2013备考各地试题解析分类汇编(二)文科数学:10圆锥曲线2

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各地解析分类汇编(二)系列:圆锥曲线 2

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1.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】椭圆 A.4 【答案】C B.6 C .8 D.10

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 25 9

【解析】 由椭圆的方程可知 a 2 ? 25, b2 ? 9 , 所以 c ? a ? b ? 25 ? 9 ? 16 , 即c ? 4, 所以焦距为 2c ? 8 ,
2 2 2

选 C. 2.【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) 的 a 2 b2

左、右焦点,与直线 y = b 相切的 ? F2 交椭圆于点 E,E 恰好是直线 EF1 与 ? F2 的切点,则椭圆的离心率 为 A.

3 2

B.

3 3

C.

5 3

D.

5 4

【答案】C 【解析】因为直线 y = b 与圆相切,所以圆的半径为 b 。因为 E,E 恰好是直线 EF1 与 ? F2 的切点,所以三 角形 F 。所以根据勾股定理得 (2 ? b a ? b ) ? b ? 4c , 即 1EF 2 为直角三角形,所以 EF 1 ?2 a
2 2 2 2 2 2 6b2 ? 4ab ,所以 b ? ,整理得 4a2 ? 4a b? 2 b ? 4 (a ? b )

2 4 5 a , b 2 ? a 2 ? a 2 ? c 2 。得到 c 2 ? a 2 , 3 9 9

即e ?
2

5 5 ,所以椭圆的离心率为 e ? ,选 C. 9 3

C 上存在 3.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F 1 、 F2 ,若曲线
点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,则曲线 C 的离心率等于( ) (A) 或 【答案】D 【解析】因为 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,所以设 PF1 ? 4 x , F1 F2 ? 3 x , PF2 ? 2 x, x ? 0 。因为

2 3

3 2

(B) 或2

2 3

(C) 或2

1 2

(D) 或

1 2

3 2

F1 F2 ? 3 x ? 2c ,所以 x ?

2 a ? 3 x ,所以离心率 c 。若曲线为椭圆,则有 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6x 即 3

e?

c c c 1 ? ? ? 。若曲线为双曲线圆,则有 2a ? PF1 ? PF2 ? 2x 即 a ? x ,所以离心率 a 3x 3 ? 2 c 2 3
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e?

c c c 3 ? ? ? ,所以选 D. a x 2c 2 3
x2 y2 ? ? 1( A ? B ? 0) 和双曲线 C 2 : A2 B 2

4.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F1 、 F2 , 2c 是它们的共同焦距,且它们的离心率互为倒数, P a 2 b2
是它们在第一象限的交点,当 cos?F1 PF2 ? 60? 时,下列结论中正确的是( )

A . c 4 ? 3a 4 ? 4a 2 c 2 B . 3c 4 ? a 4 ? 4a 2 c 2 C . c 4 ? 3a 4 ? 6a 2 c 2

D . 3c 4 ? a 4 ? 6a 2 c 2

【答案】A 【解析】设椭圆的离心率为 e1 ,则 e1 ?

c c , A ? .双曲线的离心率为 e , A e1

e?

c c , a ? . PF 1 ? x, PF 2 ? y,( x ? y ? 0) ,则由余弦定理得 a e

4c2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos60? ? x2 ? y 2 ? xy ,当点 P 看做是椭圆上的点时,有 4c2 ? ( x ? y)2 ? 3xy ? 4 A2 ? 3xy ,当点 P 看做是双曲线上的点时,有 4c2 ? ( x ? y)2 ? xy ? 4a2 ? xy ,两
2 2 2 式联立消去 xy 得 4c ? A ? 3a ,又因为 A ?

c 1 c c2 =c ? ? ce ? c ? ? ,代入得 e1 e1 a a

c2 2 c4 2 4c ? ( ) ? 3a ? 2 ? 3a 2 ,整理得 4a 2c 2 ? c 4 ? 3a 4 ,即 c 4 ? 3a 4 ? 4a 2c 2 ,选 A. a a
2

5.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)文】设 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右 a 2 b2
??? ? ??? ?

焦点, 双曲线两条渐近线分别为 l1 , l2 , 过 F 作直线 l1 的垂线, 分别交 l1 , l2 于 A 、B 两点, 且向量 BF 与 FA 同向.若 | OA |,| AB |,| OB | 成等差数列,则双曲线离心率 e 的大小为

A.

