高中数学必修二 第1章 棱柱、棱锥、棱台的结构特征_图文

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第一章

空间几何体

1.1 空间几何体的结构
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

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5 个面,五棱台有___ 7 个面. 1.棱柱至少有___ 四面体,又叫___ 三棱锥. 4 个面,它既叫___ 2.一个棱锥至少有___ 3.四棱柱的侧棱及顶点的数目分别为(

C )

A.四条侧棱、四个顶点
B. 八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D. 六条侧棱、八个顶点

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4.过正三棱柱底面一边的截面是( A.三角形

B )

B.三角形或梯形
C.不是梯形的四边形 D.梯形

重点 棱柱、正棱锥和正棱台的性质 1.棱柱的性质:
(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形; (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;

(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.

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2.正棱锥的性质:
(1)正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形; (2)等腰三角形底边上的高(即棱锥的斜高)都相等.

3.正棱台的性质:
(1)各侧棱相等; (2)正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形; (3)正棱台的斜高相等.

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重难点

棱柱的两个本质特征

1.有两个面(底面)相互平行. 2.其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平 行. 因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形.

但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的
几何体”不一定是棱柱.

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棱柱、棱锥、棱台的结构特征 例 1:长方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB=3,AD=4,AA1 =5,求对角线的长.
解:AC1= 32+42+52= 50=5 2.

长方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB=a,AD =b,AA1=c,对角线 AC1= a2+b2+c2.

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1-1.如图 1,长方体 ABCD-A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?

(2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分,各部分形成的
几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果

不是,说明理由.

图1

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解:(1)是棱柱,并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个
面作底面都是全等的四边形,其余各面都是矩形,且四条侧棱 互相平行,符合棱柱定义. (2)截面BCNM 的上方部分是三棱柱BMB1-CNC1,下方部 分是四棱柱 ABMA1-DCND1.

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1-2.将 8 个棱长为 1 的正方体按不同的方式摆放成实心长 方体,求所得长方体的对角线的最大值. 解:将 8 个棱长为 1 的正方体排成一排组成长方体,其棱 长分别为 1,1,8,所得长方体的对角线长为
12+12+82= 66;

将 8 个棱长为 1 的正方体排成两排组成长方体,其棱长分 别为 1,2,4,所得长方体的对角线长为
12+22+42= 21;

将 8 个棱长为 1 的正方体排成正方体,其棱长分别为 2,2,2,

所得长方体的对角线长为

22+22+22=2

3.

所以长方体的对角线的最大值为

66.

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空间想象能力的训练 例 2:下面是一多面体的展开图,如图 2 每个面内都给了字 母,请根据要求回答问题:

图2 (1) 如 果 A 在 多 面 体 的 底 面 , 那 么 哪 一 面 会 在 上 面 __________; (2)如果面 F 在前面,从左边看是面 B,那么哪一个面会在 上面__________; (3)如果从左面看是面 C,面 D 在后面,那么哪一个面会在 上面__________. 答案:(1)F (2)E (3)A

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2-1.如图 3,纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记 为上、下、东、南、西、北.现有沿该正方体的一些棱将正方

体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“△”的面 的方位是( B )

图3

A.南

B.北

C.西

D.下

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2-2.如图 4,一个封闭的正方体,它的六个表面各标有 A、 B、C、D、E、F 这六个字母之一,现放置成如图的三种不同的 位置,则字母 A、B、C 对面的字母分别为( D )

图4

A.D、E、F
C.E、F、D

B.F、D、E D.E、D、F

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有关计算问题 例 3:如图 5,正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 a,高为 h, 求它的侧棱 PA 的长和斜高(侧面的高)PE.

图5
思维突破:把侧棱、斜高分别放到 Rt△PAO、Rt△POE 中, 解三角形即可.

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解:∵正四棱锥的底面边长为 a,

2 ∴AO= 2 a. ∴在 Rt△PAO 中, PA= PO +AO = 1 ∵OE=2a, ∴在 Rt△POE 中,
2 2

h

2

? +? ?

2 2 2 ?2 2 ? = a + 2 h . a 2 2 ?

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斜高 PE= PO +OE =

2

2

h

2

?a?2 1 +?2? =2 ? ?

a2+4h2.

2 2 即此正四棱锥的侧棱长为 2 a +2h2, 1 斜高为2 a2+4h2.

空间问题平面化,平面问题三角化.

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3-1.正四棱台 AC1 的高是 17 cm,两底面的边长分别是 4 cm 和 16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高. 解:如图 1,设棱台的两底面的中心分别是 O 和 O1,B1C1 和 BC 的中点分别是 E1 和 E,连接 OO1、O1E1、OE、EE1,则 OBB1O1 和 OEE1O1 都是直角梯形.

图 1

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∵A1B1=4 cm,AB=16 cm,
∴O1E1=2 cm,OE=8 cm,

O1B1=2

2 cm,OB=8

2 cm.

2 ∴BB1= OO2 1+?OB-O1B1? =19(cm), 2 EE1= OO2 1+?OE-O1E1? =5 13(cm),

∴这个棱台的侧棱长为 19 cm,斜高为 5

13 cm.

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例 4:如图 6,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,AD= 2,CC1=4,一条绳子从 A 沿着表面拉到 C1,求绳子的最短长 度.

图6

错因剖析:考虑问题不全面以致漏解.

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正解:将长方体沿着 AA1 剪开,如图 7,

图7 则 AC1 的最短长度为
2 AC1= AC2+CC1 = ?3+2?2+42= 41;

若沿着 AB 剪开如图 8,

图8

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则 AC1 的最短长度为 AC1= ?2+4? 2+ 32=3 5; 若沿着 AD 剪开如图 9,

图9 则 AC1 的最短长度为 AC1= ?3+4? 2+ 22= 53, 由于 41<3 5< 53 , 所以 AC1 的最短长度为 41.

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4-1.长方体三条棱长分别是 AA′=1,AB=2,AD=4,则 从 A 点出发,沿长方体的表面到 C′的最短矩离是( A.5
C. 29

A )

B.7
D. 37


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