高中数学第2讲证明不等式的基本方法3反证法与放缩法学案新人教A版选修4_5

三 反证法与放缩法 1.掌握用反证法证明不等式的方法.(重点) 2.了解放缩法证明不等式的原理,并会用其证明不等式.(难点、易错易混点) [基础·初探] 教材整理 1 反证法 阅读教材 P26~P27“例 2”及以上部分,完成下列问题. 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性 质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把这种证明问题的方法称为反 证法. 如果两个正整数之积为偶数,则这两个数( A.两个都是偶数 B.一个是奇数,一个是偶数 C.至少一个是偶数 D.恰有一个是偶数 ) 【解析】 假设这两个数都是奇数,则这两个数的积也是奇数,这与已知矛盾,所以这 两个数至少有一个为偶数. 【答案】 C 教材整理 2 放缩法 阅读教材 P28~P29“习题”以上部分,完成下列问题. 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证 明的目的,我们把这种方法称为放缩法. 若|a-c|<h,|b-c|<h,则下列不等式一定成立的是( ) 【导学号:32750039】 A.|a-b|<2h B.|a-b|>2h 1 C.|a-b|<h D.|a-b|>h 【解析】 |a-b|=|(a-c)-(b-c)|≤|a-c|+|b-c|<2h. 【答案】 A [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 利用反证法证“至 多”“至少”型命题 已知 f(x)=x +px+q,求证: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=2; 1 (2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 【精彩点拨】 (1)把 f(1),f(2),f(3)代入函数 f(x)求值推算可得结论. (2)假设结论不成立,推出矛盾,得结论. 【自主解答】 (1)由于 f(x)=x +px+q, ∴f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. 1 (2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.(*) 2 又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)| ≥f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2, ∴|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2 与(*)矛盾,∴假设不成立. 1 故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 2 2 2 1.在证明中含有“至多”“至少”等字眼时,常使用反证法证明.在证明中出现自相 矛盾,说明假设不成立. 2.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件, 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾. [再练一题] 1.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d 中至多有 三个是非负数. 【证明】 a,b,c,d 中至多有三个是非负数,即至少有一个是负数,故有假设 a,b, c,d 都是非负数. 即 a≥0,b≥0,c≥0,d≥0, 则 1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd. 这与已知中 ac+bd>1 矛盾, ∴原假设错误, 故 a,b,c,d 中至少有一个是负数. 即 a,b,c,d 中至多有三个是非负数. 利用放缩法证明不等式 1 1 1 3 2 * 已知 an=2n ,n∈N ,求证:对一切正整数 n,有 + +…+ < . a1 a2 an 2 【精彩点拨】 针对不等式的特点,对其通项进行放缩、列项. 【自主解答】 ∵当 n≥2 时,an=2n >2n(n-1), 1 1 ∴ = 2< an 2n 2n 1 1? 1 - ? = ? ?, 2?n-1 n? 1 1 1 1 1 1 ∴ + +…+ <1+ + +…+ a1 a2 an 21×2 2×3 n 1 1 1? 1 1 1 - ? =1+ ?1- + - +…+ n-1 n? 2? 2 2 3 ? 1? 1? 3 1 3 =1+ ?1- ?= - < , 2? n? 2 2n 2 1 1 1 3 即 + +…+ < . a1 a2 an 2 1 1 2 n- 1 = · 2 n 1 n- n- 1.放缩法在不等式的证明中无处不在,主要是根据不等式的传递性进行变换. 3 2.放缩法技巧性较强,放大或缩小时注意要适当,必须目标明确,合情合理,恰到好 处,且不可放缩过大或过小,否则,会出现错误结论,达不到预期目的,谨慎地添或减是放 缩法的基本策略. [再练一题] 1 1 1 1 2.求证:1+ 2+ 2+…+ 2<2- (n≥2,n∈N+). 2 3 n n 【证明】 ∵k >k(k-1), 1 ∴ 2< 1 2 k k k- = 1 k-1 k 1 - (k∈N+,且 k≥2). 分别令 k=2,3,…,n 得 1 1 1 1 1 1 1 =1- , 2< = - ,…, 2< 2 1·2 2 3 2·3 2 3 1 n 2 < n 1 n- = 1 1 - . n-1 n 1 1 1 因此 1+ 2+ 2+…+ 2 2 3 n ? 1? ?1 1? ? 1 -1? <1+?1- ?+? - ?+…+? ? ? 2? ?2 3? ?n-1 n? 1 1 =1+1- =2- . n n 1 1 1 1 故不等式 1+ 2+ 2+…+ 2<2- (n≥2,n∈N+). 2 3 n n [探究共研型] 利用反证法证明不等式 探究 1 反证法的一般步骤是什么? 【提示】 证明的步骤是:(1)作出否定结论的

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