安徽省合肥市2014届高三第一次质量检测 数学理试题 Word版含答案

合肥市 2014 年第一次教学质量检测
数学(理)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? 3 ? 4i , z 表示复数 z 的共轭复数,则

z =( i



开 始 n=12, i=1

A. 5

B.5

C. 6
2

D.6
n 是 3 的倍数? 是 n=n ? 4

2.设集合 S ? {0, a}, T= {x ? ? | x ? 2}, 则“ a ? 1 ”是“ S ? T ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

( 否



n=4n+1

i=i+1

3.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的结果是( A.5 B.6 C.7 D.8
2 2

n>117? 是 输出 i 结 束



4.过坐标原点 O 作单位圆 x ? y ? 1的两条互相垂直的半径 OA、OB ,若 在该圆上存在一点 C ,使得 OC ? aOA ? bOB ( a、b ? R ) ,则以下说法正 确的是( ) B.点 P ? a, b ? 一定在单位圆上

????

??? ?

??? ?

A.点 P ? a , b ? 一定在单位圆内 C.点 P ? a , b ? 一定在单位圆外

D.当且仅当 ab ? 0 时,点 P ? a, b ? 在单位圆上

5.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于 A,B 两点,若 a 2 b2


线段 AB 的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为( A.

5 ?1 2

B.

10 2
2 2 ) 正视图 2 1
-1-

17 ? 1 C. 4

22 D. 4
侧视图

6. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积是 ( A. 18 ? 2 5 B. 24 ? 2 5

俯视图

1

C. 24 ? 4 5 7、已知函数 f ( x) ?

D. 36 ? 4 5

?
4

? sin x ?

?
4

? sin x ,则一定在函数 y ? f ( x) 图像上的点是(



A .

? x, f ( ? x ) ?

B .

? x, ? f ( x ) ?

C . ?

? ? ?? ? x, ? f ( x ? ) ? 4 ? ?4

D. ?

? ?? ? ? x, ? f ( ? x ) ? 4 ?4 ?
C 1 则 ?ABC 为 ( ? , 2 2
D. 钝角三角形 )

8. 在 ?ABC 中, 已知 2a cos B ? c , sin A sin B(2 ? cosC ) ? sin 2 A.等边三角形 B.等腰直角三角形

C.锐角非等边三角形

? x ?1 x y ? (a ? b ? 0) 的最大值为 1,则 a ? b 的最小值为 9.已知 x, y 满足 ? y ? 1 时, z ? ? a b ?x ? y ? 5 ?
( ) A.7 B.8 C.9 D.10

10. 对于函数 f ? x ? , 若 ? a, b, c ? R , f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 为某一三角形的三边长, 则称 f ? x ? 为“可构造三角形函数”.已知函数 f ? x ? ? 围是( A. )

ex ? t 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范 ex ? 1
D. ? , 2 ? 2

? 0, ?? ?

B. ? 0,1?

C. ?1, 2 ?

?1 ?

? ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若随机变量 ? ~ N (2, 1) ,且 P(? ? 3) =0.1587,则 P(? ? 1) ? __________. 12.已知数列 ?an ? 满足 an ?1 ? 2an (n ? N ? ) 且 a2 ? 1 ,则 log 2 a2014 ? .

13 . 若 ( x ? ) 展 开 式 的 各 项 系 数 绝 对 值 之 和 为 1024 , 则 展 开 式 中 x 项 的 系 数 为
n

3 x

_____________. 14. 某办公室共有 6 人, 组织出门旅行, 旅行车上的 6 个座位如图所示, 其中甲、乙两人的关系较为亲密,要求在同一排且相邻,则不同的安排 方法有 15. 已知直线: 种

sin? cos? x? y ? 1( a, b 为给定的正常数,? 为参数, a b

? ? [0,2? ) )构成的集合为 S,给出下列命题:
-2-

①当 ? ?

