2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第3节三角函数的图像与性质学案理北师大版

第三节 三角函数的图像与性质 [考纲传真] (教师用书独具)1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图像,了解三角 函数的周期性.2.理解正弦函数、 余弦函数在[0,2π ]上的性质(如单调性、 最大值和最小值、 ? π π? 图像与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间?- , ?内的单调性. ? 2 2? (对应学生用书第 51 页) [基础知识填充] 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ?π ? 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]图像的五个关键点是:(0,0),? ,1?,(π ,0), 2 ? ? ?3π ,-1?,(2π ,0). ? 2 ? ? ? ?π ? 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]图像的五个关键点是:(0,1),? ,0?,(π ,-1), ?2 ? ?3π ,0?,(2π ,1). ? 2 ? ? ? 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 图像 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] 递增区间: 递增区间: 单调性 [2kπ -π , 2kπ ], 递增区间 错误! R y=sin x y=cos x y=tan x 错误!,k∈Z,递减 k∈Z, 区间: 错误!,k∈Z 递减区间: ?kπ -π ,kπ +π ?, ? 2 2? ? ? [2kπ , 2kπ +π ], k∈Z k∈Z 奇偶性 奇函数 偶函数 对称中心 对称性 对称中心(kπ , 0), 奇函数 对称中心? k∈Z ?kπ +π ,0?, ? ? 2 ? ? k∈Z ?kπ ,0?, ? ? 2 ? k∈Z 1 π 对称轴 x=kπ + 2 (k∈Z) 周期性 2π 对称轴 x= kπ (k∈Z) 2π π [知识拓展] 1.若 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0),则 π (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ = +kπ (k∈Z); 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ =kπ (k∈Z). 2.f(x)=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0). π (1)f(x)为奇函数的充要条件:φ =kπ + ,k∈Z. 2 (2)f(x)为偶函数的充要条件:φ =kπ ,k∈Z. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.( (2)函数 y=sin x 的图像关于点(kπ ,0)(k∈Z)中心对称.( (3)正切函数 y=tan x 在定义域内是增函数.( ) ) ) ) (4)已知 y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( (5)y=sin |x|是偶函数.( ) (5)√ [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× π? ? 2.(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)=sin?2x+ ?的最小正周期为( 3? ? A.4π C.π C B.2π π D. 2 ) π? 2π ? [函数 f(x)=sin?2x+ ?的最小正周期 T= =π .故选 C.] 3 2 ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.函数 y=tan 2x 的定义域是( ? ? π ? A.?x?x≠kπ + ,k∈Z 4 ? ? ? B.?x?x≠ ? ? ? ? ? ? kπ π + ,k∈Z 2 8 ? ? ? π C.?x?x≠kπ + ,k∈Z 8 ? ? ? D.?x?x≠ ? ? ? ? ? ? kπ π + ,k∈Z 2 4 2 D π kπ π [由 2x≠kπ + ,k∈Z,得 x≠ + ,k∈Z, 2 2 4 ? ? ? ? 所以 y=tan 2x 的定义域为?x?x≠ ? ? kπ π + ,k∈Z 2 4 ? ? ?.] ? ? ?1 π ? 4.函数 y=sin? x+ ?,x∈[-2π ,2π ]的单调递增区间是( 3? ?2 5π ? ? A.?-2π ,- ? 3 ? ? ) 5π ? ?π ? ? B.?-2π ,- ?和? ,2π ? 3 ? ?3 ? ? ? 5π π ? C.?- , ? 3? ? 3 C ?π ? D.? ,2π ? ?3 ? π π? 1 π ? [令 z= x+ ,函数 y=sin z 的单调递增区间为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z),由 2 2? 2 3 ? π 1 π π 5π π 2kπ - ≤ x+ ≤2kπ + 得 4kπ - ≤x≤4kπ + ,而 x∈[-2π ,2π ],故其 2 2 3 2 3 3 ? 5π π ? 单调递增区间是?- , ?,故选 C.] 3? ? 3 π? ? ? π? 5.(教材改编)函数 f(x)=sin?2x- ?在区间?0, ?上的最小值为________. 4? 2? ? ? - 2 2 π ? π 3π ? ? π? [由已知 x∈?0, ?,得 2x- ∈?- , ?, 2? 4 ? 4 ? 4 ? π? ? π? 2 ? ? ? ? π? 所以 sin?2x- ?∈?- ,1?,故函数 f(x)=sin?2x- ?在区间?0, ?上的最小 4? ? 2 4? 2? ? ? ? ? 值为- 2 .] 2 (对应学生用书第 52 页) 三角函数的定义域与值域 ?π ? (1)(2016·全国卷Ⅱ)函数 f(x)=cos 2x+6cos? -x?的最大值为( ?2 ? A.4 C.6 (2)函数 y=lg sin x+ (1)B B.5 D.7 1 cos x- 的定义域为________. 2 ) ? ? π ?π ? (2)?x|2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z? [(1)∵f(x)=cos 2x+6cos? -x

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