2015-2016学年高中数学 第一章 集合与函数概念章末复习提升 新人教A版必修1


【创新设计】2015-2016 学年高中数学 第一章 集合与函数概念章末 复习提升 新人教 A 版必修 1

1.集合的“三性” 正确理解集合元素的三性,即确定性、互异性和无序性.在集合运算中,常利用元素的互异 性检验所得的结论是否正确,因互异性易被忽略,在解决含参数集合问题时应格外注意. 2.集合与集合之间的关系 集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等.判断集合与集合之间的关系的本质是判断元 素与集合的关系,包含关系的传递性是推理的重要依据.空集比较特殊,它不包含任何元素, 是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.解题时,已知条件中出现 A? B 时,不要遗漏

A=?.
3.集合与集合之间的运算 并、交、补是集合间的基本运算,Venn 图与数轴是集合运算的重要工具.注意集合之间的运 算与集合之间关系的转化,如 A? B?A∩B=A?A∪B=B. 4.函数的单调性 函数的单调性是在定义域内讨论的,若要证明 f(x)在区间[a,b]上是增函数或减函数,必须 证明对[a,b]上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时都有 f(x1)<f(x2)或 f(x1)>f(x2)
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成立;若要证明 f(x)在区间[a,b]上不是单调函数,只要举出反例,即只要找到两个特殊的

x1, x2, 不满足定义即可. 单调函数具有下面性质: 设函数 f(x)定义在区间 I 上, 且 x1, x2∈I,
则 (1)若函数 f(x)在区间 I 上是单调函数,则 x1=x2?f(x1)=f(x2). (2)若函数 f(x)在区间 I 上是单调函数,则方程 f(x)=0 在区间 I 上至多有一个实数根. (3)若函数 f(x)与 g(x)在同一区间的单调性相同,则在此区间内,函数 f(x)+g(x)亦与它们 的单调性相同. 函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法. 5.函数的奇偶性 判定函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数 f(x)的定义域是否关于原点对称,再检验

f(-x)与 f(x)的关系; 二是用其图象判断, 考察函数的图象是否关于原点或 y 轴对称去判断,
但必须注意它是函数这一大前提.

题型一 集合的运算 集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,在运算过程中往往由于运算能力差 或考虑不全面而出现错误,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集 合运算常用 Venn 图法,运算时特别注意对?的讨论,不要遗漏. 例 1 已知集合 A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}. (1)若(?RA)∪B=R,求 a 的取值范围. (2)是否存在 a,使(?RA)∪B=R 且 A∩B=?? 解 (1)A={x|0≤x≤2}, ∴?RA={x|x<0,或 x>2}. ∵(?RA)∪B=R. ∴?
?a≤0, ? ?a+3≥2, ?

∴-1≤a≤0.

(2)由(1)知(?RA)∪B=R 时, -1≤a≤0,而 a+3∈[2,3], ∴A? B,这与 A∩B=?矛盾.即这样的 a 不存在. 跟踪演练 1 (1)已知集合 U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(?UA)∩B=________. (2)已知集合 A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则 A∩B 等于( A.(-∞,2] B.[1,2] C.[-2,2] D.[-2,1]
2

)

答案 (1){6,8} (2)D 解析 (1)∵U={2,3,6,8},A={2,3},∴?UA={6,8}. ∴(?UA)∩B={6,8}∩{2,6,8}={6,8}. (2)A={x∈R||x|≤2}={x∈R|-2≤x≤2}, ∴A∩B={x∈R|-2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1} ={x∈R|-2≤x≤1}. 题型二 函数的概念与性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函数的图象及其变化趋 势,从近几年的高考形式来看,对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征, 做题时应注重上述性质知识间的融合. 例2 已知函数 f(x)=

mx2+2 5 是奇函数,且 f(2)= . 3x+n 3

(1)求实数 m 和 n 的值; (2)求函数 f(x)在区间[-2,-1]上的最值. 解 (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴

mx2+2 mx2+2 mx2+2 =- = . -3x+n 3x+n -3x-n

比较得 n=-n,n=0. 5 4m+2 5 又 f(2)= ,∴ = ,解得 m=2. 3 6 3 因此,实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0. 2x +2 2x 2 (2)由(1)知 f(x)= = + . 3x 3 3x 任取 x1,x2∈[-2,-1],且 x1<x2, 1 ? 2 ? 则 f(x1)-f(x2)= (x1-x2)?1- ? x 3 1x2? ? 2 x1x2-1 = (x1-x2)· . 3 x1x2 ∵-2≤x1<x2≤-1 时, ∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在[-2,-1]上为增函数, 4 5 因此 f(x)max=f(-1)=- ,f(x)min=f(-2)=- . 3 3
2

3

跟踪演练 2 (1)函数 y=

的定义域为( 1- 1-x

2

)

A.(-∞,1) B.(-∞,0)∪(0,1] C.(-∞,0)∪(0,1) D.[1,+∞)

(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当 -1≤x≤0 时,f(x)=________. 答案 (1)B (2)-

x?x+1?
2

?1-x≥0, 解析 (1)要使函数有意义,则? ?1- 1-x≠0,
即 x≤1 且 x≠0. (2)设-1≤x≤0,则 0≤x+1≤1, 所以 f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1). 又因为 f(x+1)=2f(x), 所以 f(x)=

f?x+1?
2

=-

x?x+1?
2

.

