江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷

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江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试数学试卷
A. 必做题部分 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上 . ......... 1.已知集合 M={-1,1}, N ? {x |1 ≤ 2x ≤ 4} ,则 M ? N ? ▲ .

2.已知射手甲射击一次,命中 9 环以上(含 9 环)的概率为 0.5,命中 8 环的概率为 0.2,命中 7 环 的概率为 0.1,则甲射击一次,命中 6 环以下(含 6 环) 的概率为 ▲ . ▲ .
S ?0 For I from 1 to 10 S?S?I End for Print S End

3.设 (1 ? 2i) z ? 3 ? 4i (i 为虚数单位) ,则 | z |? 4.根据右图的算法,输出的结果是 ▲ .

5.某校对全校 1200 名男女学生进行健康调查,选用分层抽样法

(第 4 题) 人.

抽取一个容量为 200 的样本.已知女生抽了 85 人,则该校的男生数应是 ▲ 6.若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为 ▲ .

7.设 a,b 为空间的两条直线,α,β 为空间的两个平面,给出下列命题: (1)若 a∥α,a∥β,则 α∥β; (2)若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β; (3)若 a∥α,b∥α,则 a∥b; (4)若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b. 上述命题中,所有真命题的序号是 8.双曲线 ▲ . ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到它的右焦点的距离是 3,则点 M 的横坐标是 4 12

2 , f ? ? ? ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值等于 9.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 3 cos ? x ? x ? R ? ,又 f (?) ? ?

π ,则正 2

数 ? 的值为 ▲ . 10.若圆 C: ( x ? h)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 在不等式 x ? y ? 1≥ 0 所表示的平面区域内,则 h 的最小值 为 ▲ .

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,-1) ,B(-3,-4)两点,若点 C 在 ?AOB 的平分线

???? ? 上,且 OC ? 10 ,则点 C 的坐标是





1 12.已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? a ? 1 ,若 f ?( x) ? 0 在(1,3]上有解,则实数 a 的取值范 3
围为 ▲ .

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1 13.已知 f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( ) x ? m ,若对 ? x1 ? ? ?1,3? , ? x2 ? ?0, 2? , f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,则实数 m 的取 2
值范围是 ▲ . ▲ .

14.已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,则该三角形的面积的最大值是

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2. (1)求 a· b 的值; (2)求|a+b|的值.

16. (本题满分 14 分) 如图,已知□ABCD,直线 BC⊥平面 ABE,F 为 CE 的中点. (1)求证:直线 AE∥平面 BDF; (2)若 ?AEB ? 90? ,求证:平面 BDF⊥平面 BCE. (第 16 题) 17. (本题满分 15 分) 如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段 FBC,该曲线 段是函数 y ? A sin(? x ?

2π ) 3

。 ? A ? 0, ? ? 0? ,x ? ? ?4,0? 时的图象,且图象的最高点为 B(-1,2)

赛道的中间部分为长 3 千米的直线跑道 CD,且 CD// EF。赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段
? . 圆弧 DE

(1)求 ? 的值和 ?DOE 的大小; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形 草坪”, 矩形的一边在道路 EF 上, 一个顶点在半径 OD 上,
? 上,且 ?POE ? ? ,求当“矩形 另外一个顶点 P 在圆弧 DE

草坪”的面积取最大值时 ? 的值.

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18. (本题满分 15 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A、B,右焦点为 F,直线 l 为椭圆的右准线, 16 12

N 为 l 上一动点,且在 x 轴上方,直线 AN 与椭圆交于点 M. (1)若 AM=MN,求∠AMB 的余弦值; (2)设过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,当 线段 PQ 的中点坐标为(0,9)时,求这个圆的方程. (第 18 题) 19. (本题满分 16 分) 设 f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,函数 g ( x) 与 f ( x) 的图象关于 y 轴对称,且当 x ? (0,1] 时,
g ( x) ? ln x ? ax2 .

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若对于区间 ? 0,1? 上任意的 x ,都有 | f ( x) |? 1 成立,求实数 a 的取值范围.

20. (本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 为各项均为正的等比数列,其公比为 q. (1)当 q=

3 时,在数列 ?an ? 中: 2

①最多有几项在 1~100 之间? ②最多有几项是 1~100 之间的整数? (2)当 q>1 时,在数列 ?an ? 中,最多有几项是 100~1000 之间的整数? (参考数据:lg3=0.477,lg2=0.301) .

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B.附加题部分 21. 【选做题】 本题包括 A, B, C, D 共 4 小题, 请从这 4 题中选做 2 小题。 每小题 10 分, 共 20 分. 请 在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 锐角三角形 ABC 内接于⊙O, ∠ABC=60?, ∠BAC=40?, 作 OE⊥AB
AB 于点 E,连接 EC,求∠OEC. 交劣弧 ?

