2007-2016年安徽省重点高中数学竞赛初赛习题及答案详解

2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题

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一.选择题

1.如果集合 A.B 同时满足 A B ? ?1.2.3.4? A B ? ?1? , A ? ?1?, B ? ?1?就称有序集对 ? A, B? 为“好集对”。这里

的有序集对 ? A, B? 意指当 A ? B , ? A, B?和?B, A? 是不同的集对,那么“好集对”一共有( )个。

? ? ? ? ? ? ? ? 2.设函数 f x ? lg 10?x ?1 , 方程f ?2x ? f ?1 2x 的解 为()

A.log2 ?lg 2? ?1 B.lg?log210? ?1

C.lg?lg 2? ?1

D. log2 ?log210? ?1

3.



A ?100101102 499500 是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺序排列而成那么 A 除以 126
的余数是()

4.在直角 ABC 中, ?C ? 90 , CD 为斜边上的高,D 为垂足. AD ? a, BD ? b,CD ? a ? b ? 1 .设数列?uk? 的通项为

uk ? ak ? ak?1b ? ak?2b2 ? ? ??1?k bk , k ? 1, 2, 3, , 则()

? ? 5.…… 删 去 所 有 和 55 互 质 的 项 之 后 , 把 余 下 的 各 项 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 成 一 个 新 的 数 列 an , 易 见

a1 ? 1, a2 ? 3 ,a3 ? 7 ,a4 ? 9a,5 ? 1 3





a2007 ? ____________ A. 9597

1

2831

B. 9

A ? 1? cos30 + 1+cos70 + 1+cos110 + 1+cos870
6.设
B ? 1? cos30 + 1-cos70 + 1-cos110 + 1-cos870

则 A:B ?? ?

7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共有______________种.

? ?n
8.设 n ? 2007 ,且 n 为使得 an = 2- 2 ? i 2+ 2 取实数值的最小正整数,则对应此 n 的 an 为

9.若正整数 n 恰好有 4 个正约数,则称 n 为奇异数,例如 6,8,10 都是奇异数.那么在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999
这 10 个数中奇异数有_____________________个.
10.平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,顶点 A 出发的三条棱 AA1, AB, AD 的长度分别为 2,3,4,且两两夹角都为 60 那

么这个平行六面体的四条对角线 AC1, BD1, DB1, CA1 的长度(按顺序)分别为___________________
11.函数 f ? x?, g ? x? 的迭代的函数定义为 f ?1? ? x? ? f ? x?, f ?2? ? x? ? f ? f ? x??,
? ? ? ? ? ? f ?n? ? x? ? f f ?n?1? ? x? , g?1? ? x? ? g ? x?, g?2? ? x? ? g g ? x? , g?n? ? x? ? g g?n?1? ? x? 其中 n =2,3,4…

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? f ?9? ? x? ? g?6? ? y?



f

?x?

?

2x ?3, g ?x?

?

3x

?

2

,则方程组

?? ?

f

?9?

?

y?

?

g ?6?

?z?

的解为_________________

? ??

f

?9?

?

z?

?

g ?6?

?

x?

12.设平行四边形 ABCD 中,AB ? 4, AD ? 2, BD ? 2 3, 则平行四边形 ABCD 绕直线 AC 旋转所得的旋转体的
体积为_______________
三.解答题

13.已知椭圆 ? : 3x2 ? 4 y2 ? 12 和点 Q?q,0?, 直线 l过Q且与?交于A, B 两点(可以重合).

1)若 ?AOB 为钝角或平角( O 为原点), q ? 4, 试确定 l 的斜率的取值范围.

2)设 A 关于长轴的对称点为 A1 , F为椭圆的右焦点, q ? 4, 试判断 A1和F , B 三点是否共线,并说明理由.

3)问题 2)中,若 q ? 4, 那么A1, F , B 三点能否共线?请说明理由.

? ? ? ? ? ? 14.数列

xn

由下式确定:

xn?1

?

2

xn xn2 ?

1

,

n

? 1, 2,3,

, x1 ? 1 ,试求 lg x2007整数部分k ? lg x2007 .(注 a 表示不大

于 a 的最大整数,即 a 的整数部分.)

