河北省武邑中学高一下学期周考(4.24)数学试题 Word版含答案

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一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项
是符合题目要求的.
1.如图(1),(2),(3),(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依 次分别为( )

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 2.下列说法正确的是( )

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.两个平面有不在同意条直线上的三个交点

3.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,直线 BC1 与直线 AC 关系( )

A.相交且垂直

B.相交但不垂直

C.异面且垂直

D.异面但不垂直

4.如图,直三棱柱 ABC ? A'B'C' 的体积为V ,点 P,Q 分别在侧棱 AA' 和 CC' 上,

AP ? C 'Q ,则四棱锥 B ? APQC 的体积为( )

A. V 2

B. V 2

C. V D. V

2

2

5.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B,C, D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,

直线 BD 与平面 ABC 所成角的大小为( )

A. 90?

B. 60? C. 45?

D. 30?

6. a,b, c 表示直线, M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a M ,b M , 则 a b ;②若

b ? M , a b ,则 a M ;③若 a ? c,b ? c ,则 a b ;④若 a ? M ,b ? M ,则 a b .

其中正确命题的个数有( )

A.0

B.1

C. 2 D.3

7.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 DD1 的中点, O 为底面 ABCD 的中心, P 为棱

A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( )

A. ? 6

B. ? 4

C. ? 3

D. ? 2

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )

A.8 ? 2 2

B.11? 2 2

C.14 ? 2 2

D.15

10.若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面? 内,l2 在平面 ? 内,l 是平面? 与平面 ? 的交线,
则下列命题正确的是( )

A. l 至少与 l1 , l2 的一条相交 B. l 与 l1 , l2 都相交

C. l 至多与 l1 , l2 的一条相交

D. l 与 l1 , l2 都不相交

11.面积为 3 3 的正六边形的六个顶点都在球 O 的球面上,球心 O 到正六边形所在平面的 2

距离为 2 2 ,记球 O 的体积为V ,球 O 的表面积为 S ,则 V 的值是( ) S

A.2 B.1 C. 3

D. 2

12.在三棱锥 P ? ABC 中,已知 PA ?底面 ABC ,AB ? BC ,E, F 分别是线段 PB, PC 上
的动点,则下列说法错误的是( )

A.当 AE ? PB 时, ?AEF 一定是直角三角形 B.当 AE ? PC 时, ?AEF 一定是直角三角形 C.当 EF 平面 ABC 时, ?AEF 一定是直角三角形 D.当 PC 平面 AEF 时, ?AEF 一定是直角三角形
第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其底角为 45?,腰和上底

均为 1,如图,则平面图形的实际面积为

.

14.如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 1, AA1 ? 2 ,点 P 是平面 A1B1C1D1 内的一

个动点,则三棱锥 P ? ABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为

.

15.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P1, P2 分别是线段 AB, BD1(不包括端点)

上的动点,且线段 P1P2 平行于平面 A1ADD1 ,则四面体 P1P2 AB1 的体积的最大值



.

16.从 P 点出发的三条射线 PA, PB, PC 两两所成的角为 60? ,且分别与球 O 相切于点

A, B,C ,若球 O 的表面积为 32? ,则 OP 的长为

.

三、解答题 (本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)

17.如图 1,在 Rt ?ABC 中,?C ? 90?, D, E 分别为 AC, AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的

一点,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1DE 的位置,使 A1F ? CD ,如图 2.

(1)求证: DE 平面 A1CB ;

(2)求证: A1F ? BE .

18.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC ? CA ? AA1 ? 2 ,侧棱 AA1 ? 平面 ABC ,且

D,

E

分别是棱

A1B1,

AA1 的中点,点

F

在棱

AB

上,且

AF

?

1 4

AB

.

(1)求证: EF 平面 BDC1 ;

(2)球三棱锥 D ? BEC1 的体积.

19.如图,三棱锥 P ? ABC 中, PA ?平面 ABC , PA ? 1, AB ? 1, AC ? 2,?BAC ? 60? . (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M ,使得 AC ? BM ,并求 PM 的值.
MC
20.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四
个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 P ? ABCD ,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,连接 DE, BD, BE .

(1)证明: DE ?平面 PBC ,试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的
直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;

(2)记阳马

P

?

ABCD

的体积为V1

,四面体

EBCD

的体积为

V2

,求

V1 V2

CCDBC BD

高一数学周日测试(17)答案

8.B【解析】由题意知,该等腰直角三角形的斜边长为 2 2 ,斜边上的高为 2 ,所得旋转

? ? 体为同底等高的全等圆锥,所以其体积为 1 ? ?

2
2 ?2

2?4

2 ,故选 B.

3

3

10.A【解析】若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面? ,l2 在平面 ? 内,l 是平面? 与平面 ? 的交线,则 l 至少与 l1 , l2 的一条相交,故选 A.

11.B 试题分析:设正六边形的边长为 a ,则 3 a2 ? 6 ? 3 3 ? a ? 1,?球 O 的半径

4

2

? ? r ?

12 ? 2

2
2 ?3

?V S

?

