2 2

8.若 x, y, a ? R? ,且 x ? A.

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是
C. 1 D.





2 2

B. 2

1 2
( )

9.设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有

1 a

1 b

1 c

1 ? M ?1 C. 1 ? M ? 8 8 1 2 10.函数 y ? x (1 ? 2 x)( 0 ? x ? )的最大值 是 2 1 A. 27 B.8 C. 27
A. 0 ? M ? B. 11.如果圆柱轴截面的周长 l 为定值,那么圆柱体积的最大值是

1 8

D. M ? 8 ( D. )

1 8
( )
3

? l? A. ? ? ? ? 6?

3

? l? B. ? ? ? ? 3?

3

? l? C. ? ? ? ? 4?

3

1? l? D. ? ? ? 4 ? 4?
( )

12.若 x>1,则函数 y=x+

1 16 x + 的最小值为 x x2 ?1

A.16 B.8 C.4 D.非上述情况 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 4 分,共 16 分). 13.若 a, b, c∈R+,且 a+b+c=1,则 a ? b ? c 的最大值是 14.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a ? b ? c ? d ? 4 ,用 M 表示 .

a ? b ? c, a ? b ? d , a ? c ? d , b ? c ? d 中的最大者,则 M 的最小值为__________.
2 2 2 2 15.已知实数 a, b, c , d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 , a ? 2b ? 3c ? 6d ? 5 ,则 a 的最大值为

(利用柯西不等式). 16.设| a+b |<-c,给出下列四个不等式:①a<-b-c;②a+b>c;③| a |+c<| b| ; ④a+c<b.其中成立的不等式是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 17. (12 分) 当a ? b ? 0时,求证: log 1 (a ? b) ?
2

1 1 log 1 (a 2 ? 1) ? log 1 (b 2 ? 1) . 2 2 2 2

2

18. (12分)已知 f ( x) ? 1 ? x 2 ,当 a ? b 时,求证: | f (a) ? f (b) |?| a ? b | .

19. (12 分)已知正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1

证明

a3 ? b 3? c 3?

a2 ? b 2? c 2 .(利用柯西不等式) 3

20. (12 分)已知 a、b、c ? R,a ? b ? c ? 0,ab ? bc ? ca ? 0,abc ? 0 ,求证 a、b、c 均为正数.

3

9 ? 2 2 2 ?x ? y ? z ? 21. (12 分) (利用柯西不等式解方程)在实数集内解方程 ? ; 4 ? ??8 x ? 6 y ? 24 y ? 39

22. (14 分)已知 a、b、c 是实数,函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1. (Ⅰ)证明:|c|≤1; (Ⅱ)证明:当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤2; (Ⅲ)设 a>0,当-1≤x≤1 时,g(x)的最大值为 2,求 f(x).

4

参考答案
一、1.C;2.C;3.C;4.B;5.A;6.B;7.C;8.B;9.D;10.C;11.A;12.B; 二、13. 3 ;14.3;15. ;16.①②③; 三、17.证:要证明 log 1 (a ? b) ?
2

1 1 log 1 (a 2 ? 1) ? log 1 (b 2 ? 1) 成立 2 2 2 2
2 2 2 2

只要证明 2 log 1 (a ? b) ? log 1 (a 2 ? 1) ? log 1 (b 2 ? 1)
2 2

只要证 log 1 (a ? b) ? log 1 (a ? 1)(b ? 1)
2 2

(a ? b ? 0)

由于函数y ? log 1 x在区间 (0,??) 内是减函数
2

? 只要证 (a ? b) ? (a 2 ? 1)(b 2 ? 1)
2

即证a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a 2 ? 1)(b 2 ? 1) 即证a 2 b 2 ? 2ab ? 1 ? 0

即证(ab ? 1) 2 ? 0 ,
上式显然成立 ,? 原不等式成立。
18.证一: | f (a ) ? f (b) |?|

a 2 ? 1 ? b 2 ? 1 |?

a2 ?1 ? b2 ?1 a2 ?1 ? b2 ?1

?

| a2 ? b2 | a ?1 ? b ?1
2 2

?

| (a ? b)(a ? b) | a ? b
2 2

?

| a ? b || (a ? b) | |a|?|b|

?

(| a | ? | b |) | a ? b | ?| a ? b | . |a|?|b|

1
O

A

B

证二: (构造法)如图: OA ? f (a) ? 1 ? a 2

a

b

OB ? f (b) ? 1 ? b 2

| AB |?| a ? b |

由三角形两边之差小于第三边得: | f (a) ? f (b) |?| a ? b | . 19.证:利用柯西不等式

?a

2

?b ?c
2

2 2

?