15.设给定的锐角 ABC 的三边长 a,b,c,正实数x, y, z 满足 ayz ? bzx? cxy? p, 其中 p 为给定的正实数,试求 xyz

s ? ?b ? c ? a? x2 ?? c? a? b? y2 ?? a? b? ?c 2z的最大值,并求出当 s 取此最大值时, x, y, z 的取值.
2007 年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、 选择题 1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D. 第 1 题解答过程 逐个元素考虑归属的选择. 元素 1 必须同时属于 A 和 B. 元素 2 必须至少属于 A、B 中之一个,但不能同时属于 A 和 B,有 2 种选择:属于 A 但不属于 B,属于 B 但不属于 A. 同理,元素 3 和 4 也有 2 种选择. 但元素 2,3,4 不能同时不属于 A,也不能同时不属于 B.
所以 4 个元素满足条件的选择共有 2 ? 2? 2 ? 2 ? 6 种.换句话说,“好集对”一共有 6 个.答:C.
第 2 题解答过程
令 y ? lg(10 ?x ? 1) ,则 y ? 0 ,且10?x ?1 ? 10 y ,10?x ? 10y ?1, ? x ? lg(10 y ?1) ,

x ? ? lg(10 y ?1) . 从 而 f ?1 (x) ? ? lg(10 x ?1) . 令 2x ? t , 则 题 设 方 程 为 f (?t) ? f ?1 (t) , 即

lg(10 t ? 1) ? ? lg(10 t ?1) ,故 lg[(10 t ? 1)(10 t ?1)] ? 0 , (10 t ? 1)(10 t ?1) ? 1 , 102t ? 2 , 2t ? lg 2 ,解得

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2x

?

t

?

1 lg 2 2

.从而

x

?

1 log 2 ( 2 lg

2)

?

log 2 (lg 2) ?1.答:A.

第 3 解答过程

注意126 ? 2? 7 ? 9 ,2,7 和 9 两两互质.因为 A ? 0 (mod2), ? 100 ?101?102 ??? 500 ?(100 ? 500)? 401? 2 ? 120300 ? 6 (mod9),

所以 A ? 6 (mod18).(1)

400

400

? ? 又因为103 ? ?1,10 3n ? (?1)n (mod7),所以 A ? (500 ? i) ?10 3i ? (500 ? i) ?(? 1)i

i?0

i?0

? (500 ? 499) ? (498 ? 497) ? (496 ? 495) ? ?? (102 ?101) ?100 ? 300 ? 6 (mod7).(2),(1),(2)两式 以及 7 和 18 互质,知 A ? 6 (mod126).答:C. 另 解 : 126 ? 2? 63 , 63999999 , 999999 ? 106 ?1 ,(106 ?1)(106n ?1), n ? 1,2,3,? 所 以

A ? 100?101200 ?101102?101194 ?103104?101188 ? ?? 497498?106 ? 4 9 9 5 0 0

? 999999B ? 60060300 ? 999999C ? 60360, 其中 B,C 为整数.从而 A ? 63D ? 60360 ? 63E ? 6 ,其中 D,E 为整数.所以 A 除以 63 的余数为 6.因为 A 是偶数,
所以 A 除以 126 的余数也为 6.答:C. 第 4 解答过程

易见 CD2 ? AD? BD ,即(a ? b)2 ? ab ,又已知 a ? b ? 1,故 ab ? 1,a(a ?1) ? 1,a2 ? a ?1 ? 0;b(b ?1) ? 1,

b2 ? b ?1? 0

.显然

uk

是首项为

ak

,公比为

q??b a

的等比数列的前

k ?1 项 和 . 故

uk

?

a k (1 ? q k?1 ) 1? q

?

a k?1 ? (?b) k?1 a?b

,k

? 1,2,3?.

即 uk

? uk ?1

?

a k?1 ? (?b) k?1 a?b

? a k?2 ? (?b)k?2 a?b

?

1 [a k?2 ? a k?1 ? (?b)k?2 ? (?b)k?1 ] a ?b

?

a

1 ?

[a k ?3 b

?

(?b)k?3 ]

?

uk?2 ,

k

? 1,2,3?.

