湖南省双峰县第一中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 理


湖南省双峰县双峰一中 2015-2016 学年高三上学期第一次月考数学 (理科)试题
第 I 卷(选择题) 一、选择题(60 分) 1.复数

i3 等于( 1? i
B.



A.

1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

C. ?

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2


2.已知函数 y ? f ? x ? 的图象与 y ? ln x 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ? 2? ? ( A. 1 B. e C. e
2

D. ln ? e ?1?

3.如果 a ? b ,则下列各式正确的是( A. a ? lg x ? b ? lg x
2 2 B. ax ? bx


2 2 C. a ? b

x x D. a ? 2 ? b ? 2

4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=﹣6,S18﹣S15=18,则 S18=( ) A.36 B.18 C.72 D.9 5.设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a , b, c ,若 b ? c ? 2a , 3 sin A ? 5 sin B , 则角 C ? ( A. ) B.

2? 3

?
3

C.

3? 4

D.

5? 6
,则该球

6.三棱锥 S-ABC 的顶点都在同一球面上,且 的体积为( )

A. B. C.16π D.64π 7 .从 6 名同学中选派 4 人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛,若其中甲、乙 两名同学不能参加生物竞赛,则选派方案共有( ) A.180 种 B.280 种 C. 96 种 D.240 种 8.设曲线 y ?

x ?1 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( 在点 (3, x ?1
B. ?2 C. ?



A. 2

1 2

D.

1 2
,则 ω 的值为( )

9.如果函数 A.3

B.6

的相邻两个零点之间的距离为 C.12 D.24

1

10.已知圆 C:x +y -2mx+4y+m =0(m>0)及直线 l:x+y+3=0,当直线 l 被圆 C 截得的弦长 为 A. 时,m 的值等于( ) B. C. D.

2

2

2

11.设 a ? 0, b ? 0 ,则下 列不等式成立的是( A. 若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b C. 若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b
a b a



B. 若 2 ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b D. 若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a ? b 和 ,它们的夹角为 120°,点 C 在以 O 为圆心的圆 的概率为( )

12.如图,给定两个平面单位向量 弧 AB 上,且

(其中 x,y∈R),则满足 x+y≥

A.

B.

C. 第 II 卷(非选择题)

D.

二、填空题(20 分) 13. 二项式 ( x ? 为 .
2

2 n ) 的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式中常数项 x2

14.函数 f(x)=cos x+sinx 在区间 [—

? ?

, ] 上的最小值为 6 2



15.已知椭圆的中心在坐标原点 O, A,C 分别是椭圆的上下顶点,B 是椭圆的左顶点,F 是椭

1 ,则∠BDF 的正切值 2 2 16.已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,不等式
圆的左焦点,直线 AF 与 BC 相交于点 D。若椭圆的离心率为

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为_____________. p?q
三、解答题(70 分) 17.在△ ABC 中,已知 C ? (1)求 A 的值;

π ,向量 m ? (sin A,1) , n ? (1,cos B) ,且 m ? n . 6

??? ? ??? ? (2)若点 D 在边 BC 上,且 3BD ? BC , AD ? 13 ,求△ ABC 的面积.

2

18.某人在自己的经济林场种植了杨树、沙柳等植物.一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳成活 与否是相互独立的,成活率为 p,设 ξ 为成活沙柳的株数,数学期望 Eξ =3,标准差 σ ξ 为 . (1)求 n,p 的值 (2)若一株沙柳成活,则一年内通过该株沙柳获利 100 元,若一株沙柳不能成活,一年内 通过该株沙柳损失 30 元,求一 年内该人通过种植沙柳获利的期望.

19. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 正 方 形 , PA ⊥ 平 面 ABCD , AP ? AB ? 1 , E , F 分别是 PB , PC 的中点. (Ⅰ) 求证: AE ? PC (Ⅱ)求点 A 到平面 PBD 的距离. P

E A B

F D C

20.已知数列 {an } 的各项均为正数, S n 是数列 {an } 的前 n 项和,且 4S n ? an ? 2an ? 3 . (1)求数列 {an } 的通项公式;

2

3

(2)已知bn ? 2n , 求Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ?a n bn 的值.

21.已知椭圆 C1:

x2 ? y 2 ? 1 和动圆 C2: x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,直线 l : y ? kx ? m 与 C1 和 4

C2 分别有唯一的公共点 A 和 B. (I)求 r 的取值范围; (II )求|AB|的最大值,并求此时圆 C2 的方程.

22.设函数

f ( x) ? ln x ?

m ,m? R . x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 (2)讨论函数 g ( x) ?

f ( x) 的最小值;

x f '( x) ? 零点的个数; 3
f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. b?a

(3)若对任意 b ? a

? 0,

4

参数答案 1.B 2.C 3.D 4 A 5.A 6 B.7.D 8.B 9 C.10 B.11.A 13.180.14.

12.B

1 15. 3 3. 16.[15, ? ? ) 4

17.试题解析: (1)由题意知 m ? n ? sin A ? cos B ? 0 ,

π 5π , A ? B ? C ? π ,所以 sin A ? cos( ? A) ? 0 , 6 6 3 1 π cos A ? sin A ? 0 ,即 sin( A ? ) ? 0 , 即 sin A ? 2 2 6 5π π π 2π π π 又0? A? ,所以 ( A ? ) ? (? , ) ,所以 A ? ? 0 ,即 A ? . 6 6 6 3 6 6
又C ?

。 。 。 。 。 。 。 5分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)设 BD ? x ,由 3BD ? BC ,得 BC ? 3 x ,
由(1)知 A ? C ?

