2017届高中数学第一章-棱柱棱锥和棱台的结构特征课件_图文

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征

1.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,会画棱柱、棱锥、棱台. 2.认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征,并能运用这些特征描述现 实生活中简单物体的结构. 3.掌握棱柱、棱锥、棱台平行于底面的截面性质,并会在棱柱、 棱锥、棱台中进行简单运算.

1

2

3

4

1.多面体与截面 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;相邻两个面的公共边 叫做多面体的棱;棱和棱的公共点叫做多面体的顶点;连接不在同 一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线. 按围成多面体的面的个数分为:四面体、五面体、六面体…… (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在 这个平面的同一侧,则这样的多面体就叫做凸多面体. (3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内 部),叫做这个几何体的截面.

1

2

3

4

名师点拨 1.如果没有特别说明,我们今后所研究的多面体都是凸 多面体. 2.多面体最少有4个顶点,4个面和6条棱. 3.截面的形状与几何体的形状有关,也与截该几何体的这个平面 的位置有关.立体几何中的许多问题,往往是通过截面将空间问题 转化为平面问题进行解决.

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【做一做1】 长方体有 个面. 答案:4 4

条对角线,一个多面体至少有

1

2

3

4

2.棱柱 (1)棱柱的概念. 有两个面互相平行,而且夹在这两个平行平面间的每相邻的两个 面的交线都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱.棱柱中,两个 互相平行的面叫做棱柱的底面;其余各面叫做棱柱的侧面;两侧面 的公共边叫做棱柱的侧棱;底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱 的顶点;棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高. (2)棱柱的表示法. 用表示两底面的对应顶点的字母或者用 一条对角线端点的两个字母来表示. 如:下面的棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,也可表示 为棱柱AD1等.

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(3)棱柱的分类. 按底面多边形的边数分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 棱柱又分为斜棱柱和直棱柱. 侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱,侧棱与底面垂直的棱柱叫 做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱,底面是平行四边 形的棱柱叫做平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平 行六面体,底面是矩形的直平行六面体是长方体,棱长都相等的长 方体是正方体.

1

2

3

4

归纳总结 1.在四棱柱中,应掌握好以下关系:

用图示表示如下:

1

2

3

4

2.正棱柱的性质: (1)正棱柱的两个底面是全等的正多边形; (2)正棱柱的侧面是全等的矩形; (3)正棱柱的所有侧棱都相等; (4)与底面平行的截面是一个与底面全等的正多边形.

1

2

3

4

【做一做2-1】 四棱柱有( ) A.4条侧棱,4个顶点 B.8条侧棱,4个顶点 C.4条侧棱,8个顶点 D.6条侧棱,8个顶点 答案:C

1

2

3

4

【做一做2-2】 下列三种说法中,正确的个数为( ) ①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱; ②底面是正多边形的棱柱是正棱柱; ③棱柱的侧面都是平行四边形. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由直棱柱的定义,知①正确;由正棱柱的定义,知底面是正多 边形的直棱柱是正棱柱,故②错误;由棱柱的定义知其侧面都是平 行四边形,故③正确. 答案:C

1

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3.棱锥 (1)棱锥的概念. 有一个面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这 些面围成的几何体叫做棱锥.棱锥中有公共顶点的各三角形,叫做 棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻两侧面的公 共边叫做棱锥的侧棱;多边形叫做棱锥的底面;顶点到底面的距离, 叫做棱锥的高.

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(2)棱锥的表示法. 用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条 对角线端点的字母来表示.如上面的棱锥可表示为:棱锥S -ABCD或 棱锥S -AC. (3)棱锥的分类. 按底面多边形的边数分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥…… (4)正棱锥的概念. 如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面 垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的 等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高.

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知识拓展

1.只有正棱锥才有斜高,其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都 等长. 2.正棱锥中有几个重要的特征直角三角形,利用它们可以把许多 立体几何问题转化为平面几何问题解决.如图所示,在正棱锥中,点 O为底面中心,M是CD的中点,则△SOM,△SOC均是直角三角形,常 把一些量归结到这些直角三角形中去计算.很明显,△SMC,△OMC 也是直角三角形.