故答案为 A.(易知其余答案均不成立)

另 解 : 易 见 CD2 ? AD? BD , 即 (a ? b)2 ? ab , 又 已 知 a ? b ? 1 , 故 ab ? 1 ,

(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? 12 ? 4 ?1 ? 5 , a ? b ? 5 .解得

a?

5 ?1 ,b ?

5 ?1
.

2

2

显然

uk

是首项为

ak

,公比为

q

?

?

b a

的等比数列的前

k

? 1 项和,故

uk

?

a k (1 ? q k?1 ) 1? q

?

a k?1 ? (?b) k?1 a?b

?

1 [(1? 52

5 )k?1

? (1? 2

5 )k?1 ] ,k

? 1,2,3,?.于是数列 ?uk ?就是斐

波那契数列 1,2,3,5,8,13,21,…,

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它满足递推关系 uk?2 ? uk?1 ? uk , k ? 1,2,3,?.所以答案为 A.
第 5 题解答过程

? ? an 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,…中删去所有能被 2,5 或 11 整除的项之后,把余下的各项按
从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理,1,2,3,4,…, m 中不能被 2,5 或 11 整除的项的个数为

xm

?

m?

?m? ?? 2 ??

?

?m? ?? 5 ??

?

?m? ??11 ??

?

?m? ??55 ??

?

?m? ?? 22 ??

?

?m? ??10 ??

?

?m ??110

? ??



其中 ?a? 不表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分.

估值:设 2007 ?

xm

?

m?

m 2

?

m 5

?m? 11

m 55

?

m 22

?m 10

?m 110

?

m ? (1 ?

1)(1 ? 2

1)(1 ? 1 ) 5 11

? m ? 1 ? 4 ? 10 ? 4 m ,故 m ? 2007? 11 ? 5519 .

2 5 11 11

4





x 5519

?

5519

?

? 5519 ?? 2

? ??

?

? 5519 ?? 5

? ??

?

? 5519 ?? 11

? ??

?

? 5519 ?? 55

? ??

?

? 5519 ?? 22

? ??

?

? 5519 ?? 10

? ??

?

? 5519 ?? 110

? ??

=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007,
并且 5519 不是 2,5,11 的倍数,从而知 a2007 ? 5519 .答:B.

? ? 又解: an 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,…中删去所有能被 2,5 或 11 整除的项之后,把余

下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为 2,5,11 是质数,它们的最小公倍数为 110.易见,-54,-53,…,0,1,
2,3,…,55 中不能被 2,5,11 整除的数为 ?1,? 3,? 7,? 9;?13,?17,?19;? 21, ? 23,? 27,? 29;? 31,? 37,? 39;? 41,? 43,? 47,? 49;? 51,? 53,共 40 个.(或由欧拉公式,1,2,3,…,110

中 不 能 被 2 , 5 , 11 整 除 的 数 的 个 数 , 等 于 1 , 2 , 3 , … , 110 中 与 110 互 质 的 数 的 个 数 , 等 于

?(110)? 110?(1? 1)?(1? 1)?(1? 1 )? 40.)

2

5

11

显然 1,2,3,…中每连续 110 个整数,不能被 2,5,11 整除的数都有 40 个.所以,1,2,3,…,110? 50 ? 5500

中,不能被 2,5,11 整除的数有 40? 50 ? 2000个.大于 5500 中的数不能被 2,5,11 整除的,是 5500+1,5500+3,

5500+7,5500+9,5500+13,5500+17,5500+19,….所以 5519 是第 2007 个不能被 2,5,11 整除的数,亦即所求的

a2007 ? 5519 .答:B.
第 6 题解答过程

显然 A ? 1? cos3? ? 1? cos7? ? ?? 1? cos87?

2

2

2

2

? cos1.5? ? cos3.5? ? cos5.5? ? ?? cos43.5? ;

? sin1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ?? sin 43.5? .
注意到

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2 cos? sin1? ? sin(? ? 1? ) ? sin(? ?1? ) , 2sin? sin1? ? cos(? ?1? ) ? cos(? ? 1? ) ,
所以
? (sin 44.5? ? sin 42.5? ) ? sin 44.5? ? sin 0.5? ? 2cos22.5? sin 22? ,
? (cos 42.5? ? cos 44.5? ) ? cos0.5? ? cos44.5? ? 2sin 22.5? sin 22? .