?
4

时, S 中直线的斜率为

b ; a

② S 中所有直线均经过一个定点; ③当 a ? b 时,存在某个定点,该定点到 S 中的所有直线的距离均相等; ④当 a > b 时, S 中的两条平行直线间的距离的最小值为 2b ; ⑤ S 中的所有直线可覆盖整个平面. 其中正确的是 (写出所有正确命题的编号) . 三、解答题:本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 cos(

?

(Ⅰ) sin 2? ; (Ⅱ) tan ? ?

? 1 ? ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? , ? ? ( , ), 求: 6 3 4 3 2
1 . tan ?

17. (本小题满分 12 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 底面 ABCD 是梯形, 且 AD=DC=CB= 中, EF //

1 AB. 直角梯形 ACEF 2

1 AC , ?FAC 是锐角,且平面 ACEF⊥平面 ABCD. 2
1 , 3

E

(Ⅰ)求证: BC ? AF ; (Ⅱ)若直线 DE 与平面 ACEF 所成的角的正切值是 试求 ?FAC 的余弦值.

F

D

C

A
18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 4, ( x ? R) 在 x ? 2 处取得极小值.
3 2

B

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的极小值是 ? 4 ,求 f ( x) ; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的极小值不小于 ? 6 ,问:是否存在实数 k,使得函数 f ( x) 在 ? k , k ? 3? 上 单调递减.若存在,求出 k 的范围;若不存在,说明理由.

-3-

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ,设左顶点为 A,上顶点为 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) a2 b2
y B A O F

B,且 OF ? FB ? AB ? BF ,如图. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 F (1, 0) ,过 F 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点, 试确定 FM ? FN 的取值范围.

x

20. (本小题满分 13 分) 某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检, 现将 9 个进口品牌奶粉的样品编号为 1, 2, 3, 4,…,9;6 个国产品牌奶粉的样品编号为 10,11,12,…,15,按进口品牌及国产品牌分层 进行分层抽样, 从其中抽取 5 个样品进行首轮检验, 用 P(i, j ) 表示编号为 i, j (1 ? i ? j ? 15) 的样品首轮同时被抽到的概率. (Ⅰ)求 P (1, 15) 的值; (Ⅱ)求所有的 P(i, j ) (1 ? i ? j ? 15) 的和.

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f n ( x) ? x ?

n , ( x >0, n ? 1, n ? Z ) ,以点 (n, f n (n)) 为切点作函数 y ? f n ( x) 图 x

像的切线 l n ,记函数 y ? f n ( x) 图像与三条直线 x ? n, x ? n ? 1, ln 所围成的区域面积为 a n 。

-4-

(Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)求证: a n <

1 ; 3n 2
5 . 9

(Ⅲ)设 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,求证: S n <

-5-

合肥市 2014 年第一次教学质量检测数学(理)
参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 C 8 B 9 D 10 D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.0.8413 12. 2012 13.-15 14.144 15.③④ 三、解答题:本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) 【答案解析】

? ? ? 1 ? 1 ? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? sin(2? ? ) ? ? , ……2 分 6 3 6 6 2 3 4 ? 1 ? ? ? 4? 即 sin(2? ? ) ? ? , 注 意 到 ? ? ( , ) , 故 2? ? , 从 而 ? (? , ) 3 2 3 2 3 3
(Ⅰ) cos(

?

c o 2? s ? (
……5 分

?
3

)??

3 , 2

? ? ? ? 1 ? sin 2? ? sin(2? ? ) cos ? cos(2? ? ) sin ? 3 3 3 3 2

2

……7 分 )


2

3 1 sin ? cos ? sin ? ? cos ? ?2 cos 2? … tan ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? 2 3 . 1 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin 2? 2 ? 7? 5? 5? 1 …12 分 ( 或 者 ? 2? ? ? , ? ? ?? ? sin 2? = sin 12 3 6 6 2 ?
cos 2? ? cos 5? 3 ?? 6 2

? tan ? ?

