山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理试题_图文

试卷类型

高三年级质量检测

数学试题(理科)
2012.11 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. sin 585? 的值为 A.

2 2

B. ?

2 2

C.

3 2

D. ?

3 2

【答案】B 【解析】 sin 585 ? sin 225 ? sin(180 ? 45 ) ? ? sin 45 ? ?
? ? ? ? ?

2 ,选 B. 2

2.全集 U ? ?1,2,3,4,5,6?, M ? ?2,3,4 ?, N ? ? ? ,则 CU ? M ? N ? 等于 4,5 A. ?1,3,5? 【答案】D 【解析】 M ? N ? {2,3, 4,5} ,所以 ? (M ? N ) ? {1,6} ,选 D. U 3.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为 A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 【答案】D 【解析】全称命题的否定式特称命题,所以“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有 一个实数的平方不是正数”选 D. 4.已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 A. 7 【答案】C B. 10 C. 13 B. ?2, 4,6? C. ?1,5? D. ?1,6?

?

?

? ? ? ,那么 a ? 3b 等于 3

D.4

3 【解析】因为 a ? 3b ? a ? 3b ? 2a? b ,所以 a ? 3b ? 1 ? 9 ? 2 ? 3cos
? ? a ? 3b ? 13 ,选 C.

?

?2

?2

?2

? ?

?

?2

?
3

? 13 ,所以

5.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离

为 50m, ?ACB ? 45? , ?CAB ? 1050 ,则 A、B 两点的距离为 A. 50 3m B. 50 2m C. 25 2m

D.

25 2 m 2

【答案】B
? 0 【解析】因为 ?ACB ? 45 , ?CAB ? 105 ,所以 ?ABC ? 30 ,所以根据正弦定理可知,
?

AC AB 50 AB ? ? ,即 ,解得 AB ? 50 2m ,选 B. ? sin ABC sin ACB sin 30 sin 45?
6.已知 sin ? ? cos ? ? 2, ? ? ?0, ? ? ,则 tan ? 等于 A. ?1 【答案】A 【解析】由 sin ? ? cos ? ? 2 得,所以 以 B. ?

2 2

C.

2 2

D.1

? 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 ,即 sin(? ? ) ? 1 ,所 4 2 2


x?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z





x ? 2 k? ?

3? 3? ) ? tan ? ?1 ,选 A. 4 4 1 7.在等差数列 ?an ? 中, a9 ? a12 ? 6 ,则数列 ?an ? 的前 11 项和 S11 等于 2 tan ? ? tan(2k? ?
A.24 B.48 【答案】D 【 解 析 】 由 a9 ? C.66 D.132

3? ,k ?Z 4







S11 ?

11(a1 ? a11 ) ? 11a6 ,所以 S11 ? 11a6 ? 132 ,选 D. 2

1 a12 ? 6 得 2a9 ? a12 ? 12 , 即 a6 ? a 1 2? a 1 ? 12 , 所 以 a6 ? 12 . 又 2 2

8.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数: 则 f1 ? x ? ? 2log2 ? x ?1? , f2 ? x ? ? log2 ? x ? 2? , f3 ? x ? ? log2 x2 , f4 ? x ? ? log2 ? 2x ? , “同形” 函数是

A. f2 ? x ? 与 f4 ? x ? C. f1 ? x ? 与 f4 ? x ? 【答案】A

B. f1 ? x ? 与 f3 ? x ? D. f3 ? x ? 与 f4 ? x ?

【解析】因为 f 4 ( x) ? log2 (2 x) ? 1 ? log2 x ,所以 f 2 ( x) ? log2 ( x ? 2) ,沿着 x 轴先向右平移 两 个 单 位 得 到 y ? log 2 x 的 图 象 , 然 后 再 沿 着 y 轴 向 上 平 移 1 个 单 位 可 得 到

f4 ( x) ? log2 (2 x) ? 1 ? log2 x ,根据“同形”的定义可知选 A.