3 1 3 1 ? 3 1 ? ? ? a 2 a 2 ? b 2b 2 ? c 2c 2 ? ? ?

2

?? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ?? a 2 ? ? ? b 2 ? ? ? c 2 ? ? ? a ? b ? c ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? a 3 ? b3 ? c 3 ? ? a ? b ? c ?
2

?

a ? b ? c ? 1?
5

又因为

a 2 ? b2 ? c 2 ? a b ?
2

b ?c c不 a 等 式 两 边 同 乘 以 2 , 再 加 上 a 2 ? b 2? c 2得 : 在此

?a ?

b ? ?c ? 3?
2 2

a ?2 b ? ?2 c

?a

? b 2 ? c 2 ? ? ? a 3 ? b3 ? c 3 ? ? 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ?
3 3

故a ?b ?c ?
3

a 2 ? b2 ? c 2 . 3

20.证: (反证法) 假 设 a、b、c 不 全 是 正 数 , 由 abc ? 0 可 知 a、b、c 三 个 实 数 中 有 两 个 负 数 , 一 个 正 数 , 不 妨 设

a ? 0,b ? 0,c ? 0 , ∵a ? b ? c ? 0, ∴c ? ??a ? b? ? 0 .
两边同乘以负数 a ? b ,得 c?a ? b? ? ??a ? b? ;
2

即 ac ? bc ? ?a ? 2ab ? b ,
2 2
2 2 2 2 由此可知 ab ? bc ? ca ? ? a ? ab ? b ? ? a ? ab ? b ? 0 ,

?

?

与已知 ab ? bc ? ca ? 0 矛盾. ∴a,b,c 均为正数. 21.由柯西不等式,得

?x

2

2 2 2 ? y 2 ? z 2 ? ?? ?8? ? 62 ? ? ?24 ? ? ? ? ?8x ? 6 y ? 24 y ? ? ?



?x
?x
2

2

2 2 ? y 2 ? z 2 ? ?? ?8? ? 62 ? ? ?24 ? ? ? ?

9 2 ? ? ? 64 ? 36 ? 4 ?144 ? ? 392 ,又 ? ?8 x ? 6 y ? 24 y ? ? 392 , 4
2 2 2 ? y 2 ? z 2 ? ?? ?8? ? 62 ? ? ?24 ? ? ? ? ?8x ? 6 y ? 24 z ? , ? ?

即不等式①中只有等号成立. 从而由柯西不等式中等号成立的条件,得: 它与 ?8x ? 6 y ? 24 y ? 39 联立, 可得: x ? ?

x y z ? ? . ?8 6 ?24

6 9 18 ,y? ,z ?? . 13 26 13

22. (Ⅰ)证:由条件当-1≤x≤1 时,|f(x)|≤1,取 x=0,得|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1. (Ⅱ)证:当 a>0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数, 所以 g(-1)≤g(x)≤g(1) , 因为|f(x)|≤1 (-1≤x≤1) ,|c|≤1, 所以 g(1)=a+b=f(1)-c 3 ≤|f(1)|+|c|≤2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2, 由此得|g(x)|≤2; 当 a<0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数,所以 g(-1)≥g(x)≥g(1) , 因为|f(x)|≤1 (-1≤x≤1) ,|c|≤1, 所以 g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2,
6

g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2, 由此得|g(x)|≤2; 当 a=0 时,g(x)=b,f(x)=bx+c,因为-1≤x≤1, 所以|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2; 综上,得|g(x)|≤2; (Ⅲ)解:因为 a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当 x=1 时取得最大值 2,即 g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2,因为-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1, 所以 c=f(0)=-1. 因为当-1≤x≤1 时,f(x)≥-1,即 f(x)≥f(0) ,据二次函数性质,直线 x=0 为二次函数 f(x)的图象的对 称轴,故有 ?

b =0,即 b=0,a=2,所以 f(x)=2x2-1. 2a

7


相关文档

2009度新课标高二下学期数学单元测试4文科
2009-2010学年度新课标高二下学期数学单元测试1-文科
2009-2010学年度新课标高二下学期数学单元测试3-文科
2009-2010学年度新课标高三下学期数学单元测试4-理科
2009度新课标高二下学期数学单元测试4理科
2009度新课标高二下学期数学单元测试1文科
2009度新课标高二下学期数学单元测试2文科
2009度新课标高二下学期数学单元测试2理科
2009度新课标高二下学期数学单元测试3文科
2009度新课标高三下学期数学单元测试4文科
电脑版