1

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4

【做一做3-1】 在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:D

1

2

3

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【做一做3-2】 正四棱锥S -ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻 的两条侧棱作截面SAC,如图,则截面的面积为 ( )

3 A. 2 2

B. 2

1 C. 2 2

1 D. 3 2

1

2

3

4

解析:由正棱锥的性质,知底面 ABCD 是正方形, 所以 AC= 2. 在等腰△SAC 中,SA=SC=a,AC= 2, 所以∠ASC=90°,即 S△SAC= 2 2. 故选 C.
答案:C
1

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3

4

4.棱台 (1)棱台的概念. 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台. 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;其他各面叫 做棱台的侧面;相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱;底面多边形 与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点;两底面间的距离叫做棱台的高.

1

2

3

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(2)棱台的表示法. 可用表示上、下底面各顶点的字母或者用一条对角线端点的两 个字母表示棱台.如上面的棱台可表示为:棱台ABCD -A1B1C1D1或 棱台AC'. (3)棱台的分类. 按底面多边形的边数分为:三棱台、四棱台、五棱台…… (4)正棱台的概念. 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的 等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做正棱台的斜高.

1

2

3

4

知识拓展 在正棱台中,有三个重要的直角梯形——两底面中心连 线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;两底面中心连线、侧 棱和两底面对角线的一半组成一个直角梯形;斜高、侧棱和上、下 两底面边长的一半组成一个直角梯形.正棱台的计算问题,常转化 为这几个直角梯形的计算问题.

1

2

3

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【做一做4】 棱台不具有的性质是( A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都平行 D.侧棱延长后都交于一点 答案:C

)

1

2

1.棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征比较 剖析:
棱柱 定 义 有两个面互相平行,其 余各面都是四边形,并 且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行 两底面是全等的多边 形 棱锥 有一个面为多 边形,其余各面 是有一个公共 顶点的三角形 多边形 三角形 相交于顶点 棱台 用一个平行于棱 锥底面的平面去 截棱锥,底面与截 面之间的部分 两底面是相似的 多边形 梯形 延长线交于一点

底 面 侧 平行四边形 面 侧 平行且相等 棱

1

2

棱柱 平行于底面 的截面 过不相邻两 侧棱的截面 与两底面是全 等的多边形 平行四边形

棱锥 与底面是相 似的多边形 三角形

棱台 与两底面是相 似的多边形 梯形

1

2

名师点拨

图① 1.在棱柱中,有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但不能 认为:“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体就是 棱柱”,这一说法是错误的.如图①是由两个三棱柱叠放在一起形成 的几何体,这个几何体不是棱柱.这是因为虽然上、下两个面平行, 但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内,所以多边形 ABB1B2A2A1不是一个平面图形,它更不是一个平行四边形,因此这 个几何体不是一个棱柱.所以棱柱的定义中强调“其余各面是四边 形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”.

1

2

图② 2.在棱锥中,有一个面是多边形,其余各面都是三角形.但不能 说:“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体就是棱锥”, 例如,在如图②的多面体中,有一个面是四边形ABCD,其余各面都是 三角形:△PAB,△PAD,△POD,△ODC,△POB,△OCB,因为这些三角 形没有公共的顶点,所以它不是棱锥.

1

2

图③ 3.棱台中有两个面互相平行,其余各面是梯形,但不能认为:“有两 个面互相平行,其余各面都是梯形的几何体就是棱台.”这是因为其 侧棱延长后不一定相交于一点,例如,如图③的几何体就不是棱台. 4.特别注意,棱柱中两个底面不一定就是上、下两个面,也可能是 左、右两个面或前、后两个面.

1

2

2.教材中的“思考与讨论” 如何判断一个多面体是棱台? 剖析:要判断一个多面体是不是棱台,首先看两个底面是否平行, 其次把侧棱延长后看是否相交于一点,这两条都满足的几何体才是 棱台.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型一

棱柱的概念及其结构特征

【例1】 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1.