5 2

B.

6 2

C.

7 2

D

2

【答案】A 【解析】设 OA =m?d, AB =m, OB =m+d,由勾股定理,得 (m? d) +m =(m+d) .解得 m=4d.
2 2 2

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设∠AOF= ? ,则 cos2 ? =
OA OB ?

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1 ? cos 2? 2 1 5 3 ? ? .cos ? = ,所以,离心率 e = .选 A cos ? 2 2 5 5

6.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)文】在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1) ,若 线 段 OA 的 垂 直 平 分 线 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 , 则 该 抛 物 线 的 准 线 方 程 是 【答案】 x ? ?
5 4



【解析】线段 OA 的斜率 k ?

1 1 ,中点坐标为 (1, ) 。所以线段 OA 的垂直平分线的斜率为 ?2 ,所以 OA 的 2 2
5 5 1 ? ?2( x ? 1) ,令 y = 0 得到 x = .所以该抛物线的准线方程为 x ? ? . 4 4 2

垂直平分线的方程是 y ?

7. 【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考 文】 若椭圆的短轴为 AB , 它的一个焦点为 F , 则满足 ?ABF 为等边三角形的椭圆的离心率是 【答案】 。

3 2
2 2 , 所以 4c ? 3a , 即e ?
2

【解析】 若三角形 ABF 为等边三角形, 则有 2b ? a , 即 a2 ? 4 b2 ? 4 (a 2 ? c2 ) 所以 e ?

3 , 4

3 3 ,所以椭圆的离心率为 。 2 2

8.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,过 点 A(4,4)作直线 l : x ? ?1 垂线,垂足为 M,则∠MAF 的平分线所在直线的方程为 【答案】 x ? 2 y ? 4 ? 0 【解析】点 A 在抛物线上,抛物线的焦点为 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 ,垂足 M (?1, 4) ,由抛物线的定义 得 AF ? AM ,所以 ?MAF 的平分线所在的直线就是线段 MF 的垂直平分线,k MF ? .

4?0 ? ?2 ,所以 ?1 ? 1

?MAF 的平分线所在的直线方程为 y ? 4 ?

1 ( x ? 4) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2

9.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】设椭圆的焦点为 F1 , F2 ,以 F1 F2 为直径的圆 与椭圆的一个交点为 P ,若 F1 F2 ? 2 PF2 ,则椭圆的离心率为___________________. 【答案】 3 ? 1
? PF 【解 析】由题 意可知 ?F 1 ? PF 2 ? F 1 F 2 。 因为 F 1PF 2 ? 90 ,所以 1F 2 ? 2 PF 2 ? 2c , 所以
2 2 2

PF2 ? c ,所以 PF1 ? 2a ? c 。即 (2 a ? c) 2 ? c 2 ? 4c 2 ,即 c2 ? 2ac ? 2a2 ? 0 ,即 e2 ? 2e ? 2 ?0 ,
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解得 e ? 3 ? 1 ,所以椭圆的离心率为 3 ? 1 。

10.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 .双曲线 心率为______. 【答案】 y ? ?

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为______;离 36 45

3 5 x, ; 2 2

【解析】由双曲线的标准方程可知, a 2 ? 36, b2 ? 45 ,所以 c2 ? 81, c ? 9 , a ? 6, b ? 3 5 。所以双曲线 的渐近线方程为 y ? ?

c 9 3 b 3 5 5 x?? x?? x ,离心率 e ? ? ? 。 a 6 2 a 6 2
2 0

11.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试数学文】过抛物线 x =2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角 30 的 直线,与抛物线交于 A、B 两点(点 A 在 y 轴左侧) ,则

AF BF

的值是___________.

1 【答案】 3

p p F (0, ) y?? 2 ,准线方程为 2 。 设 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 直 线 方 程 为 【解析】抛物线的焦点为

x ? 3( y ?

p p 3p ) y1 ? , y2 ? 2 2 2 ,代入抛物线方程消去 x 得 12 y ? 20 py ? 3 p ? 0 ,解得 6 2 。根据抛物线 AF ? y1 ?

