汉寿一中2013年上学期高二期中考 试数学(理)试题卷

汉寿一中 2013 年上学期高二期中考 试数学 (理)试题卷
时间:120 分钟 分值:150 分
) D.i
2

命题人:王建辉

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 2 3 1、i 是虚数单位,计算 i+i +i =( A .-1 B.1 C.-i

2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒
3 2

) C. 5 米/秒 ) D. 8 米/秒
[来源:学,科,网][来源:Z,xx,k.Com]

B. 6 米/秒
'

3. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3
' '

4. f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x) , g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) , 则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0 5.函数 y ? 4 x ?
2

) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 )

1 单调递增区间是( x
B. (??,1)
n

A. (0,??)

C. ( ,?? )

1 2

D. (1,??)

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

6.二项式(a +2b) 展开式中的第二项系数是 8 ,则它的第三项的二项式系数为 ( A.24 B.18
3 2

).

C.16

D.6

7.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的 取值范围是( )

( A. ??,? 3 ] ? [ 3,??)
源:学。科。网 Z。X。X。K]

[? B. 3, 3 ]

( C. ??,? 3 ) ? ( 3 ,??)
'

(? 3, 3 ) D.


[来

8.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ( x) ? 0 ,则必有( A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 2 2 9.方 程(2x -3x-2)+(x -5x+6)i=0 的实数解 x=________. 10.从 1 ? 1 ,2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 中得出的一般性结论是_____________。
2 2 2

11.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为 12、由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为 13. 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者, 从 若选出的 4 人中既有男生又有女生, 则不同的选法共有________种. 14.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a , 在 x ? 1时有极值 10 ,那么 a, b 的值分别为_______
3 2 2
2 3

1 15.设 f(x)= x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公 式的方法,可求得 f(-5)+f(- 2+ 2 4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为________. 三、解答题(共 6 小题,75 分) 16. (本小题满分 12 分) 求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3x ? 5 相切的直线方程。
3 2

17、 (本小题满分 12 分)

?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证:

1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c

18. (本小题满分 12 分) 已知 函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R. (1)若 a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.

19. (本小题满分 13 分) 设函数 f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为 ,求 a 的值. 2 1 1 1 1 n-2 20. (本小题满分 13 分)求证: + + +…+ n-1> (n≥2). 2 3 4 2 2 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=-1 与 x=2 处都取得极值. (1)求 a,b 的值及函数 f(x)的单调区间;
3 2

3 2 (2)若对 x∈[-2,3],不等式 f(x)+ c<c 恒成立,求 c 的取值范围. 2

参 考 答 案:
一、选择题 二、填空题 ACDBCDBC 2, n+n+1+n+2+……+3n-2=(2n-1)2 1/12, 3 2
3 2 ' 2

1/e,y=x/e, 4,-11,

34,

16.解:设切点为 P(a, b) ,函数 y ? x ? 3x ? 5 的导数为 y ? 3x ? 6 x 切线的斜率 k ? y |x ? a ? 3a ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x ? 3x ? 5
' 2

3

2

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。

17.证明:要证原式,只要证

a?b?c a?b?c c a ? ? 3,即 ? ?1 a?b b?c a?b b?c

即只要证

bc ? c 2 ? a 2 ? ab ? 1, 而 A ? C ? 2B, B ? 600 , b2 ? a 2 ? c 2 ? ac 2 ab ? b ? ac ? bc

?
18、

bc ? c 2 ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab ? ? ?1 ab ? b 2 ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? bc

(1)证明:∵a+b≥0,∴a≥-b. 由已知 f (x)的单调性得 f(a)≥f(-b). 又 a+b≥0? b≥-a? f(b)≥f(-a). 两式相加即得:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). (2)逆命题:

f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)? a+b≥0.
下面用反证法证之. 假设 a+b<0,那么:

a+b<0? a<-b? f(a)<f(-b) a+b<0? b<-a? f(b)<f(-a)
? f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 这与已知矛盾,故只有 a+b≥0.逆命题得证

19、解 函数 f(x)的定义域为(0,2),

f′(x)= - +a. x 2-x
(1)当 a=1 时,f′(x)= -x +2 , x? 2-x?
2

1

1

所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2), 单调递减区 间为( 2,2). (2)当 x∈(0,1]时,f′(x)= 2-2x +a>0, x? 2-x?

1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a= . 2

20、[解析]

1 [证明] ①当 n=2 时, 左= >0=右, 2

∴不等式成立. ②假设当 n=k(k≥2,k∈N )时,不等式成立. 1 1 1 k-2 即 + +…+ k-1> 成立. 2 3 2 2 1 1 1 那么 n=k+1 时, + +…+ k-1 2 3 2 + > 1 1 +…+ k-1 k-1 2 +1 2 +2
k-1
*

k-2
2 2

1 1 k-2 1 1 1 + k-1 +…+ k> + k+ k+…+ k 2 +1 2 2 2 2 2 + 2
k



k-2 2k-1 (k+1)-2
= 2



∴当 n=k+1 时,不等式成 立. 据①②可知,不等式对一切 n∈N*且 n≥2 时成立 21、解 (1)f′(x)=3x +2ax+b,由题意得
?f′? ? ? ? ?f′?
2

-1? =0, 2? =0,

?3-2a+b=0, ? 即? ? ?12+4a+b=0,

?a=-3, ? 2 解得? ?b=-6. ?

[来源:Z.xx.k.Com]

3 2 3 2 ∴f(x)=x - x -6x+c,f′(x)=3x -3x-6. 2 令 f′(x)<0,解得-1<x<2;

令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>2. ∴f(x)的减区间为(-1,2), 增区间为(-∞,-1),(2,+∞ ). (2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1)上单调递增; 在(-1,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递增. ∴x∈[-2,3]时,f(x)的最大值即为

f(-1)与 f(3)中的较大者. f(-1)= +c,f(3)=- +c.
∴当 x=-1 时,f(x)取得最大值. 3 3 2 2 要使 f(x)+ c<c ,只需 c >f(-1)+ c, 2 2 7 2 即 2c >7+5c,解得 c<-1 或 c> . 2 7 2 9 2

?7 ? ∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪? ,+∞?. ?2 ?


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