(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体 还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,说明理 由.(提示:根据后面将要学习的线面平行的性质定理,可以证明 BC∥MN,且BC=MN)

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

分析:根据棱柱的定义及结构特征进行分析判断. 解:(1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱,且是四棱柱. 因为平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,且其余各面都是四边形,且 AA1,BB1,CC1,DD1互相平行. (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平 行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是四边形,并且每相邻两个 四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符 号表示为三棱柱BB1M-CC1N;另一部分有两个平行的平面ABMA1与 平面DCND1,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共 边互相平行,符合棱柱的定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱 柱ABMA1-DCND1.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 判断一个几何体是否是棱柱的关键是看该几何体是否满足 棱柱的概念,特别是看其是否存在两个互相平行的面.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练1】 下列几何体是棱柱的有(

)

A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解析:棱柱的结构特征有三个方面:有两个面互相平行;其余各面 是平行四边形;这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互 相平行.当一个几何体同时满足这三个方面的结构特征时,这个几 何体才是棱柱.很明显,几何体②④⑤⑥均不符合,仅有①③符合. 答案:D

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型二

棱锥的概念及结构特征

【例2】 判断下列说法是否正确?为什么? (1)棱锥的所有面可以全部是三角形; (2)三棱锥中任何一个顶点都可作为棱锥的顶点,任何一个面都可 作为棱锥的底面; (3)一个棱锥至少有四个面; (4)如果四棱锥的底面是正方形,那么其四条侧棱都相等; (5)棱锥被一个平面所截,一定得到一个棱锥和一个棱台; (6)正棱锥的侧面全是正三角形.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

分析:按照棱锥、正棱锥的定义及结构特征分析判断. 解:(1)正确.三棱锥的所有面都是三角形. (2)正确.三棱锥中每个顶点均可作为顶点,每个面均可作为棱锥 的底面. (3)正确.所有棱锥中,三棱锥面数最少,有四个面. (4)不正确.四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等,也可以不 相等. (5)不正确.只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时,才能截得 一个棱锥和一个棱台. (6)不正确.正棱锥的侧面一定是等腰三角形,但不一定是正三角 形.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 在判断这些命题的真假时,除结合相关的定义、性质外,还要 善于借助常见的模型进行判断分析,并会列举恰当的反例.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练2】 一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它 的三个侧面( ) A.必定都不是直角三角形 B.至多有一个直角三角形 C.至多有两个直角三角形 D.可能都是直角三角形 解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥A1-ABC的底面 ABC是直角三角形,三个侧面也都是直角三角形,故选D.

答案:D

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型三

棱台的概念及其结构特征

【例3】 在下列几何体中,是台体的是(

)

A.①② B.①③ C.③ D.②③ 分析:根据棱台的定义进行判断. 解析:①中各侧棱的延长线不能交于一点,不是台体;②中虽然侧 棱延长后能交于一点,但上底面不平行于下底面,不是台体;③中各 侧棱延长后交于一点且两底面互相平行,是棱台. 答案:C

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 在判断一个几何体是不是棱台时,一定要根据棱台的定义,看 其是否满足两个条件:一是观察其各侧棱延长后能否交于一点;二 是观察其两个底面是否平行.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练3】 下列描述中,是棱台的性质的是 . (填 序号) ①两底面平行;②侧面都是梯形;③侧棱都相等,且平行;④侧棱延 长后都交于一点;⑤底面不可能为三角形. 解析:棱台是由棱锥截得的,截面与底面平行,①正确;棱台的侧面 都是梯形,②正确;③错误;棱台侧棱延长后必交于一点,④正确;由三 棱锥截得的棱台为三棱台,其底面是三角形,⑤错误. 答案:①②④

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型四

有关柱、锥、台的计算问题

【例4】 正四棱台的上、下底面面积分别为4,16,一侧面面积为12, 分别求该棱台的斜高、高、侧棱长. 解:如图,设O',O分别为上、下底面的中心,即OO'为正四棱台的 高,E,F分别为B'C',BC的中点, 所以EF⊥BC,EF为斜高. 由上底面面积为4,上底面为正方形,可得B'C'=2; 同理,BC=4. 因为四边形BCC'B'的面积为12,

所以 × (2 + 4)· EF=12,所以 EF=4.

1 2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

过B'作B'H⊥BC交BC于点H, 则BH=BF-B'E=2-1=1,B'H=EF=4.