的定义可知

AF 1 p p p 2p p 3p p ? ? ? ? , BF ? y2 ? ? ? ? 2p BF 3 2 6 2 3 2 2 2 ,所以 .
2 2

12.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试数学文】如图所示, C 是半圆弧 x +y =1(y≥0)上一点, 连 接 AC 并延长至 D, 使|CD|=|CB|, 则当 C 点在半圆弧上从 B 点移动至 A 点时,D 点的轨迹是_______的一 部分,D 点所经过的路程为 .

【答案】圆, 2?

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【解析】解:设点 D( x, y) (其中 D 点不与 A、B 两点重合) ,连接 BD, 设直线 BD 的倾斜角为 ? ,直线 AD 的倾斜角为 ? 。

由题意得,

k AD ? tan ? ?

y y , k BD ? tan ? ? x ?1 x ? 1 。因为|CD|=|CB|,所以 ?ADB ? 45?

,则有 ? ? ? ? 45 ,即 ? ? ? ? 45 ,即
? ? 2 2

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? tan 45? ? 1 1 ? tan ? tan ?

由此化简得 x ? ( y ? 1) ? 2 (其中 D 点不与 A、B 两点重合) . 又因为 D 点在 A、B 点时也符合题意, 因此点 D 的轨迹是以点(0,1)为圆心, 2 为半径的半圆, 点 D 所经过的路程 2? . 13. 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷 (四) 文】 (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(常 m n

数 m, n ? R ,且 m ? n )的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,且 M , N 为短轴的两个端点,且四边形 F 1MF2 N 是 面积为 4 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)过原点且斜率分别为 k 和 ?k (k ? 2) 的两条直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的交点为 A 、 B 、 C 、 D (按逆 m n

时针顺序排列,且点 A 位于第 一象限内) ,求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值.

? ?m ? 4 , ?m ? n ? n , 【答案】解: (Ⅰ)依题意得 ? ∴? ? ?2 n ? 2 2 , ? n ? 2 ,
所求椭圆方程为

x2 y 2 =1.………………………… ……………(6 分) ? 4 2
? ?, ?

? y ? kx , ? 2 2k ? , (Ⅱ)设 A(x,y),由 ? x 2 y 2 得 A? 2 ?1 1 ? 2k 2 ? ? ? 1 ? 2k ?4 2

根据题设直线图象与椭圆的对称性,知
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S=4 ?
2 1 ? 2k
2

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?

2k 1 ? 2k
2

=

16k (k≥2). 1 ? 2k 2

所以 S=

16 1 ? 2k k

(k≥2),

设 M(k)=2k+

1 1 ,则 M ′(k)=2 ? 2 , k k 1 >0, k2

当 k≥2 时,M ′(k)=2 ?

所以 M(k)在 k ? [2,+ ? )时单调递增, 所以 M(k)min=M(2)=
9 , 2
16 32 = .………………………………………(12 分) 9 9 2

所以当 k≥2 时,Smax=

14.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考 文】 (本小题满分12分)已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的 动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0,2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、

??? ??? ?

??? ???

B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求

l1 l2 ? 的最大值。 l2 l1

【答案】 (1)设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? , ∵ QP? QF ? FP?FQ , ∴ ? 0, y ?1?? ? ?x,2? ? ? x, y ?1??? x, ?2? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ?1? ,即 x2 ? 4 y ,
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x ? 4 y .
2
2 (2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a ? 4b .



圆 M 的半径为 MD ?
2

a2 ? ? b ? 2? .
2
2 2

2 圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? . 2 2 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? , 2 2

2 整理得, x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 .


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由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A ? a ? 2,0? , B ? a ? 2,0? , ∴ l1 ? ∴

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? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

?4 .

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64
?2

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 , a 4 ? 64



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2 ? 8 2 a ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立. 当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ? 2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶

15.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】 (满分 12 分)已知椭圆

点为 B (0, 4) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

5 ,直线 l 交椭圆于 M、N 两点. 5

(II)如果Δ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 的方程. 【答案】解: (1) 由已知 b ? 4 ,且

c2 1 c 5 ,即 2 ? , ? 5 a a 5

a 2 ? b2 1 x2 y 2 2 ? a ? 20 ∴ ,解得 ,∴椭圆的方程标准为 ? ? 1 ; ………………5 分 20 16 5 a2
(2)椭圆右焦点 F 的坐标为 (2, 0) , 设线段 MN 的中点为 Q ( x0 , y0 ) , 由三角形重心的性质知 BF ? 2FQ ,又 B(0, 4) ,

??? ?

