2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义:1.1空间几何体的结构特征 第1课时

数学 第 1 课时 学习目标 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、 棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结 构和有关计算. 知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念 思考 观察下面两组物体,你能说出各组物体的共同点吗? 答案 (1)几何体的表面由若干个平面多边形围成. (2)几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成. 梳理 (1)空间几何体的定义及分类 ①定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空 间图形就叫做空间几何体. ②分类:常见的空间几何体有多面体与旋转体两类. (2)多面体与旋转体 类别 定义 多面体 由若干个平面多边形围成的几 旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一 数学 何体 条定直线旋转所形成的封闭几何体 图形 相关概 念 面:围成多面体的各个多边形 棱:相邻两个面的公共边 顶点:棱与棱的公共点 轴:形成旋转体所绕的定直线 知识点二 棱柱的结构特征 思考 观察下列多面体,有什么共同特点? 答案 (1)有两个面相互平行; (2)其余各面都是平行四边形;(3)每相邻两个四边形的公共边 都互相平行. 梳理 棱柱的结构特征 名 称 定义 有两个面互相平 行,其余各面都 是四边形,并且 棱 柱 每相邻两个四边 形的公共边都互 相平行,由这些 面所围成的多面 体叫做棱柱 如图可记作: 棱柱 ABCDEF 图形及表示 相关概念 分类 底面(底):两个互 相平行的面 侧面:其余各面 侧棱: 相邻侧面的 公共边 顶点: 侧面与底面 的公共顶点 按底面多边形的 边数分:三棱柱、 四棱柱、…… —A′B′C′D′E′F′ 知识点三 棱锥的结构特征 思考 观察下列多面体,有什么共同特点? 数学 答案 (1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 梳理 棱锥的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 底面(底):多边形 有一个面是多边 形,其余各面都是 棱 锥 有一个公共顶点 的三角形,由这些 面所围成的多面 体叫做棱锥 如图可记作:棱锥 S—ABCD 面 侧面:有公共顶点 的各个三角形面 侧棱:相邻侧面的 公共边 顶点:各侧面的公 共顶点 按底面多边形的 边数分:三棱锥、 四棱锥、…… 分类 知识点四 棱台的结构特征 思考 观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系? 答案 (1)区别:有两个面相互平行. (2)联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为该几何体. 梳理 棱台的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 上底面:原棱锥的截 用一个平行 于棱锥底面 棱 台 的平面去截 棱锥,底面 与截面之间 的部分叫做 棱台 如图可记作:棱台 ABCD 面 下底面:原棱锥的底 面 侧面:其余各面 侧棱:相邻侧面的公 共边 顶点:侧面与上(下) 底面的公共顶点 由三棱锥、四棱 锥、五棱锥…… 截得的棱台分别 叫做三棱台、四棱 台、五棱台…… 分类 —A′B′C′D′ 知识点五 棱柱、棱锥、棱台之间的关系 数学 类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 命题角度1 棱柱的结构特征 例 1 下列关于棱柱的说法: ①所有的面都是平行四边形; ②每一个面都不会是三角形; ③两底面平行,并且各侧棱也平行; ④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中正确说法的序号是________. 答案 ③④ 解析 ①错误,底面可以不是多边形;②错误,底面可以是三角形;③正确,由棱柱的定义 可知;④正确,被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱. 反思与感悟 关于棱柱的辨析 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析. ①两个面互相平行;②其余各面是四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行. (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除. 特别提醒:求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足 其他特征. 跟踪训练 1 关于棱柱,下列说法正确的是________. ①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱; ②棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体. 答案 ② 解析 ①不正确,反例如图所示. ②正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形. ③不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体. 数学 命题角度2 棱锥、棱台的结构特征 例 2 (1)判断如图所示的物体是不是棱锥,为什么? 解 该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求:各侧面有一个公共顶点,但侧面 ABC 与侧 面 CDE 没有公共顶点,所以该物体不是棱锥. (2)如图所示的多面体是不是棱台? 解 根据棱台的定义,可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个:一是共点,二是平 行.即各侧棱延长线要交于一点,上、下两个底面要平行,二者缺一不可.据此,图(1)中多 面体侧棱延长线不相交于同一点, 故不是棱台; 图(2)中多面体不是由棱锥截得的, 不是棱台; 图(3)中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,因此也不是棱台. 反思与感悟 棱锥、棱台结构特征问题的判断方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法 棱锥 定底面 看侧棱 只有一个面是多边形,此面即为底面 相交于一点 棱台 两个互相平行的面,即为底面 延长后相交于一点 跟踪训练 2 有下列三个命题: ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 其中正确的有( A.0 个 答案 A 解析 ①中的平面不一定平行于底面,

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