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos 2? 1 = =2 3) ? ? ? 1 sin ? cos? tan ? cos? sin ? sin 2? 2
1 AB,∴AD、 2 E

17.(12 分) 【答案解析】 (Ⅰ)证明:在等腰梯形 ABCD 中,∵AD=DC=CB=

BC 为腰,取 AB 得中点 H,连 CH,易知,四边形 ADCH 为菱形,则 CH=AH=BH, 故△ ACB 为直角三角形,? BC ? AC ,…3 分

F

? 平 面 AC EF? 平 面 ABCD, 且 平 面 ACEF ? 平 面 ABCD? AC ,

-6-

D M
A

C

B

? BC ? 平面 ACEF ,而 AF ? 平面 ACEF ,故 BC ? AF . ……6 分
(Ⅱ)连结 DH 交 AC 于 M D,再连结 EM、FM.易知四边形 ADCH 为菱形,∴DM⊥AC, 注意到平面 ACEF ? 平面 ABCD ,故 DM⊥平面 ACEF .于是,?DEM 即为直线 DE 与平 面 ACEF 所成的角.

……9 分 设 AD=DC=BC= a ,则 MD= 依题意, tan ?DEM ?

1 3 a a , MC ? 2 2

3 ? ME ? a 2 3 a MC 3 2 在 Rt?ECM 中, cos?EMC ? ? ? 3 ME 3 a 2 1 ∵ EF // AC =AM,?四边形 AMEF 为平行四边形 ? ME // AF 2

DM 1 ? EM 3

? ?F A C? ?E M C

? cos ?FAC ? cos ?EMC ?

3 3
2

………12 分

? f / ( 2) ? 0 18.(12 分) 【答案解析】 (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ,由 ? ? f ( 2) ? ?4
知?

? 12 ? 4a ? b ? 0 ? a ? ?2, ,解得 ? , ? b ? ?4 ?8 ? 4a ? 2b ? 4 ? ?4
3 2

……4 分

检验可知,满足题意. f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 4, ( x ? R) . 分 (Ⅱ)假设存在实数 k,使得函数 f ( x) 在 ? k , k ? 3? 上单调递减. 设 f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b =0 两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 x2 ? 2
2

……6

由 f ( x) ? 0 得 x ? ( x1 , x2 )
'

? f ( x) 的递减区间为 [ x1, x2 ]
2a ?2 3

由 x1 ? 2 ? ?

2a 3

解得 x1 ? ?

? f ( x) 的递减区间为 [?

2a ? 2, 2] 3
……10 分

? f / (2) ? 0 3 ? ?a ? ? , ? 由条件有 ? f (2) ? ?6 ,解得 ? 2 , ? ?x ? x ? 3 ? b ? ?6 ? 2 1
-7-

?函数 f ( x) 在 ?? 1,2? 上单调递减
由?

?k ? ?1 ? k ? ?1 ?? ? k ? ?1 ?k ? 3 ? 2 ? k ? ?1
……12 分

所以,存在实数 k ? ?1 ,满足题意。

19.(13 分) 【答案解析】 (Ⅰ)由已知, A(?a, 0) , B(0, b) , F (1,0) ,则
2 由 OF ? FB ? AB ? BF 得: b ? a ? 1 ? 0

∵ b ? a ?1
2 2

∴ a ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 ,
2

∴ a ? 4, b ? 3
2 2

所以椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1 4 3

……4 分

(Ⅱ)①若直线 l 斜率不存在,则 l : x ? 1 ,此时 M (1, ) , N (1,? ) , FM ? FN = ? ②若直线 l 斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则

3 2

3 2

9 ; 4

由 ? x2

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 消去 y 得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ?4
8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2

∴ x1 ? x 2 ?

∴ FM ? FN ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y 2 ) ? (1 ? k )[ x1 x2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1] =

?9 1 4? 1? k 2

1 1 ? 1 ∴3 ? 4 ? ?4 2 1? k 1? k 2 9 综上, FM ? FN 的取值范围为 [?3, ? ] . 4
∵k ? 0
2

∴0 ?