故 A : B ? (2sin1? ? A ) : (2sin1? ? B ) ? (2 cos 22.5? sin 22 ? ) : (2sin 22.5? sin 22 ? ) ? cot 22.5?

2

2

? 2 ? 1.答:D.

另解: A ? cos1.50 ? cos3.50 ? cos5.50 ? ?? ? cos43.50 , 2

B ? sin1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ?? sin 43.5? , 2

=

sin 22 ? s in 1?

(cos 22.5?

?

i sin

22.5? )

.

因为

A和 2

B 是实数,所以 2

A 2

?

sin 22 ? cos 22.5? s in 1?



B 2

?

sin 22 ? sin 22.5? s in 1?

,

A:B ?

A: 2

B 2

?

cos22.5? sin 22.5?

?

2 cos2 22.5? 2sin 22.5? cos22.5?

1? cos45? ? sin 45?

1? ?

2 2 2

?

2? 2 2

?

2 ?1.

2

答:D. 第 7 解答过程

解:设△ABC 三边长 a,b, c 为整数, a ? b ? c ? 60, a ? b ? c, a,b, c 成等差数列, ?A 为钝角,则必有 2b ? a ? c ,

b2 ? c2 ? a2 . 易解得 60 ? a ? b ? c ? b ? (a ? c) ? b ? 2b ? 3b , b ? 20, a ? c ? 40; b2 ? a2 ? c2

? (a ? c)(a ? c) ,即 20 2 ? 40(a ? c),10 ? a ? c .因此 50 ? (a ? c) ? (a ? c) ? 2a,25 ? a ,即

a ? 26 .另外, b ? c ? a,60 ? a ? b ? c ? a ? a ? 2a, a ? 30, a ? 29 .易检验 (a,b, c)

? (26,20,14),(27,20,13),(28,20,12),(29,20,11) 都是钝角三角形.答:4.
第 8 题解答过程
注意到 x ? 2 ? 2 , y ? 2 ? 2 满足 x2 ? y 2 ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? 4 , x, y ? 0 ,故可令 x ? 2cos? ,
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y ? 2sin? ,0<? < ? .从而 4 cos2 ? ? 2 ? 2 ,- 2 ? 4 cos2 ? ? 2 ,- 2 ? 2 cos2 ? ?1 ? cos 3? ? cos 2? ,

2

2

4

故?

?

3? 8

, an

? (cos3? 8

? i sin

3? )n 8

? cos3n? 8

+

i sin 3n? 8

.

a

n

取实数,当且仅当

s

in

3n? 8

? 0 ,当且仅当 n ? 8k ,k ?Z.满足此条件且 n ? 2007 的最小正整数 n 为

2008 ,此时 an

?

a2008

?

c os 3x2008 ? 8

?

cos753?

?

?1.

答:-1.

第 9 题解答过程

易见奇异数有两类:第一类是质数的立方 p 3 ( p 是质数);第二类是两个不同质数的乘积 p1 p2 ( p1, p2 为不同的
质数).由定义可得

27 ? 33 是奇异数(第一类);

42 ? 2?3? 7 不是奇异数; 69 ? 3? 23是奇异数(第二类); 111 ? 3? 37是奇异数(第二类);

125 ? 53 是奇异数(第一类);

137 是质数,不是奇异数;

343 ? 73 是奇异数(第一类);

899 ? 900 ?1 ? 302 ?12 ?(30 ?1)(30?1)? 31?29 是奇异数(第二类);

3599 ? 3600 ?1 ? 602 ?12 ?(60 ?1)(60?1)? 61?59 是奇异数(第二类);

7999 ? 8000 ?1 ? 20 3 ?13 ? (20 ?1)(20 2 ? 20 ? 1) ? 19 ? 421 是奇异数(第二类).
答:8. 第 10 解答过程
解:将向量 AA1 , AB , AD 分别记为 a , b , c .则 a ? a ? 2 , b ? b ? 3 , c ? c ? 4 ,且易见

AC1 ? a ? b ? c , A1C ? ?a ? b ? c , BD1 ? a ? b ? c , DB1 ? a ? b ? c .