9.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6 下列向量的数量积中最大的是 A. PP ? PP 1 2 1 3 C. PP ? PP 1 2 1 5

???? ???? ? ?

B. PP ? PP 1 2 1 4 D. PP ? PP 1 2 1 6 】 设

???? ???? ? ? ???? ???? ? ?

???? ???? ? ?

【答案】A 【 解 析

















1





???? ???? ???? ???? ? ? ? ? 3 3 PP ?PP ? PP PP cos30? ? 23 ? 1 ? 3, 1 2 1 3 1 2 2 ???? ???? ? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? PP2 ?PP5 ? PP2 PP5 cos90? ? 0 , P P2 ?P P6 ? 1 1 1 1 1 1
的选 A.

???? ???? ???? ???? ? ? ? ? 1 PP2 ?PP4 ? PP2 PP4 cos 60? ? 2 ? ? 1 , 1 1 1 1 2 ???? ???? ? ? 1 P P2 P P6 cos120? ? ? ,所以数量积最大 1 1 2

x ?x 10.若函数 f ? x ? ? ka ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在( ?? ,?? )上既是奇函数又是增函数,则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是

【答案】C

1 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 k ? 1 ? 0 ,所以 k ? 1 , ax 1 1 x x 即 f ( x) ? a ? x ,又函数 y ? a , y ? ? x 在定义域上单调性相同,由函数是增函数可知 a a
【解析】 f ( x) ? ka ? a
x ?x

? ka x ?

a ? 1 ,所以函数 g ( x) ? loga ( x ? k ) ? loga ( x ? 1) ,选 C.
11.函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

? ?

??

? ? 的最小正周期是 ? ,若其图像向右平移 3 个 2?

单位后得到的函数为奇函数,则函数 f ? x ? 的图像 A.关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

B.关于直线 x ?

?
12

对称

C.关于点 ?

? 5? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

D.关于直线 x ?

5? 对称 12 2?

【答案】D 【解析】函数的最小周期是

? ,所以 T ?

? ? 2? ), 得到函数 f ( x) ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? 3 3 3 2? ? 2? ? k? , k ? Z ,所以 ? ? ? k? ,因为 ? ? ,所以 此时函数为奇函数,所以有 ? ? 3 2 3 2? ? ? ? ? ? k? ? ? ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) .由 2 x ? ? ? 2k? ,得对 当 k ? ?1 时, ? ?
f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,向右平移
3 3 3 5? 5? ? k? ,当 k ? 0 时,对称轴为 x ? 称轴为 x ? ,选 D. 12 12
3 2

?

?? , 所 以 ? ?2 , 所 以 函 数

12.已知函数 y ? f ? x ? 是定义在实数集 R 上的奇函数, 且当 x ? 0, f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 0(其中

? ? ? ? ,设 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数) a ? ? log 1 4 ? f ? log 1 4 ? , b ? 2 f ? 2 ? ? 2 ?
? 1? f ? 1g ? ,则 a,b,c 的大小关系是 ? 5?
A. c ? a ? b 【答案】C B. c ? b ? a C. a ? b ? c

? 2 ? , c ? ? lg 1 ? ? ? ? 5?

D. a ? c ? b

) 【 解 析 】 令 函 数 F ( x) ? xf ( x) , 则 函 数 F ( x)? x f( x 偶 函 数 . 当 x ? 0 时 , 为

F '( x) ? f ( x) ? xf '( x) ? 0



















a ? F (log 1 4) ? F (? log2 4) ? F (?2) ? F (2) , b ? F ( 2) ,
2

1 c ? F (lg ) ? F (? lg 5) ? F (lg 5) ,因为 0 ? lg5 ? 1 ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? c ,选 C. 5
二、 填空题: 本大题共 4 个小题, 每小题 4 分, 16 分.请把答案填在答题纸的相应位置上. 共 13.

?