??? ?

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∴ (2, ?4) ? 2( x0 ? 2, y0 ) ,故得 x0 ? 3, y0 ? ?2 , 求得 Q 的坐标为 (3, ?2) ; 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6, y1 ? y2 ? ?4 ,
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 ? ? 1, ? ? 1, 且 20 16 20 16

……………………8 分

……………………10 分

以上两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, 20 16

∴ kMN ?

y1 ? y2 4 x ?x 4 6 6 ?? ? 1 2 ?? ? ? , x1 ? x2 5 y1 ? y2 5 ?4 5

故直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 3) ,即 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 .

6 5

……………………12 分

16.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】 (本小题满分 1 2 分) 已知曲线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ?x ? 0? , 曲线 E 是以 F1 ?? 1 , 0? 、F2 ?1 , 0? 为焦点的椭圆, 点 P 为曲线 C 与曲线 E 在第一象限的交点,且 PF2 ? (1)求曲线 E 的标准方程; (2)直线 l 与椭圆 E 相交于 A , B 两点,若 AB 的中点 M 在曲线 C 上,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 【答案】解: (1)依题意, c ? 1 , | PF2 |?

5 . 3

2 5 ,利用抛物线的定义可得 x P ? , 3 3

?2 2 6? ? ? P 点的坐标为 ? ? 3 , 3 ? ………2 分 ? ?
| PF1 |?
7 5 7 ,又由椭圆定义得 2a ? PF1 ? PF2 ? ? ? 4, a ? 2 .…4 分 3 3 3

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以曲线 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1; 4 3

……6 分

(2) (方法一)设直线 l 与椭圆 E 交点 A? x1 , y1 ?, B? x2 , y2 ? , A , B 的中点 M 的坐标为 ? x0 , y0 ? , 设直线 l 方程为 y ? kx ? m?k ? 0 , m ? 0?



x2 y2 2 ? ? 1 联立得 ?3 ? 4k ? ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 4 3
2 2

由 ? ? 0 得 4k - m ? 3 ? 0 由韦达定理得 x1 ? x 2 ? ?
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……8 分

8km 3 ? 4k 2

? x0 ? ?

4km 3 ? 4k 2

y0 ?

3m 3 ? 4k 2

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将 M( ?

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16k (3 ? 4k 2 ) 4km 3m 2 m ? ? , ) 代入 整理得 y ? 4 x 9 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

②…10 分

将②代入①得 162 k 2 3 ? 4k 2 ? 81

?

?



t ? 4k 2 ?t ? 0? 则 64t 2 ? 192t ? 81 ? 0 ? 0 ? t ?

3 8

??

6 6 且 k ? 0 ………12 分 ?k? 8 8

(方法二)设直线 l 与椭圆 E 交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , A, B 的中点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? ,
2 2 ? ?3 x1 ? 4 y1 ? 12 ? 0 将 A, B 的坐标代入椭圆方程中,得 ? 2 2 ? ?3 x2 ? 4 y2 ? 12 ? 0

两式相减得 3? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 4? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0

?

y1 ? y2 3x ?? 0 , x1 ? x2 4 y0

……7 分

? y0 ? 4 x0 ,? 直线 AB 的斜率 k ?

2

y1 ? y2 3 ? ? y0 , x1 ? x2 16

………8 分

? y2 ? 4 x 2 由? ? 3 x 2 ? 16x ? 12 ? 0 ,??3 x ? 2?? x ? 6? ? 0 ,解得 x ? ,或 x ? ?6 (舍) 2 2 3 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0

? y2 ? 4x ?

8 2 6 ,? y ? ? , 3 3

由题设 ?

2 6 2 6 6 3 6 , ……10 分 ? y0 ? ( y0 ? 0 ) ,? ? ? ? y0 ? 8 16 8 3 3
………12 分

即?

6 6 ?且k ? 0? . ?k? 8 8

17. 【北京市西城区 201 3 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 14 分)如图, A , B 是椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个顶点. | AB | ? 5 ,直线 AB 的斜率为 ? . 2 2 a b
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 设直线 l 平行于 AB , 与 x , y 轴分别交于点 M , N , 于 C , D .证明:△ OCM 的面积等于△ ODN 的 与椭圆相交 面积.