所以

AC1

2

?

(a ? b ? c)2

?

2
a

2
?b

2
?c

?

2(a ? b ? b ? c

? c ? a)

? 22 ? 32 ? 42 ? 2 ? 3 ? 3? 4 ? 4 ? 2 =55,

故 AC1 ? 55 .类似地,可算得, BD1 ? 19 , DB1 ? 15 , CA1 ? 27 =3 3 .

答: 55 , 19 , 15 ,3 3 .
第 11 题解答过程

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令 x?3?t

,易见

x ?t?3 ,

f (x) ? 2x ? 3 ? 2(t ? 3) ? 3 ? 2t ? 3 ,

f (2) (x) ? 2(2t ? 3) ? 3 ? 22 t ? 3,?, f (n) (x) ? 2n t ? 3 ; 令 y ? 1 ? s , 易 见 y ? s ?1 ,

g( y) ? 3y ? 2 ? 3(s ?1) ? 2 ? 3s ?1,g (2) ( y) ? 3(3s ?1) ? 2 ? 32 s ?1,?,g (n) ( y) ? 3n s ?1,n ? 1,2,3,?.

因此,题设方程组可化为 (1)-(2),(2)-(3),(3)-(1)得

所以

x

?

y

?

36 29

(y

?

z)

?

( 36 29

)2

(z

?

x)

?

( 36 29

)3

(x

?

y)

?

x

?

y

?

0

?

y

?

z

?

0

?

x

?

y

?

z

.

代入(1)得

29 (x ? 3) ? 3 ? 36 (x ? 1) ?1, 512(x ? 3) ? 3 ? 729(x ?1) ?1,

512x ?1533 ? 729x ? 728, ? 217x ? 2261, ? 31x ? 323, x ? ? 323 . 31

所以原方程组的解为

x

?

y

?

z

?

?

323 .答:

x

?

y

?

z

?

?

323
.

31

31

第 12 题解答过程

.以VT ?l 表示平面图形 T 绕直线 l 所得旋转体体积.

记直线 AC 为 l ,作 BM, DN ? l ,交 l 于 E, F ,分别交 CD ,AB 于 M , N .过 O 作 PQ ? l ,分别交 AB,CD 于 P,Q .

由 于 O 是 BD 的 中 点 , 所 以 P,Q 分 别 是 BN, DM 的 中 点 . 由 对 称 性 , 易 见 所 求 旋 转 体 体 积 为

V ? V平行四边形ABCD?l ? 2(V?ADN?l ? V平行四边形NPQD?l ) . 由于 AB ? 4,BD ? 2 3,AD ? 2 ,易见 ?ADB ? 90?,?DBA ? 30? ,

AO ? AD2 ? DO2 ? 4 ? 3 ? 7 , AC ? 2 7 . 显 然 ?D A C? ?D C A? ?C A B, DF ? FN . 且

DF ? 2S?ADO ? AD? DO ? 2 3 ? 2 21 , AF ? AD2 ? DF 2 ? 4 ? 12 ? 16 ? 4 .从而由圆锥体积

AO

AO

77

7 77

公式得

V?ADN ?l

? V?ADF?l

?

1 ?? 3

? DF 2 ? AF

?

? ? 12 ? 37

4 ? 16? ? 16 7 7 7 49

7? .

又 CF ? AC ? AF ? 2 7 ? 4 ? 14 ? 4 ? 10 , CO ? AO ? 7 , CF : CO ? DF : QO , 777

QO ? CO ? DF ? 7 ? 2 21 ? 10 ? 1 21 .从而由圆锥体积公式得

CF

7

75

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? ? (12 ? 10 ? 21 ? 7) ? 7? ( 40 ? 7 ) ? 7? ? 1000 ? 343 ? 657 7? .从而

3 7 7 25

49 25

1225 1225

V ? 2(16 7? ? 657 7? ) ? 2 7? (16 ? 657 ) ? 2 7? ? 1057 ? 302 7? .