2

0

(2 x ? e x )dx =___.___.
2

【答案】 5 ? e 【解析】

?

2

0

2 (2 x ? e x )dx ? ( x2 ? e x ) 0 ? 4 ? e2 ? 1 ? 5 ? e2 .

14.设数列?an ? 的前 n 项的和为 s n ,且 a1 ? 1, an?1 ? 3Sn ? n ? 1, 2, ???? ,则 log 2 S4 等于__._. 【答案】6 【解析】 因为 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 3Sn , 所以 Sn?1 ? 4Sn , 所以数列 {Sn } 是以 S1 ? a1 ? 1, q ? 4 为公比的等比数列,所以 S4 ? 43 ,所以 log2 S4 ? log2 43 ? 6 . 15.已知函数 f ? x ? ?

1 1 3 x ? sin x ? cos x 的图像在点 A? x0 , y0 ? 处的切线斜率为 1,则 2 4 4

tan x0 ? ___.___.
【答案】 ? 3



















f '( x) ?

1 1 3 ? cos x ? sin x 2 4 4





f '( x) ?


? 1 1 3 1 3 ? cos x0 ? sin x0 ? 1 得 ? cos x0 ? sin x0 ? 1 ,即 sin(x0 ? ) ? 1,所 6 2 4 4 2 2
?
6 ? 2 k? ?

x0 ?

?
2

,k ?Z

,



x0 ? 2k? ?

tan x0 ? tan(2k? ?

2? 2? ) ? tan ?? 3. 3 3
a b

2? ,k ?Z 3

.





16.已知实数 a,b 满足等式 2 ? 3 ,给出下列五个关系式中:① 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③

0 ? a ? b; ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 则所有可能成立的关系式的序号为___.___. ..

【答案】①②⑤ 【 解 析 】 在 同 一 坐 标 系 下 做 出 函 数 f ( x) ? 2x , g ( x) ? 3x 的 图 象 如 图 , 由 图 象 可 知 ,

①,②,⑤正确. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列, S 4 ? 若 且 的通项公式. 18.(本小题满分 12 分)

40 求数列 ?an ? 27

已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, m ? ? 3,sin A , n ? ? cos A,1? , 且m? n. (1)求角 A 的大小; (II)若 a ? 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b,c.

??

?

?

?

??

?

19.(本小题满分 12 分) 已知集合A 为函数 f ?x ? ? l 1 ?x ? l 1?? x g? ?g (I)若 A ? B ? ? x

? 的定义域,集合B ? ?x 1 ? a 2 ? 2ax ? x 2 ? 0? .

? 1 ? ? x ? 1? ,求 a 的值; ? 2 ?

(II)求证 a ? 2 是 A ? B ? ? 的充分不必要条件.

20.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3 ?? ? 0 ? ,直线 x ? x1 , x ? x2 是函数

y ? f ? x ? 的图像的任意两条对称轴,且 x1 ? x2 的最小值为
(I)求 ? 的值; (II)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (III)若 f ?? ? ?

? . 2

2 ?5 ? ,求 sin ? ? ? 4? ? 的值. 3 ?6 ?

21.(本小题满分 13 分) 如图,在 M 城周边已有两条公路 l1 , l2 在 O 点处交汇,现规划在公路 l1 , l2 上分别选择 P,Q 两处为交汇点(异于点 O)直接修建一条公路通过 M 城, 已知 OM ? 3

?

2 ? 6 km, ?POM ? 45?? MOQ=30°,

?

设 OP ? xkm, OQ ? ykm. (I)求 y 关于 x 的函数关系式并指出它的定义域; (II)试确定点 P、Q 的位置,使 ?POQ 的面积蛤小. 22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x, g ? x ? ?

a ? x ? 1? a ? 0 ? . x

(I)求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ? 0, e? 上的最小值; (II)对于正实数 m ,方程 2mf ? x ? ? x 有唯一实数根,求 m 的值.
2


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