在 Rt△B'BH 中,BB'= 2 + ' 2 = 12 + 42 = 17. 同理,可计算出 O'O= 15. 综上,该正四棱台的斜高为 4,高为 15, 侧棱长为 17.
反思 本题由正四棱台的性质可知:上、下底面都是正方形,侧面是 全等的等腰梯形,即可得出上、下底边及斜高的长;再由两个直角 梯形便可计算出侧棱、高.故解题时应注意优先分析几何图形的关 系,减少盲目性.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练 4】 (1)在正三棱锥 V-ABC 中,若其底面边长为 8, 侧棱长为2 6, 则它的高等于 则该正四棱台的侧棱的长为
解析:(1)如图,设 O 是底面中心,则 D 为 BC 的中点, ∴△VAO 是直角三角形.

。 。

(2)若正四棱台两底面的面积分别为 4 和 16,其高为 3,

∵底面边长为 8,侧棱长为 2 6, ∴AO=
3 × 3

8=

8 3 . 3 8 3 3
2

∴VO= 2 -2 = (2 6)2 即高等于 3 .
2 6

= 3 ,

2 6

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

(2)作出正四棱台 ABCD-A1B1C1D1,如图,OO1 为棱台的高,其长 为 3.

连接 O1A1,OA,则四边形 O1A1AO 为直角梯形,由正四棱台两底 面的面积分别为 4 和 16,知 A1B1=2,AB=4, 则 A1O1= 则 A1A=
1 1 2

= 2, =

2

= 2 2, 作A1E⊥AO 于点 E,

在 Rt△A1AE 中,AE= 2, 1 = 1 = 3, 1 2 + 2 = 5, 即侧棱长为 5.
2 6

答案:(1) 3

(2) 5

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型五 立体图形的展开问题

【例5】 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4.M为AA1的中 点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路

线长为 29, 设这条最短路线与1 的交点为. 求点的位置.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

分析:把三棱柱的侧面展开后放在平面上,通过列方程来求出点P 到点C的距离,即确定了点P的位置. 解:把该三棱柱的侧面展开后如图所示.

设CP=x,则AP=3+x. 根据已知可得方程22+(3+x)2=29. 解得x=2(负值舍去). 则点P为BC的三等分点,且靠近点B.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

反思 解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题,一般都是将 空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间的线段长,这体现了 数学中的转化思想.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

【变式训练5】 如图,正三棱锥V-ABC的侧棱长为1,∠AVB=40°,E 和F分别是棱VB和VC上的点,求△AEF的周长的最小值.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解:如图,将三棱锥沿侧棱VA展开,将其侧面展开图平铺在一个平 面上,则线段AA1的长度即为△AEF周长的最小值.取AA1的中点D, 连接VD,则VD⊥AA1,∠AVD=60°,于是∠VAD=30°.

因为△VAD 为直角三角形, 所以 VD= 所以 AD=
1 2

=

1 . 2

1-

1 2 2

=

3 , 即AA1=2· AD= 2

3.

故△AEF 周长的最小值为 3.

1

2

3

4

5

1.在下列几何体中,属于棱台的是(

)

解析:选项A中的几何体四条侧棱延长后不相交于一点;选项B和选 项C中的几何体的截面不平行于底面;只有选项D中的几何体符合 棱台的定义与特征. 答案:D

1

2

3

4

5

2.下列命题中正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.在平行六面体中,任意两个相对的面均互相平行,但平行六面体的 任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 解析:由棱柱的结构特征进行判断. 答案:A

1

2

3

4

5

3.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的 中点,则EF的长是( )

A.2

B. 3

C. 5

D. 7

1

2

3

4

5

解析:如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则易得FG=2,EG=1,故

EF= 5.

答案:C

1

2

3

4

5

4.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分的几 何体是一个 . 解析:剩余的几何体是四棱锥A'-BCC'B'. 答案:四棱锥

1

2

3

4

5

5.正三棱锥底面面积为 4 , 侧棱长为 4, 求此三棱锥的斜高和高.

9 3

1

2

3

4

5

解:如图,设正三棱锥为S-ABC,O为底面△ABC的中心,D为BC边的中 点,连接OC,OD,SO,SD,

则斜高为 SD,高为 SO,正△ABC 所以 BC=3, 所以 CD=
3 , 2

9 3 的面积为 , 4

= 3, =

3 . 2

在 Rt△SOC 和 Rt△SOD 中, 得高 SO= 2 - 2 = 42 -( 3)2 = 13, 13 + 4 = 2 ,
3 55

斜高 SD= 2 + 2 =
55

即此正三棱锥的斜高为 2 , 高为 13.


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