49

1225

49 1225

1225 175

答:所求体积为 302 7? : 175
第 13 题解答过程

解:I)可设 l : x ? my ? 4 ,与 ? 联立得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 .这是

y

的一元二次方程,由判别式

?

?0

解得

m2

?

4

.记

A(x1 ,

y1),

B(x2 , y2), 则

y1

?

y2

?

? 24m 3m2 ? 4



36 y1 y2 ? 3m2 ? 4 .

由题设条件, OA? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 (my1 ? 4)(my 2 ? 4) ? y1 y2 ? 0 ,

得 (m2

? 1) y1 y2

?

4m( y1

?

y2 )

? 16

?

0 ,即

(m2

?1) ?

36 3m2 ?

4

?

4m ?

? 24m 3m2 ? 4

? 16

?

0



即 9(m2 ? 1) ? 24m2 ? 4(3m2 ? 4) ? 0 .得 ? 3m2 ? 25 ? 0 , m2 ? 25 , ( 1 )2 ? 3 , ?

3 ?m?

3
.

3 m 25 5

5

故 l 的斜率的取值范围为 (? 3 , 3 ) . 55

因为 F(1,0),所以 FA1 ?(x1 ?1,?y1), FB ?(x2 ?1, y2),从而

?

2my1 y2

?

3( y1

?

y2

)

?

2m

?

36 3m2 ?

4

?

3?

? 24m 3m2 ? 4

?

0.

? FA1 与 FB 共线,即 A1 与 F、B 三点共线.

III)假设 q ? 4 ,过 Q(q,0) 的直线与 ? 交于 A、B,且 A 关于长轴的对称点为 A1 ,如果 A1 、F、B 三点共线.我

们另取点 P(4,0) .设直线 AP 与 ? 交于 B1 ,那么如 II)的证明, A1 、F、B 三点必共线.故 B 与 B1 重合,从而直线 AB

和 AB1 重合,就是 AQ 与 AP 重合.所以 P 与 Q 重合, q ? 4 ,与假设矛盾.这就是说, q ? 4 时,三点 A1 、F、B 不能

共线. 第 14 题解答过程

14.解:

1 xn?1

?

2xn 2 xn

?1

?

2xn

?

1 xn

,1 x2
n?1

?

4xn 2

?4?

1 xn 2



1 x2
n?1

?

1

x

2 n

?

4(xn 2

? 1) , n ? 1,2,3?.

页脚内容

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? ? ? 故

2006 n?1

(

1 x2
n?1

?

1 xn 2

)

?

2006
4 (xn2
n?1

?1) ,亦即

1 x2
2007

?

1 x12

2006
? 4 xn2
n ?1

?8024



? 由 x1

? 1得 1 x2
2007

2006
? 4 xn2
n?1

?8025

.(*)

由于

xn?1 xn

?

1 ?1,n 2xn2 ?1

? 1,2,3,?, 且显然 xn

? 0 ,故 ?xn ?是递减数列,且

1

x2

?

x1 2x12 ? 1

?

1 3



x3

?

x2 2x22 ?1

?

3 2 ?1

?

3, 11

9

? ? ? 2006
故 xn2
n?1

?1? (1)2 3

2006
? xn2
n?3

?

1

?

1

?

2006
(

3

)2

9 n?3 11

?1? 1 9

? 9 ? 2004 121

? 151 ,

由(*)式得

8025

?

1 x2
2007

? 4 ?151 ? 8025

? 8629

,1 ? 8629

x2 2007

?

1, 8025

lg

1 8629

?

lg

x2 2007

? lg 1 , 8025

? lg 8629

?

2 lg

x2007

?

? lg 8025

,?4

?

2 lg

x2007

?

?3 , ? 2 ?

lg

x2007

?

?3 2



? k ? ?lg x2007 ? ? ?2 .
第 15 题解答过程

证明:因为△ABC 是锐角三角形,其三边 a, b, c 满足 a,b, c ? 0 ,以及

b ? c ? b, c ? a ? b, a ? b ? c,b2 ? c2 ? a 2 , c2 ? a 2 ? b2 , a 2 ? b2 ? c2 .

