2015-2016学年北师大版数学选修2-2全册课件:3.1.2 函数的极值_图文

1.2 函数的极值 -1- 1.2 函数的极值 M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHI SHULI HONGNAN JVJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLI TOUXI UITANGYANLIAN 1.结合函数的图像,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.理解函数极值的概念,理解函数的极值与导数的关系,会求函数的极值,并 能确定是极大值还是极小值. 3.增强学生数形结合的思维意识,提高学生运用导数的基本思想去分析和 解决实际问题的能力. -2- 1.2 函数的极值 1 2 M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHI SHULI HONGNAN JVJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLI TOUXI UITANGYANLIAN 1.函数的极值的有关概念 (1)在包含 x0 的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都小 于或等于 x0 点的函数值,称点 x0 为函数 y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0)为 函数的极大值. 在包含 x0 的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都大于或 等于 x0 点的函数值,称点 x0 为函数 y=f(x)的极小值点,其函数值 f(x0)为函数 的极小值. 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点. 说明 1.极值是一个局部性概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内 最大或最小,即反映的是函数在某一点附近的大小情况. 2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. 3.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上极大值或极小值可 以不止一个. -3- 1.2 函数的极值 1 2 M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHI SHULI HONGNAN JVJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLI TOUXI UITANGYANLIAN 4.如果函数 f(x)在[a,b]上有极值的话,它的极值点的分布是有规律的.相 邻两个极大值点之间必有一个极小值点.同样,相邻两个极小值点之间必有 一个极大值点.一般地,当函数 f(x)在[a,b]上的图像连续且有有限个极值点 时,函数 f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的. 5.极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于 极小值,如图所示,x1 是极大值点,x4 是极小值点,而 f(x4)>f(x1). -4- 1.2 函数的极值 1 2 M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHI SHULI HONGNAN JVJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLI TOUXI UITANGYANLIAN (2)如果函数 y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,那 么 x0 是极大值点,f(x0)是极大值. 如果函数 y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,那么 x0 是极小值点,f(x0)是极小值. 【做一做 1】 函数 y=2-x2-x3 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值 答案:D -5- 1.2 函数的极值 1 2 M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHI SHULI HONGNAN JVJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLI TOUXI UITANGYANLIAN 2.求函数极值点的步骤 (1)求出导数 f'(x); (2)解方程 f'(x)=0; (3)对于方程 f'(x)=0 的每一个解 x0,分析 f'(x)在 x0 左、 右两侧的符号(即 f(x)的单调性),确定极值点; ①若 f'(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”,则 x0 为极大值点; ②若 f'(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”,则 x0 为极小值点; ③若 f'(x)在 x0 两侧的符号相同,则 x0 不是极值点. 说明 1.导数值为 0 的点不一定是函数的极值点.例如,对于函数 f(x)=x3, 我们有 f'(x)=3x2.显然 f'(0)=0,但无论 x>0,还是 x<0,恒有 f'(x)>0,即函数 f(x)=x3 是单调递增的,所以 x=0 不是函数 f(x)=x3 的极值点.一般地,函数 y=f(x)在一点的导数存在,且导数值为 0 是函数 y=f(x)在这点取极值的必要 条件,而非充分条件. 2.使 f'(x)无意义的点也要讨论,即可先求出 f'(x)=0 的根和使 f'(x)无意义的点, 这些点都称为可疑点,再用定义去判断. -6- 1.2 函数的极值 1 2 M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHI SHULI HONGNAN JVJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLI TOUXI UITANGYANLIAN 为 【做一做 2】 函数 f(x)=x3-6x+a 的极大值为 . 解析:由题意,得 f'(x)=3x2-6,列表: (-∞,- 2) f'(x) + x f(x) ↗ - 2 0 极大值 (- 2, 2) ↘ 2 0 极小值 ,极小值 ( 2,+∞) + ↗ 故 f(x)极大值=f(- 2)=4 2+a, f(x)极小值=f( 2)=-4 2+a. 答案:4 2+a -4 2+a -7- 1.2 函数的极值 M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHI SHULI HONGNAN JVJIAO D典例透析

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