题型三 函数图象及其应用 函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数重 要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于图象正确的画出.函数 图象广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点. 例 3 对于函数 f(x)=x -2|x|. (1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性; (2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值. 解 (1)函数的定义域为 R,关于原点对称,f(-x)=(-x) -2|-x|=x -2|x|. 则 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 图象关于 y 轴对称.
? ?x -2x=?x-1? -1?x≥0?, (2)f(x)=x -2|x|=? 2 2 ?x +2x=?x+1? -1?x<0?. ?
2 2 2 2 2 2

画出图象如图所示,

根据图象知,函数 f(x)的最小值是-1. 单调增区间是[-1,0],[1,+∞);减区间是(-∞,-1],[0,1].
4

3 1 2 跟踪演练 3 对于任意 x∈R,函数 f(x)表示-x+3, x+ ,x -4x+3 中的较大者,则 f(x) 2 2 的最小值是________. 答案 2 3 1 2 解析 首先应理解题意,“函数 f(x)表示-x+3, x+ ,x -4x+3 中的较大者”是指对某 2 2 3 1 2 个区间而言,函数 f(x)表示-x+3, x+ ,x -4x+3 中最大的一个. 2 2 如图,分别画出三个函数的图象,得到三个交点 A(0,3),B(1,2),C(5,8).

从图象观察可得函数 f(x)的表达式:

? ?-x+3 ?0<x≤1?, f(x)=?3 1 x+ ?1<x≤5?, 2 2 ? ?x -4x+3 ?x>5?.
2

x2-4x+3 ?x≤0?,

f(x)的图象是图中的实线部分,图象的最低点是点 B(1,2),所以 f(x)的最小值是 2.
题型四 分类讨论思想 分类讨论思想的实质是:把整体问题化为部分来解决,化成部分后,从而增加题设条件,在 解决含有字母参数的问题时,常用到分类讨论思想,分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨 论,分类的标准是什么,分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为:集合 运算中对?的讨论,二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等. 例 4 设函数 f(x)=x -2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数 f(x)的最小值. 解 f(x)=x -2x+2=(x-1) +1,x∈[t,t+1],t∈R,对称轴为 x=1.
2 2 2

5

当 t+1<1,即 t<0 时,函数图象如图(1),函数 f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小 值为 f(t+1)=t +1; 当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,函数图象如图(2),最小值为 f(1)=1; 当 t>1 时,函数图象如图(3),函数 f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为 f(t) =t -2t+2.
2 2

t +1,t<0, ? ? 综上所述 f(x)min=?1,0≤t≤1, ? ?t2-2t+2,t>1.
跟踪演练 4 已知 A={x|x -3x+2=0},B={x|ax-2=0},且 A∪B=A,求实数 a 组成的 集合 C. 解 ∵A∪B=A,∴B? A. (1)当 B≠?时,由 x -3x+2=0,得 x=1 或 2.当 x=1 时,a=2;当 x=2 时,a=1. (2)当 B=?时,即当 a=0 时,B=?,符合题意. 故实数 a 组成的集合 C={0,1,2}.
2 2

2

1. 函数单调性的判定方法 (1)定义法. (2)直接法: 运用已知的结论, 直接判断函数的单调性, 如一次函数, 二次函数, 反比例函数; 还可以根据 f(x),g(x)的单调性判断-f(x), 1 ,f(x)+g(x)的单调性等. f?x?

(3)图象法:根据函数的图象判断函数的单调性. 2. 二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数 f(x)=a(x-h) +k(a>0)在区间[m,n]上最值问题,有以下结论: (1)若 h∈[m,n],则 ymin=f(h)=k,
2

ymax=max{f(m),f(n)};
(2)若 h?[m,n],则 ymin=min{f(m),f(n)},

ymax=max{f(m),f(n)}(a<0 时可仿此讨论).
3. 函数奇偶性与单调性的差异 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的,这一点与研究函数的单调性不同,从这个意义 上说,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对函数 定义域内的每一个 x 值,都有 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)),才能说 f(x)是奇函数(或 偶函数).

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