2017_2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.2集合的含义与表示课件新人教A版必修120171106374_图文

1.1.1

集合的含义与表示(第2课时)

要点1 列举法 把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;如正奇数 集合用列举法表示为{1,3,5,7,…}. 要点2 描述法 把集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内. 如:集合{x|x=2k+1,k∈Z}与集合{x|x=4n± 1,n∈Z}均 表示奇数集.

要点3 图示法 (1)韦恩(Venn)图法:用一条封闭的曲线的内部表示集合.如 集合{1,2,3}可表示为:

(2)数轴法:对于某些数集,我们经常用数轴直观明了地表 示出来.如集合A={x|x>1, x∈R}和B={x|x≤- 2,x∈R}用数 轴分别表示如下:

大于向右,小于向左;有“=”画“· ”,无“=”画 “。”.

要点4 非空集合的分类 有限集:含有有限个元素; 无限集:含有无限个元素.

1.“列举法只能表示有限集”对吗?
答:不对.当构成集合的元素有明显规律时,可用列举法,如{1, 2,3,4,5,…}.

2.下列表示法: ①Q={全体有理数};②R={实数集}是否正确?
答:不正确.①应为Q={x|x为有理数}={有理数}; ②应为R={x|x为实数}={实数}.

3.集合{x∈N|x3=x}与集合{-1,0,1}相等吗?
答:不相等.因为{x∈N|x3=x}={0,1}.

课 时 学 案

题型一 列举法 例1 用列举法表示下列集合. (1)不大于10的非负偶数集; (2)大于10的非负偶数集; (3)方程 2x-1 + |y+1|=0的解集.

【解析】 (1){0,2,4,6,8,10}. (2){12,14,16,…}. (3)方程只有当2x-1=0且y+1=0同时成立时,等式才成 立, ? 1 ?x= , 1 2 ∴? 为方程的解,∴解集为{(2,-1)}. ? ?y=-1

1 1 【讲评】 对于(3)容易写成{ ,-1}或{x= ,y=-1}, 2 2 这两种写法都是错误的,当方程为二元方程时,方程的解应写 成二元数组,即点的坐标的形式.

探究1 列举法:①一般格式:{a1,a2,a3,…,an}. ②优点:一目了然,可以明确表示出集合中的具体元素和 元素个数. ③适用范围:元素个数较少;对于含较多元素的集合,如 果构成该集合的元素有明显规律,也可用列举法.

思考题1 用列举法表示下列集合. (1)方程x2(x+1)=0的解的集合; (2)全体负整数的集合; |a| |b| (3)若a,b为非零实数,则 a + b 的取值集合A.

【解析】

|a| |b| (3)当a>0且b>0时, a + b =1+1=2.

|a| |b| 当a>0且b<0时, + =1+(-1)=0. a b |a| |b| 当a<0且b>0时, + =(-1)+1=0. a b |a| |b| 当a<0且b<0时, + =(-1)+(-1)=-2. a b 又∵集合中元素具有互异性,∴A= {-2,0,2}. 【答案】 (1){-1,0} (2){-1,-2,-3,-4,……}

(3)A={-2,0,2}

题型二 描述法 例2 用描述法表示下列集合. (1)所有能被4整除的自然数; (2)坐标平面内第一象限内的点的集合; (3)所有平行四边形组成的集合; (4)不等式5x+6<0的解集.
【答案】 (1){x|x=4n,n∈N};(2){(x,y)|x>0 且y>0}; 6 (3){x|x是平行四边形};(4){x|x<-5}.

探究2 (1)一般格式:{x|p(x)}或{x∈I|p(x)},其中p(x)为元 素x所具有的性质或限制条件. (2)代表元素x可以是数,也可以是点,可以是一维数字,也 可以是二维数组,…… (3)用于描述的语句力求简明、准确;多层描述时,应当准 确使用“且”、“或”.

思考题2 用描述法表示下列集合: (1)所有正偶数的集合; (2)方程x2-16=0的所有有理根组成的集合; (3)由大于10且小于20的所有整数组成的集合; (4){(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)}.

【答案】 (1){x|x=2n,n∈N*} (2){x∈Q |x2-16=0} (3){x∈Z|10<x<20} (4){(x,y)|x+y=3,x, y∈N}.