【 答 案 】( Ⅰ ) 解 : 依 题 意 , 得
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?b 1 ?a ? 2 , ? ? a 2 ? b 2 ? 5. ?
解得 a ? 2 , b ? 1 .

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………………2 分

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………………3 分 ………………4 分

x2 ? y 2 ? 1. 所以 椭圆的方程为 4
(Ⅱ)证明:由于 l // AB ,设直线 l 的方程为 y ? ? 整理得 2 x2 ? 4mx ? 4m2 ? 4 ? 0 .

x2 1 x ? m ,将其代入 ? y 2 ? 1,消去 y , 2 4
………………6 分

设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) .

?? ? 16m 2 ? 32(m 2 ? 1) ? 0, ? 所以 ? x1 ? x2 ? 2m, ………………8 分 ? 2 ? x1 x2 ? 2m ? 2.
证法一:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S2 . 由 M (2m,0) , N (0, m) , 则 S1 ? S2 ?

1 1 ? | 2m | ? | y1 | ? ? | m | ? | x2 | ? | 2 y1 | ? | x2 | . ………10 分 2 2

因为 x1 ? x2 ? 2m , 所以 | 2 y1 | ? | 2 ? (? 从而 S1 ? S2 . 证法二:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S2 . 则 S1 ? S2 ? | MC | ? | ND | ? 线段 CD, MN 的中点重合.……10 分 因为 x1 ? x2 ? 2m , 所以

1 x1 ? m) | ? | ? x1 ? 2m | ? | x2 | , 2

………13 分 ……………14 分

x1 ? x2 y ? y2 1 x ?x 1 ?? ? 1 2 ?m? m. ?m, 1 2 2 2 2 2
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故线段 CD 的中点为 ( m,

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1 m) . 2

因为 M (2m,0) , N (0, m) , 所以 线段 MN 的中点坐标亦为 ( m, 从而 S1 ? S2 .

1 m) . 2

……………13 分 ……………14 分

18.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 (I)求椭圆 E 的方程; (II)直线 y ? kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A 、 B 两点, O 为原点,在 OA 、 OB 上分别存在异于 O 点 的点 M 、 N ,使得 O 在以 MN 为直径的圆外,求直线斜率 k 的取值范围.

1 3 ,对称轴为坐标轴,且经过点 (1, ) . 2 2

【答案】 (I)依题意,可设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

c 1 ? ? a ? 2c, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 a 2 3 1 9 ? 1 ,解得 c2 ? 1 ∵ 椭圆经过点 (1, ) ,则 2 ? 2 2 4c 12c


x2 y 2 ? ? 1 ·························· 4? ∴ 椭圆的方程为 4 3

? y ? kx ? 2 ? (II)联立方程组 ? x 2 y 2 ,消去 y 整理得 (4k 2 ? 3) x2 ?16kx ? 4 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
∵ 直线与椭圆有两个交点,
2 2 2 ∴ ? ? (?16k ) ?16(4k ? 3) ? 0 ,解得 k ?

······ 5 ?

1 4

① ················ 6 ?

∵ 原点 O 在以 MN 为直径的圆外, ∴ ?MON 为锐角,即 OM ? ON ? 0 . 而 M 、 N 分别在 OA 、 OB 上且异于 O 点,即 OA ? OB ? 0 ············· 8 ? 设 A, B 两点坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 OA? OB ? ( x1, y1 )? ( x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

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2 解得 k ?

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4 3



② ·················· 11 ?

综合①②可知: k ? ? ?

? 2 3 1? ?1 2 3? ,? ? ? ??? ?2, 3 ? ? 3 2 ? ? ? ?

12 ?

19. 【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】 (本题 14 分) 已知椭圆 E : 的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,且圆 C: x2 + y2 + (1)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) a 2 b2

3x - 3 y - 6 = 0 过 A,F2 两点.

(2)直线 BC 过坐标原点,与椭圆 E 相交于 B,C,点 Q 为椭圆 E 上的一点,若直线 QB,QC 的斜率 kQB , kQC 存 在且不为 0,求证: kQB × kQC 为定值; (3)设直线 PF2 的倾斜角为 a ,直线 PF1 的倾斜角为 b ,当 b - a = 【答案】

2p 时,证明:点 P 在一定圆上. 3

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