∴ ? 3 ? FM ? FN ? ? ……13 分

9 4

20.(13 分) 【答案解析】 (Ⅰ)由分层抽样可知:首轮检验从编号为 1,2,3,…,9 的洋品 牌奶粉的样品中抽取 3 个,从编号为 10,11,…,15 的国产品牌奶粉的样品中抽取 2 个,故
1 C82 C5 1 P(1, 15) = 3 ? 2 = . C9 C 6 9

……4 分
1 C7 1 2 = ,而这样的 P(i, j ) 有 C9 =36 个; 3 C9 12

(Ⅱ)①当 1 ? i ? j ? 9 时, P(i, j ) =

②当 10 ? i ? j ? 15 时, P(i, j ) =

1 1 2 ? ,而这样的 P(i, j ) 有 C6 =15 个; 2 C6 15

-8-

③当 1 ? i ? 9 ? j ? 15 时, P(i, j ) =

1 C82 C5 1 1 1 ? = ,而这样的 P(i, j ) 有 C9 ? C6 =54 个. 3 2 C9 C 6 9

所以,所有的 P(i, j ) (1 ? i ? j ? 25) 的和为

1 1 1 × 36+ × 15+ × 54=10. 9 12 15
21 . ( 13 分 ) 解 : (Ⅰ)易知 f
/ n

……13 分

( x) ? 1 ?

n , 切 点 为 (n, n ? 1) , 则 l n 方 程 为 x2

y ? (n ? 1) ? (1 ?

n )( x ? n) n2

即 ln : y ? (1 ? ) x ? 2
n?1 x n 1 n 1 1 ? (1 ? ) x ? 2]dx ? ? ( ? ? 2)dx = n ln(1 ? ) ? ?1 n n x n n x n 2n 1 2 1 3 (Ⅱ)构造函数 h( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x ? x , ( x ≥0) 2 3

1 n

∴ an ?

?

n?1

[x ?

则 h ( x) ?
/

1 ? x3 ?1 ? x ? x2 ? ?0 1? x 1? x

即函数 h( x) ? ln(1 ? x) ? x ?

1 2 1 3 ( x ≥0)单调递减,而 h(0) ? 0 x ? x , 2 3

∴ h( x) ? 0 ,等号在 x ? 0 时取得,

1 2 1 3 x ? x 成立 2 3 1 1 1 1 2 1 1 3 ∴知 ln(1 ? ) < ? ( ) ? ( ) n n 2 n 3 n 1 1 1 ∴ an = n ln(1 ? ) ? ?1 < 2 n 2n 3n 1 1 1 2 1 1 (Ⅲ) an < 2 < ? ? ?( ? ) 1 3n 3 n2 ? 3 2n ? 1 2n ? 1 4 1 5 ∴当 n ? 1时, Sn ? a1 = < ; 3 9
∴当 x >0 时, ln(1 ? x) < x ? 当 n ? 2 时, S n ?

?a
k ?1

n

k

n 1 2 1 1 1 1 1 1 ? a1 ? ? ak < ? ( ? ? ? ? ?? ? ? ) 3 3 3 5 5 7 2 n ? 1 2n ? 1 k ?2

?
方法二: (Ⅰ) (Ⅱ)同方法一; (Ⅲ)由(Ⅱ)知 a n <

5 5 2 1 < ? ? 9 3 2n ? 1 9

1 , 3n 2
-9-

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ?

1 1 1 1 ? ? ?L ? 2 2 2 2 3 ?1 3 ? 2 3 ? 3 3n 1 1 1 1 1 1 5 1 1 ? ( 2 ? 2 ? 2 ?L ? 2 ) ? ( ? 2 ?L ? 2 ) 3 1 2 3 n 3 4 3 n
1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 2 n n ? 1 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1
( n ? 3, n ? N )
?

Q

1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? [ ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? )] 3 4 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 n ?1 n ? 1 1 5 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 ? [ ? ( ? ? ? )] ? ? ( ? )? 3 4 2 2 3 n n ?1 9 6 n n ?1 9 1 5 1 1 5 5 又 S1 ? a1 ? ? , S2 ? a1 ? a2 ? ? ? ? , 2 3 9 3 3 ? 2 12 9 5 * ∴综上所述:对一切 n ? N ,都有 S n < 。 9

- 10 -


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