因此,由平均不等式可知

? 1 (b2 ? c2 ? a2 )x2 ( y 2 ? z 2 ) ? 1 (c2 ? a2 ? b2 ) y 2 ( z 2 ? x2 ) ? 1 (a2 ? b2 ? c2 )z 2 ( x2 ? y 2 )

2

z2 y2 2

x2 z2 2

y2 x2

? a2 y 2 z 2 ? b2 z 2 x2 ? c2 x2 y 2 ? ( ayz ? bzx ? cxy )2 ? 2(bcx2 ? cay2 ? abz2 ) ,

x2

y2

z2

xyz

从而[(b ? c)2 ? a 2 ]x2 ? [(c ? a)2 ? b2 ]y 2 ? [(a ? b)2 ? c2 ]z 2 ? ( ayz ? bzx ? cxy )2 ? P 2 , xyz
亦即
(a ? b ? c)S ? P2 , S ? P2 . a?b?c

上式取等式当且仅当 x2 ? y 2 ? z 2 ,亦即 x ? y ? z ?

P .因此所求的 S 的最大值为 P2 ,当 S 取最大

a?b?c

a?b?c

页A 脚内容

B lQ

o

x

A B
oF
A1

lQ x

B1
C1 B
C

A1 D1
A D

D QM

C

E

FO

A

NP B

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值时, x ? y ? z ? P . a?b?c

y (第 13 题答图)(第 10y 题答图)(第 12 题答图)
2008 年安徽高中数学竞赛初赛试题

一、选择题

1.若函数 y ? f ? x? 的图象绕原点顺时针旋转 ? 后,与函数 y ? g ? x? 的图象重合,则()
2

(A) g ? x? ? f ?1 ??x?

(B) g ? x? ? f ?1 ? x?

(C) g ? x? ? ? f ?1 ??x?

(D) g ? x? ? ? f ?1 ? x?

2.平面中,到两条相交直线的距离之和为 1 的点的轨迹为()

(A)椭圆 (B)双曲线的一部分

(C)抛物线的一部分 (D)矩形

3.下列 4 个数中与 cos1 ? cos 2 ? ? cos 2008 最接近的是()

(A)-2008 (B)-1

(C)1

(D)2008

4.四面体的 6 个二面角中至多可能有()个钝角。

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

5. 1 写成十进制循环小数的形式 1 ? 0.000498 625498 625 ,其循环节的长度为()

2008

2008

(A)30 (B)40 (C)50 (D)60

6.设多项式 ?1? ?x 2008 ? a0 ? a1x ? ? a2008 x2008 ,则 a0 , a1, , a2008 中共有()个是偶数。

(A)127 (B)1003 (C)1005 (D)1881

二、填空题

n
? ? ? 7.化简多项式 CnkCkm xk?m 1? x n?k ? k ?m

8.函数 f ? x? ?

3 ? 5sin x

的值域为

5 ? 4 cos x ? 3sin x

? ? ? ? 9.若数列

an

满足 a1

?

0, an

?

a1 ? an?1 1 ? a1an?1

,

n?2

,且具有最小正周期 2008,则 a1 ?

10.设非负数 a1, a2 , , a2008 的和等于 1,则 a1a2 ? a2a3 ? ? a a 2007 2008 ? a2008a1 的最大值

? ? 11.设点 A 1,1 ,B、C 在椭圆 x2 ? 3y2 ? 4 上,当直线 BC 的方程为时, ABC 的面积最大。

? ? 12.平面点集 G ? ?i, j? | i ?1, 2, , n; j ?1, 2, , n ,易知 G2 可被 1 个三角形覆盖(即各点在某个三角形的边上),

G3 可被 2 个三角形覆盖,则覆盖 G2008 需要个三角形。
页脚内容

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三、解答题
13.将 6 个形状大小相同的小球(其中红色、黄色、蓝色各 2 个)随机放入 3 个盒子中,每个盒子中恰好放 2 个小球,
记? 为盒中小于颜色相同的盒子的个数,求? 的分布。
? ? ? ? ? ? 14.设 a1 ? 1, an ? ?? nan?1 ?? , n ? 2 ,其中 x 表示不超过 x 的最大整数。证明:无论 a1 取何正整数时,不在数列 an
的素数只有有限多个。
15.设圆 O1 与圆 O2 相交于 A,B 两点,圆 O3 分别与圆 O1 ,圆 O2 外切于 C,D,直线 EF 分别与圆 O1 ,圆 O2 相切于 E,
F,直线 CE 与直线 DF 相交于 G,证明:A,B,G 三点共线。

08 年安徽省高中数学竞赛初赛答案

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)

1.D

2.D

3.B

4.A

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

5.C

6.D

7.

