贵州省铜仁市2018届高三数学上学期第二次月考试题理

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2017-2018 学年度高三年级第二次月考 理 科 数 学 试 卷
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 2 1.集合 M ? x x ? 2 x ? 3 ,集合 N ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 M ? N ?

?

?

?

?

A. ? ?1, 2? 2. 复数

B. ? ?1,3?

C. ? 2,3

?

D. 3, 4 ?

?

5 的共轭复数是 1 ? 2i
B. 1 ? 2i C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i

A. 1 ? 2i 3.下列命题正确的个数是

①.“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆命题是真命题; ②.命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件;
3 2 ③.“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ $ x ? R, x3

x2 + 1> 0 ”;

④.“若 a ? b, 则2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ≤ b ,则 2a ≤ 2b ?1 ”; A.1 B.2 C.3 D.4

1 ? cos 2? ? cos 2 ? 2 A.-3 B. C.3 5 5.在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a11 ? 18 , S3 ? ?3 ,那么 a5 等于(
4. 已知 tan(? ? ? ) ? ?2 ,则 A.4 6. 下列各式正确的是 A. a b ? a b C.若 a b ? a c 则 b ? c B. a b B.5 C.9

D. ) D.18

?

5 2

? ?

2

?a b

2

2

D.若 a ? b ? c 则 a b ? a c

?

?

7. 设 a 为实数, 函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? (a ? 3) x 的导函数为 f ?( x) , 且 f ?( x) 是偶函数, 则 曲线 y ? f ( x) 在点 (2 , f (2)) 处的切线方程为 A. 9 x ? y ? 16 ? 0 C. 9 x ? y ? 18 ? 0 为
1

B. 9 x ? y ? 18 ? 0 D. 9 x ? y ? 18 ? 0

8. 已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 2 的等差数列,则△ABC 的面积

A.

15 3 4

B.

15 3 2

C.30 3

D.15 3

9.若圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3OD , E、F 为另一直径的两个端点, 则 DE ? DF ? A. ? 6 B. ?2 C. ?8 D. ?5

10. 已知幂函数 y ? f ( x) 过点 ? 4, 2 ? ,令 an ? f (n ? 1) ? f (n) , n ? N * ,记数列 ? 前 n 项和为 S n ,则 S n ? 8 时, n 的值是 A.63 B.64
2

?1? ?的 ? an ?

C.80

D.81

11. 已 知 函 数 f ( x) ? sin ? x ?

f (? ) ? 1 . 若 3 sin ? x? cos ?, x ? ? R又 , f (? ) ? 0,  

? ? ? 的最小值为
A.

3? ,则正数 ? 的值为 4
B.

2 9

1 3

C.

4 9

D.

9 8

12. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 的图象为一条连续不断的曲线,且
f (1 ? x) ? f (1 ? x) , f ?1? ? a ,

且当 0 < x < 1 时, f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足: f ?( x) ? f ( x) ,则 f ( x) 在 [2017, 2018] 上 的最大值为 A.a B.0 C. ?a D.2018a

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已 知 向 量 a = ( , b = ( 0, ?1 ) , c = ( k, 3 ) . 若 a ? 2b 与 c 共 线 , 则 3 ,1 )

k=_____________.
2 2 14.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c .若 sin B ? 2sin C , a ? b ?

3 bc ,则 2

角 A 等于

.

15. 已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,给出下列五个命题: ① d ? 0 ;② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 ?S n ? 中的最大项为 S11 ;⑤ a6 ? a7 .

2

其中正确命题的是 16. 已知 f ( x) ? sin x ? cos x ?



1 3 sin 2 x ,若 ?t ? R, x ? R , 2a ? ? f ( x) ? a sin t 恒成 4 4

立,则实数 a 的取值范围是________________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 己知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( ) ?

?
2

) 的部分图象如图所示.

?

2

?? 4 ? ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? ? ? ? 的值. 3? 5 3 ?

18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1 ? 3a 2 ? 1, a 3 2 ? 9a 2 a 6 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ? log3 a1 ? log 3 a2 ?

1 ? log 3 an ,求数列 { } 的前 n 项和. bn

19. (本小题满分 12 分) 设 m ? ( 3 sin

x x 1 x , cos 2 ? ) ,n ? (cos ,1) , f ( x) ? m ? n ,?ABC 的三个内角 A, B, C 2 2 2 2

的对边分别为 a, b, c . (1)求 f ( x) 的单调递增区间;

3

(2)若 f ( A) ? 1, a ? 3 ,求 ?ABC 周长的最大值.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? (1)证明:数列 { (2)求数列 {

2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3,...... . 3 an ? 1

1 ? 1} 是等比数列; an

n } 的前 n 项和 Sn . an

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = ln x - kx + 1 (1)研究函数 f ( x) 的极值点; (2)当 k>0 时,若对任意的 x>0,恒有 f ( x) ? 0 ,求 k 的取值范围; (3)证明:

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N , n ? 2). 2(n ? 1) 22 32 n2

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? 2 cos ? ? 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (α 为参数) ,以原点 O 为极点, ? ? y ? sin ?

x 轴的正半轴为级轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程 ? sin ?? ?
(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到曲线 C2 上的距离的最小值.

? ?

??

??3 2 ; 4?

4

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1, x ? R , (1)解不等式 f ( x) ? x ? 1 (2)若对于 x, y ? R ,有 x ? y ? 1 ?

1 1 , 2 y ? 1 ? ,求证: f ( x) ? 1 . 3 6

铜仁一中 2018 届高三第二次月考数学(理科)参考答案 一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D

B

D

D

B

D

A

A

D

C

A

B

二.填空题 13. 1 三.解答题 17. 【解析】 14.