题型三

用适当的方法表示集合

例3 用适当的方法表示下列集合,并判断是有限集,还是 无限集? 22 2 (1)方程(x+1)(x-3) (x -2)(x2+1)=0的有理根的集合A; (2)被3除余1的自然数组成的集合; (3)坐标平面内,不在第一、三象限的点的集合; (4)自然数的平方组成的集合.

2 2 2 【解析】 (1)列举法:由(x+1)(x- ) (x -2)(x2+1)=0, 3 2 得x=-1∈Q,x=3∈Q,x=± 2?Q. 2 ∴A= {-1, }.有限集. 3 (2)描述法:{x|x=3k+1,k∈N}.无限集.

(3)描述法:坐标平面内在第一、三象限的点的特点是纵、 横坐标同号,所以不在第一、三象限的点的集合可表示为{(x, y)|xy≤0, x∈R, y∈R}.无限集. (4)列举法:{02,12,22,32,…}; 也可用描述法:{x|x= n2,n∈N}.无限集. 【讲评】 通过本例体会何时用列举法、何时用描述法表 示集合.

探究3 式为:

(1)数集和点集在以后的学习中时常用到,其一般格

数集:{x|p(x)},点集:{(x, y)|p(x, y)}. 慧眼识真:竖线左边1个字母为数集; 竖线左边2个字母为点集. (2)何谓适当的方法?即较为简洁、合适的表示方法.一般无 限集用描述法,有限集且元素个数较少时用列举法. (3)要锻炼、培养自己的归纳、猜想能力. (4)你还有哪些收获?

思考题3 方程组

?x- y+1=0, ? ? ? ?2x+ y-4=0

的解集可以表示为:

①(1,2);②{(1,2)};③{(x,y)|x=1或 y=2};④{1,2};
? ?? ? x = 1 ? ? ? ? ?. ⑤?(x, y) ?? ? ? ?? ?y=2 ? ?

以上正确的是________.
【答案】 ②⑤ 【讲评】 通过本题辩析方程组解集的几种错误写法.

课 后 巩 固

1.将集合{x|-3≤ x≤3, x∈N}用列举法表示为( A.{-3,-2,-1,0,1,2,3} C.{0,1,2,3}
答案 C

)

B.{-2,-1,0,1,2} D.{1,2,3}

2.已知集合A= {x|-1<x< 3,x∈ Z},则一定有( A.-1∈ A C.0∈ A
答案 C

)

1 B.2∈A D.0?A

3.若集合A= {x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a= ( ) A.4 C.0
答案 A 解析 由ax2+ax+1=0只有一个实数解,可得当a=0时,方 程无实数解;当a≠0时,则Δ=a2-4a=0, 解得a=4(a=0不合题意舍去).

B.2 D.0或4

4.下列各式中错误的是________. ①-3∈{x∈ R|x=2k-1,k∈Z} ②3 2?Q


③{x∈ R|-5<x<5且 x∈N}={0,1,2,3,4}
答案 ② 1 解析 ∵3 =9是有理数,∴3-2?Q错误.
-2

5.用列举法表示集合A= {y|y= x2+1, |x|≤2,x∈Z}= ________.
答案 {1,2,5}

6.设A= {x|x=4k+1,k∈Z},则3____A,0____A,- 1____A,-7____A.
答案 ? ? ? ∈

自 助 餐

用描述法表示的一类数集或点集的辨析 例 下面三个集合:①{x|y= x2+1};②{y|y= x2+1}; ③{(x, y)|y= x2+1}. (1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义是什么?

【解析】 (1)由于三个集合的代表元素代表的对象互不相 同.∴它们是互不相同的集合. (2)集合①{x|y=x2+1}的代表元素是 x, ∵当x∈R时,y= x2+1有意义, ∴{x|y= x2+1}=R. 集合②{y|y= x2+1}的代表元素是 y, 满足条件y= x2+1的y的取值范围是 y≥1,

内部文件,请勿外传

内部文件,请勿外传

∴{y|y= x2+1}={y|y≥1}. 集合③{(x, y)|y= x2+1}的代表元素是(x, y),可以认为是 满足y= x2+1的数对(x, y)的集合;也可以认为是坐标平面内的 点(x, y)构成的集合,且这些点的坐标满足 y= x2+1,∴{(x, y)|y= x2+1}={P|P是抛物线 y=x2+1上的点}.


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