4 ? r3 3 4? r2

?

r 3

? 1,故选 B.

12.B【解析】 PA ?底面 ABC ,则 PA ? BC ,又 AB ? BC ,则 BC ? 平面 PAB

(1)当 AE ? PB 时, BC ? AE ,则 AE ? 平面 PBC, AE ? EF ,A 正确;

(2)当 EF 平面 ABC ,又 EF ?平面 PBC ,平面 PBC ?平面 ABC ? BC ,则 EF BC ,

故 EF ? 平面 PAB , AE ? EF ,故 C 正确;

(3)当 PC ? 平面 AEF 时,PC ? AE ,又 BC ?AE ,则 AE ? 平面 PBC ,AE ? EF ,

故 D 正确;用排除法可选 B.

13. 2 ? 2

14. 2

15. 1 24

16. 2 6 【解析】因为正方体共顶点的三个面的共点对角线恰好两两成 60? ,故题设中的球

可以看成一个与正方体各个面均相切的球,此时,球 O 的直径为正方体的棱长,线段 PA 的 长为该正方体对角线的 1 ,由条件知球 O 的半径 r ? 2 2 ,所以正方体棱长为 4 2 ,所以
2 PA ? 4 ,在 Rt?OPA 中, OP ? OA2 ? PA2 ? 2 6 .

17.解:(1)因为 D, E 分别为 AC, AB 的中点,所以 DE BC ,

又因为 DE ? 面 A1CB ,所以 DE 面 A1CB ; (2)由已知得 AC ? BC 且 DE BC ,所以 DE ? AC

所以 DE ? A1D, DE ? CD

所以 DE ?平面 A1DC ,而 A1F ? 平面 A1DC

所以 DE ? A1F ,又因为 A1F ? CD ,

所以 A1F ? 平面 BCDE ,所以 A1F ? BE .

18.(1)设 O 为 AB 的中点,连接 A1O,

AF ? 1 AB,O 为 AB 的中点,?F 为 AO 的中点, 4

又 E 为 AA1 的中点,? EF A1O ,又 D 为 A1B1 的中点,O 为 AB 的中点,? A1D ? OB ,

又 A1D OB,?四边形 A1DBO 为平行四边形,? A1O BD ,又 EF AO1 ,E?F BD ,

又 EF ? 平面 DBC1, BD ? 平面 DBC1 ,? EF 平面 DBC1 ;

(2)

AB

?

BC

?

CA

?

AA1

?

2



D,

E

分别为

A1B1,

AA1

的中点,

AF

?

1 4

AB,?C1D

?

平面 ABB1A1

V 而 D?BEC1 ? VC1?BDE ,

1

1

1

3

S?BDE

?

S ABA1B1

? S?ABE

? S?A1DE

?

2?2?

? 2?1? 2

? 2?1? 2

?1?1 ? 2

2

C1D ?

1

13

3,?VD?BEC1

? VC1?BDE

?

3 S?BDE

? C1D

?

?? 32

3? 3. 2

19.【解析】(1)由题设

AB

? 1,

AC

?

2, ?BAC

?

60? ,可得 S?ABC

?

1 2

AB ?

AC sin 60?

?

3 2

由 PA ?面 ABC ,可知 PA 是三棱锥 P ? ABC 的高,又 PA ?1,所以三棱锥 P ? ABC 的

体积V

?

1 3

?

S?ABC

? PA

?

3; 6

(2)证:在平面 ABC 内,过点 B 作 BN ? AC ,垂足为 N ,过 N 作 MN PA 交 PC 于 M ,

连接 BM .

由 PA ?面 ABC 知 PA ? AC ,所以 MN ? AC ,由于 BN ? MN ? N ,故 AC ?面 MBN

又 BN ? 面 MBN ,所以 AC ? BM

在直角 ?BAN 中, AN ? AB ? cos ?BAC ? 1 ,从而 NC ? AC ? AN ? 3 ,由 MN

2

2

得 PM ? AN ? 1 . MC NC 3

PA ,

20.【解析】(1)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC ,由底面 ABCD 为长方形,有

BC ? CD ,而 PD ?CD D? ,所以 BC ? 平面 PCD, DE ? 平面 PCD ,所以 BC ? DE ,

又因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC ,而 PC ?BC ?C ,所以 DE ?平 面 PBC .由 BC ? 平面 PCD , DE ?平面 PBC 可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直

角分别是 ?BCD,?BCE,?DEC,?DEB ;

(2)由已知,

PD

是阳马

P

?

ABCD

的高,所以V1

?

1 3

S ABCD

?

PD

?

1 3

BC

?

CD

?

PD

;由

(1)知: DE

是鳖臑

D

?

BCE

的高,BC

?

CE

,所以V2

?

1 3

SBCE

?

DE

?

1 6

BC

? CE

?

DE

在 Rt?PDC 中,因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DC ? CE ? 2 CD ,于是 2

V1

?

1 BC ?CD ? PD 3

?

2CD ? PD

?4

V2 1 BC ?CE ? DE CE ? DE

6


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