B.选修 4-2:矩阵与变换
?1 2 ? 曲线 C1 : x 2 ? 2 y 2 ? 1 在矩阵 M ? ? ? 的作用下变换为曲线 C2 , ?0 1 ?

(第 21-A 题)

求 C2 的方程. C.选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? 1 ? cos ? ? x ? 1 ? 2t P 为曲线 C1 : ? ( ? 为参数)上一点,求它到直线 C2 : ? ( t 为参数)距离 y ? sin ? ? ?y ? 2

的最小值. D.选修 4-5:不等式选讲
1 2 n 设 n ? N* ,求证: Cn ? Cn ? ? ? Cn ≤ n(2n ? 1) .

22. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 用数学归纳法证明:

1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ?

n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) (n ? N* ) . 4

23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 某车站每天上午发出两班客车,第一班客车在 8∶00,8∶20,8∶40 这三个时刻随机发出,且在 1 1 1 8∶00 发出的概率为 ,8∶20 发出的概率为 ,8∶40 发出的概率为 ;第二班客车在 9∶00,9∶ 4 2 4

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1 1 20,9∶40 这三个时刻随机发出,且在 9∶00 发出的概率为 ,9∶20 发出的概率为 ,9∶40 发出 4 2 1 的概率为 .两班客车发出时刻是相互独立的,一位旅客预计 8∶10 到站.求: 4 (1)请预测旅客乘到第一班客车的概率; (2)旅客候车时间的分布列; (3)旅客候车时间的数学期望.

南通市 2011 届高三第一次调研测试

数学参考答案
A. 必做题部分 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.{1} 8. 2.0.2 3. z ? 5 9.1 13. m ≥ 4.55 10. 2 ? 2 5.690 6. ?1 7. (2) , (4)

5 2

11. C ? ?1, ?3?

12. ?7 ≤ a ? 1

1 4

14.2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本题满分 14 分) 解: (1)由|a-b|=2,得|a-b| 2 ? a 2 ? 2a· b ? b 2 ? 4 ? 1 ? 2 a· b ? 4 ,∴ a· b?

1 .?????7 分 2

1 (2)|a+b| 2 ? a 2 ?2 a· b ? b 2 ? 4 ? 2 ? ? 1 ? 6 ,∴ |a+b| ? 6 . 2

?????????14 分

16. (本题满分 14 分) 证明: (1)设 AC∩BD=G,连接 FG. 由四边形 ABCD 为平行四边形,得 G 是 AC 的中点. 又∵F 是 EC 中点,∴在△ACE 中,FG∥AE.?????????????????3 分 ∵AE ? ? 平面 BFD,FG? 平面 BFD,∴AE∥平面 BFD; ???????????6 分

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(2)∵ ?AEB ?

π ,∴ AE ? BE . 2

又∵直线 BC⊥平面 ABE,∴ AE ? BC . 又 BC ? BE ? B ,∴直线 AE ? 平面 BCE . 由(1)知,FG∥AE,∴直线 FG ? 平面 BCE . ????????????????8 分 ???????????????10 分

又直线 FG ? 平面 DBF,∴平面 DBF⊥平面 BCE. ???????????????14 分 17. (本题满分 15 分) 解: (1)由条件,得 A ? 2 , ∵T ?

T ? 3 . ???????????????????????2 分 4



?

,∴ ? ?

π .??????????????????????????4 分 6

π 2π ∴ 曲线段 FBC 的解析式为 y ? 2sin( x ? ) . 6 3 π π 当 x=0 时, y ? OC ? 3 .又 CD= 3 ,∴ ?COD ? ,即?DOE ? .?????7 分 4 4
(2)由(1) ,可知 OD ? 6 . 又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点 P 在弧 DE 上,故 OP ? 6 .?????8 分

π 设 ?POE ? ? , 0 ? ? ≤ ,“矩形草坪”的面积为 4
S ? 6 sin ?

?

6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ?

?

1 1 1 π = 6( sin 2? ? cos 2? ? ) ? 3 2 sin(2? ? ) ? 3 .?????????????13 分 2 2 2 4
π π π π ∵ 0 ? ? ≤ ,故 当2? ? ? 时,? = 时,S 取得最大值.?????????15 分 4 4 2 8
18. (本题满分 15 分) 解: (1)由已知, A(?4,0), B(4,0), F (2,0) ,直线 l 的方程为x ? 8 . 设 N(8,t) (t>0) ,因为 AM=MN,所以 M(4,

t ) . 2

由 M 在椭圆上,得 t=6.故所求的点 M 的坐标为 M(4,3) .?????????4 分
???? ???? ???? ???? 所以 MA ? (?6, ?3), MB ? (2, ?3) , MA ? MB ? ?12 ? 9 ? ?3 .