??? ? π 2π ,所以 BA ? 3 x , B ? , 6 3

在△ ABD 中,由余弦定理,得 ( 13)2 =(3x)2 ? x2 ? 2 ? 3x ? x cos 解得 x ? 1 ,所以 AB ? BC ? 3 ,

2π , 3

1 1 2π 9 3 BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin ? . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 2 2 3 4 2 18.解答:解:(1)由二项分布的结论:Eξ =np,(σ ξ ) =np(1-p)
所以 SΔ ABC ? 可得 得 ,从而 ,

答:n,p 的值分别为 6 和 .。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 (2)设 η 为该人通过种植沙柳所获得的利润, 则 η =100ξ -30(6-ξ )=130ξ -180 所以:Eη =130Eξ -180=210 答:一年内该人通过种植沙柳获利的期望约为 210.。。。。。。。。。12 分 19.试题解析:证明:(Ⅰ) ? AP ? AB , E 是 PB 的中点

? AE ? PB

? PA ⊥平面 ABCD ? PA ? BC ? AB ? BC 且 PA ? AB ? A ? BC ? 平面 PAB ? AE ? 平面 PAB ? AE ? BC ? PB ? BC ? B ? AE ? PC ? AE ? 平面 PBC 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (Ⅱ)设点 A 到平面 PBD 的距离为 d ,利用体积法,
1 1 VP ? ABD ? VA? PBD ? S?ABD ? PA ? S?PBD ? d 3 3

6分

5

?d ?

3 3

故点 A 到平面 PBD 的距离为

3 3
1 2

。 。 。 。 。 。 。 。 。

12 分

20.试题解析: (1)当 n = 1 时, a1 ? s1 ? a12 ? a1 ? , 解出 a1 = 3, ( a1 = 0 舍) 又 4Sn = an + 2an-3 当n ? 2 时 ①-②
2

1 4

3 4

① ②

2 4sn-1 = a n ?1 + 2an-1-3

2 2 2 2 4an ? an ? an ?1 ? 2(an ? an ?1 ) , 即 an ? an?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 0 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 , , ? an ? an?1 ? 0 ? an ? an?1 ? 2 ( n ? 2 )

? 数列 {an } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列,
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 ? an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1. 。 (2) Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n 又 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 1) ? 2n ? (2n ? 1)2n?1 ③ ④

④-③ Tn ? ?3 ? 21 ? 2(2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ) ? (2n ? 1)2 n?1

? ?6 ? 8 ? 2 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? (2n ? 1)2 n?1 ? 2
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 12 分

21 试题解析: (Ⅰ)由

,得(1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0.

2

2

2

由于 l 与 C1 有唯一的公共点 A,故△1=64k m ﹣16(1+4k ) (m ﹣1)=0,从而 m =1+4k ① 由 ,得(1+k )x +2kmx+m ﹣r =0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

2

2

由于 l 与 C2 有唯一的公共点 B,故△2=4k m ﹣4(1+k ) (m ﹣r )=0, 2 2 2 从而 m =r (1+k ) ② 由①、②得 k =
2 2 2



由 k ≥0,得 1≤r <4,所以 r 的取值范围是[1,2) . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 6分 (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由(Ⅰ)的解答可知

6

x1=﹣

=﹣

,x2=﹣

=﹣



|AB| =(1+k ) (x2﹣x1) =(1+k )?

2

2

2

2

=

?k ?(4﹣r )

2

2

2

= 因为 r + 所以当 r=
2

?(4﹣r ) = ≥2×2=4,当且仅当 r= 时取等号,

2

2

,所以|AB| =5﹣(r +

2

2

) (1≤r<2) .

时,|AB|取最大值 1,此时 C2 的方程为 x +y =2. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 12 分

2

2

22 试题解析: (1)当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ? 易得函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

e x

? f ?( x) ?

1 e x?e ? ? 2 x x2 x

? 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上是减函数;
当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (0, e) 上是增函数;

e ? 当 x ? e 时, f ( x) 取得极小值 f (e) ? ln e ? ? 2 。。。。。。。。。。。4 分 e x 1 m x (2)? 函数 g ( x) ? f ?( x) ? ? ? 2 ? ( x ? 0) 3 x x 3 1 3 令 g ( x) ? 0 ,得 m ? ? x ? x( x ? 0) 3 1 3 设 h( x) ? ? x ? x ( x ? 0) 3

?h?( x) ? ? x2 ? 1 ? ?( x ?1)( x ? 1)
当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ,此时 h( x) 在 (0,1) 上式增函数; 当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 ,此时 h( x) 在 (1, ??) 上式增函数;

1 2 ? 当 x ? 1 时, h( x) 取极大值 h(1) ? ? ? 1 ? 3 3 1 3 令 h( x) ? 0 ,即 ? x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,或 x ? 3 3

? 函数 h( x) 的图像如图所示:

7

由图知:

2 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 无交点; 3 2 ②当 m ? 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有且仅有一个交点; 3 2 ③当 0 ? m ? 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有两个交点; 3
当m ? ④ m ? 0 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有且仅有一个交点;

2 2 时,函数 g ( x) 无零点;当 m ? 或 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且仅有一个 3 3 2 零点;当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零点.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 3 f (b) ? f (a) ? 1 恒成立 对任意 b ? a ? 0, b?a
综上所述,当 m ? 等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立 设 h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ?

m ? x( x ? 0) x

? h( x) 在 (0, ??) 上单调递减

? h?( x) ?

1 m ? ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立 x x2 1 1 1 ? m ? ? x 2 ? x ? ?( x ? ) 2 ? ? ( x ? 0) 2 4 4 1 ?m ? 4 1 1 当且仅当当 x ? 时, m ? 2 4 ?m 的取值范围是 [ 1 , ??) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 4

8


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