2? (或写 120? ) 3

15. ①②

16. ? 2 ? 1, ??

?

?

又 cos ? ? ?

? ?

??

?? ? ? ? ? 3 3?4 ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? 3? 6 ? 6? 10 ??
2

18. 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6
2 3 2 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

1 . 9

5

由条件可知 c>0,故 q ?

1 . 3 1 . 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 . 3n

(Ⅱ ) b ? log a ? log a ? ... ? log a ? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n 3 1 3 2 3 n

??

n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? bn n ?1
x x x 1 cos ? cos 2 ? 2 2 2 2

19.解.(1) f ( x) ? m ? n ? 3 sin

?

3 cos x ? 1 1 sin x ? ? 2 2 2 3 1 ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) 2 2 6
? x?

?
由 2 k? ?

?
2

?
6

? 2 k? ?

?
2

,得 2k? ?

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [2k? ? (2)∵ f ( A) ? 1 ,∴ sin( A ? ∵ A?

?
6

2? ? , 2 k? ? ] k ? Z . 3 3

2? ? ? x ? 2 k? ? , k ? Z , 3 3

) ? 1,

? 7? ? ? ? ? ( , ) ,∴ A ? ? ,∴ A ? , 6 6 6 6 2 3 2? ∴0 ? B ? . 3


?

3 b c a b c 得: , ? ? ? ? sin A sin B sin C 3 sin B sin C 2

b ? 2sin B , c ? 2sin C ,
∴ a ? b ? c ? 3 ? 2sin B ? 2sin ?

?? 2? ?? ? ? ? B ? ? 2 3 sin ? B ? ? ? 3 , B ? (0, ) 6? 3 ?3 ? ?
6

∴ ?ABC 周长的最大值是 3 3 . 20.解: (Ⅰ)∵ an ?1 ?

2an , an ? 1

?
?
?
?

a ?1 1 1 1 1 ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an

1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) , an ?1 2 an 2 1 1 又 a1 ? ,? ? 1 ? , 3 a1 2 1 1 1 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列.……… 6 分 2 2 an
1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 , an?1 2 2 2 an 2 n n ? n ?n. an 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

?


1 2 3 n ? 2 ? 3 ?…? n , ① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 Tn ?

1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 ? n ? 1? 1 ? n , Tn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 2 由① ? ②得 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n Tn ? 2 ? n ?1 ? n . ? 2 2 n(n ? 1) 又1 ? 2 ? 3 ? … ?n ? . 2 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n 数列 { } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? 2 2 2 2 ……… an ?
12 分 21. 解: (I)

f ( x) ? ln x ? kx ? 1,? f ( x)的定义域为(0, ??) ,…1 分

f ?( x) ?

1 1 ? kx ?k ? x x

…………2 分

当 k ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, ??) 上无极值点 …………3 分 当 k>0 时,令 f ?( x) ? 0, ?x ?

1 ? (0, ??), f ?( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: k

7

x

(0,

1 ) k

1 k
0 极大值
1 k

1 ( ,+ ? ) k
- ↘ ………………5 分

f '( x)

+ ↗

f ( x)

从上表可以看出:当 k>0 时, f ( x) 有唯一的极大值点 x ?
1 k

(Ⅱ)当 k>0 时在 x ? 处取得极大值也是最大值,要使 f (x) ? 0 恒成立, 只需 f ( ) ? ln

1 k

1 ? 0 ,…6 分 k
…………………7 分

∴ k ? 1 ,即 k 的取值范围为[1,+∞ )

(Ⅲ)令 k=1,由(Ⅱ)知, ln x ? x ? 1 ? 0,? ln x ? x ? 1 , ? n ? N , n ? 2 …………8 分 ∴ ln n 2 ? n 2 ? 1 ,∴ ∴
ln 2 ln3 ? 2 ? 22 3
2 2

ln n2 n2 ? 1 1 ? 2 ?1? 2 2 n n n
? (1 ?

…………9 分

?

ln n2 1 1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? 2 n 2 3

1 1 1 ) ? (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? 2 2 3 n

?

1 ) …10 分 n2

? (n ? 1) ? (

1 1 ? ? 2 ? 3 3? 4

?

1 ) …11 分 n(n ? 1)
? 1 1 ? ) n n ?1

1 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? 2 3 3 4

1 1 2n2 ? n ? 1 ? (n ? 1) ? ( ? )? , ∴结论成立 2 n ?1 2(n ? 1)

… 12


? ? x ? 2 cos ? 22. 解: (Ⅰ)由曲线 C1: ? (α 为参数) ,曲线 C1 的普通方程为: ? ? y ? sin ?

. 由曲线 C2:ρ sin(π + )=3 ,展开可得: ,

(sinθ +cosθ )=3

化为:x+y=6.即:曲线 B 的直角坐标方程为:x+y=8.…(5 分) (Ⅱ)椭圆上的点 到直线 O 的距离为

8

d?

2 cos ? ? sin ? ? 6 2

?

3 sin ?? ? ? ? ? 6 2

其中 tan ? ? 2
6 .…(10 分) 2

∴当 sin(α +φ )=1 时,P 的最小值为 3 2 ?

23.解: (1)不等式 f(x)<x+1,等价于|2x﹣1|<x+1,即﹣x﹣1<2x﹣1<x+1, 求得 0<x<2,故不等式 f(x)<x+1 的解集为(0,2) . (2)∵ ,

∴f(x)=|2x﹣1|=|2(x﹣y﹣1)+(2y+1)|≤|2(x﹣y﹣1)|+|(2y+1)|≤2? + <1.

9


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