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???? ???? MA ? MB ?3 65 cos ?AMB ? ???? ???? ? ?? .??????????????7 分 65 | MA || MB | 36 ? 9 ? 4 ? 9

(用余弦定理也可求得) (2)设圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 A,F,N 三点坐标代入,得

? D ? 2, ?16 ? 4 D ? F ? 0, ? 72 ? ? 4 ? 2 D ? F ? 0, ? ? ? E ? ?t ? , t ? ? 2 ?64 ? t ? 8D ? Et ? F ? 0, ? F ? ?8. ? 72 72 ∵ 圆方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? (t ? ) y ? 8 ? 0 ,令 x ? 0 ,得 y 2 ? (t ? ) y ? 8 ? 0 .?11 分 t t
t?

设 P(0, y1 ), Q(0, y2 ) ,则 y1、 2 ?

72 72 2 ? (t ? ) ? 32 t t . 2

由线段 PQ 的中点坐标为(0,9) ,得 y1 ? y2 ? 18 , t ?

72 ? 18 . t

此时所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 18 y ? 8 ? 0 .???????????????15 分 (本题用韦达定理也可解) (2) (法二)由圆过点 A、F 得圆心横坐标为-1,由圆与 y 轴交点的纵坐标为(0,9) , 得圆心的纵坐标为 9,故圆心坐标为(-1,9) .?????????????? 11 分 易求得圆的半径为 3 10 ,????????????????????????13 分 所以,所求圆的方程为 (x ? 1)2 ? ( y ? 9)2 ? 90 .??????????????? 15 分 19. (本题满分 16 分) 解: (1) ∵ g ( x) 的图象与 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称, ∴ f ( x) 的图象上任意一点 P( x, y ) 关于 y 轴对称的对称点 Q(? x, y) 在 g ( x) 的图象上. 当 x ? [?1, 0) 时, ? x ? (0,1] ,则 f ( x) ? g (? x) ? ln(? x) ? ax2 .?????????2 分 ∵ f ( x) 为 [?1,1] 上的奇函数,则 f (0) ? 0 .????????????????4 分 当 x ? (0,1] 时, ? x ? [?1,0) , f ( x) ? ? f (? x) ? ? ln x ? ax2 .??????????6 分

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?ln(? x) ? ax 2 (?1 ≤ x ? 0), ? ∴ f ( x) ? ?0( x ? 0), ???????????????????7 分 ? 2 ?? ln x ? ax (0 ? x ≤ 1).

1 (1)由已知, f ?( x) ? ? ? 2ax . x 1 1 ①若 f ?( x) ≤ 0 在 ? 0,1? 恒成立,则 ? ? 2ax ≤ 0 ? a ≤ 2 . x 2x 1 此时, a ≤ , f ( x) 在 (0,1] 上单调递减, f ( x)min ? f (1) ? a , 2
∴ f ( x) 的值域为 [a, ??) 与 | f ( x) |? 1 矛盾.??????????????11 分 ②当 a ?
1 1 1 ? (0,1] , 时,令 f ( x) ? ? ? 2ax ? 0 ? x ? x 2a 2 1 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, ∴ 当 x ? (0, 2a

当 x?(

1 ,1] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 2a 1 1 1 2 1 1 ) ? ? ln( ) ? a( ) ? ln(2a) ? . 2a 2a 2a 2 2

∴ f ( x)min ? f (

1 1 e 由 | f ( x) |≥ 1 ,得 ln(2a) ? ≥1 ? a ≥ .??????????????15 分 2 2 2 e 综上所述,实数 a 的取值范围为 a ≥ . ?????????????????16 分 2
20. (本题满分 16 分) 解: (1)①不妨设 a1 ≥1,设数列 ?an ? 有 n 项在 1 和 100 之间,则

3 3 a1 ? ( )n?1 ≤100.所以, ( ) n ?1 ≤100. 2 2
两边同取对数,得 (n-1) ( lg3-lg2)≤2.解之,得 n≤12.37. 故 n 的最大值为 12,即数列 ?an ? 中,最多有 12 项在 1 和 100 之间.?????5 分 ②不妨设 1≤ a1 ? a1 ?

3 3 3 3 3 其中 a1 ,a1 ? , a1 ? ( )2 , ?, ? a1 ? ( )2 ? ? ? a1 ? ( )n?1 ≤100, 2 2 2 2 2

n ?1 n ?1 3 a1 ? ( )n?1 均为整数,所以 a1 为 2 的倍数.所以 3 ≤100,所以 n≤5.???8 分 2

又因为 16,24,36,54,81 是满足题设要求的 5 项. 所以,当 q=

3 时,最多有 5 项是 1 和 100 之间的整数.??????????10 分 2

(2)设等比数列 aqn?1 满足 100≤a ? aq ? ? ? aq n ?1 ≤1000,

?

?

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其中 a,aq,?, aq n ?1 均为整数, n ? N* , q ? 1 ,显然,q 必为有理数.????11 分

t 设 q= ,t>s≥1,t 与 s 互质, s
t n ?1 因为 aq n ?1 = a( )n ?1 为整数,所以 a 是 s 的倍数.????????????12 分 s s ?1 s ? 1 n?1 令 t=s+1,于是数列满足 100≤a<a· <?<a· ( ) ≤100. s s
如果 s≥3,则 1000≥a· (

s ? 1 n?1 ) ≥(q+1)n-1≥4n-1,所以 n≤5. s

2 如果 s=1,则 1000≥a·

n ?1

2 ≥100·

n ?1

,所以,n≤4.

3 3 如果 s=2,则 1000≥a· ( ) n ?1 ≥100· ( ) n ?1 ,所以 n≤6.???????????13 分 2 2
另一方面,数列 128,192,288,432,648,972 满足题设条件的 6 个数, 所以,当 q>1 时,最多有 6 项是 100 到 1000 之间的整数.?????????16 分

B.附加题部分 21. 【选做题】每小题 10 分.共 20 分. A.选修 4-1:几何证明选讲 解: 连 OC.∵ ∠ABC=60?,∠BAC=40?,∴ ∠ACB=80?.?????????????4 分
? 和 BC ? 的度数均为 80?. AB 的中点,∴ BE ∵ OE⊥AB,∴ E 为 ?

∴ ∠EOC=80?+80?=160?.?????????????????????????8 分 ∴ ∠OEC=10?.?????????????????????????????10 分

B.选修 4-2:矩阵与变换 解:设 P( x, y ) 为曲线 C2 上任意一点, P?( x?, y?) 为曲线 x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 上与 P 对应的点,
? x ? x? ? 2 y ?, ? x? ? x ? 2 y, ?1 2 ? ? x ' ? ? x ? ?? 则? ??????????????5 分 ? ' ? ? ? ? ,即 ? ? ? y ? y ?, ? y? ? y. ?0 1 ? ? y ? ? y ?

∵ P? 是曲线 C1 上的点,∴ C2 的方程 ( x ? 2 y)2 ? y 2 ? 1 .????????????10 分

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C.选修 4-4:坐标系与参数方程 解:将曲线 C1 化成普通方程是 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆心是(1,0) , 直线 C2 化成普通方程是 y ? 2 ? 0 ,则圆心到直线的距离为 2. ??????????5 分 ∴ 曲线 C1 上点到直线的距离为 1,该点为(1,1) .??????????????10 分

D.选修 4-5:不等式选讲 证明:由柯西不等式,得
n 2 n ( C1 ? C2 ? ? ? Cn ) ≤ (1 ? 1 ? ? ? 1)(C1 ? C2 ? ? ? Cn ) ?????????????5 分 n n n n

? n( ( 1 ? n 1? )

? 1n )

n

?( 2. 1 )



2 n n C1 n ? Cn ? ? ? Cn ≤ n(2 ? 1) .???????????????????10 分

22. 【必做题】本题满分 10 分. 证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ,右边 ?

1? 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 左边, 4

∴等式成立.?????????????????????????????2 分 (2)设当 n ? k (k ? N* ) 时,等式成立, 即 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? 则当 n ? k ? 1 时, 左边 ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3)
? k (k ? 1 )k(? 4 2 k )?( 2 k )?( 3) ? (k ? 1 )k(? 2 k )?( 3) k3 ?) ( 4)

k (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) . ?????4 分 4

k (k ? 1 )k(? 2 k )?( 3 ?) ( ? 1 ) 4 4 (k ? 1)(k ? 1 ? 1)(k ? 1 ? 2)(k ? 1 ? 3) ? . 4 ? (k ? 1 )k(?

∴ n ? k ? 1 时,等式成立.??????????????????????8 分

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由(1) 、 (2)可知,原等式对于任意 n ? N* 成立.????????????10 分

23. 【必做题】本题满分 10 分. 解: (1)第一班若在 8∶20 或 8∶40 发出,则旅客能乘到,其概率为 1 1 3 P= + = .??????????????????????????????3 分 2 4 4 (2)旅客候车时间的分布列为: 候车时间 (分) 概率 10 1 2 30 1 4 50 1 1 × 4 4 70 1 1 × 4 2 90 1 1 × 4 4

????????????????????????????????6 分 (3)候车时间的数学期望为 1 1 1 1 1 10× +30× +50× +70× +90× 2 4 16 8 16 15 25 35 45 =5+ + + + =30. ???????????????????????9 分 2 8 4 8 答:这旅客候车时间的数学期望是 30 分钟.?????????????????10 分

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