C

m n

8. ?? ? 4 ?5

10 ,

10

? ??

9. tan k? ,正整数 k ? 1003且与 2008 互素。 2008

10.1/ 4 11. x ? 3y ? 2 ? 0

12.1338

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

13.? ? 0,1,3 。

(2 分)

P(? ? 3) ? P(盒①中球同色,盒②中 球同色) ? 1 ? 1 ? 1 。 5 3 15
P(? ? 1) ? 3P(盒①中球同色,盒②中 球异色) ? 3 ? 1 ? (1 ? 1) ? 2 。 5 35
P(? ? 0) ? 1? P(? ? 3) ? P(? ? 1) ? 8 。 15
? ? ? ? 14. a1 ?1,a2 ? 2a1 ?1,a3 ? 3a2 ?1。

(6 分) (6 分) (6 分)
(2 分)

? ? ? ? 当 n ? 4时,利用数学归纳法,得 an ? nan?1 ? n(n ? 3) ? n ? 2 。 (5 分)

页脚内容

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? ? 令 bn ? an ? n ,则有 ? 2 ? bn ?

n(n ?1 ? bn?1)

?

n

?

?bn?1 ? ?? 2

1? ??



(5 分)

? ? 当 bn?1 ? ?1时, bn ? n(n ? 2) ? n ? ?1。

(5 分)

故当 n 充分大时, bn ? ?2 ,不在数列{an } 中的正整数只有有限多个。 (3 分)

15.以 EF 为 x 轴, O1E 为 y 轴,建立平面直角坐标系。设 E(0,0) , F(c,0) , (1 分)

⊙O1 : x 2 ? ( y ? r1 )2 ? r12 ,

(1 分)

⊙O2 : (x ? c)2 ? ( y ? r2 )2 ? r22 ,

⊙O3 : (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r32 ,

其中

a,

b

满足

?a 2 ? ?(a

? (b ? r1 )2 ? (r1 ? c)2 ? (b ? r2 )2

? r3 )2 ? (r2

?

r3

)

2

① ②

于是, AB : 2cx ? c2 ? 2(r2 ? r1 ) y ? 0 ,

(1 分) (1 分) (2 分) (2 分)

C : r3 (0, r1 ) ? r1 (a, b) ? r1 (a, r3 ? b) ,

r1 ? r3 r1 ? r3

r1 ? r3

(2 分)

D : r3 (c, r2 ) ? r2 (a, b) ? (r2a ? r3c, r2b) ,

r2 ? r3 r2 ? r3

r2 ? r3

(2 分)

CE : (r3 ? b)x ? ay ? 0 ,

(2 分)

DF : (r3 ? b)( x ? c) ? (a ? c) y ? 0 ,

(2 分)

G : (a, r3 ? b) 。 由①-②知,点 G 的坐标满足直线 AB 的方程。

(2 分) (2 分)

注:对于几何证法,如果无法列举所有情形,得分减半。
2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)

1.函数 f (x) ? 2x ? 4x ? x2 的值域是. 2.函数 y ? 的图象与 y ? ex 的图象关于直线 x ? y ? 1对称.

页脚内容

精心整理 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于.
4.设椭圆 x2 ? y2 ? 1与双曲线 xy ? 1相切,则 t ? . t ?1 t ?1
5.设 z 是复数,则 | z ?1| ? | z ? i | ? | z ?1| 的最小值等于.

6.设 a , b , c 是实数,若方程 x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 的三个根构成公差为 1 的等差数列,则 a , b , c 应满足的充
分必要条件是.
7.设 O 是 ?ABC 的内心, AB ? 5 , AC ? 6 , BC ? 7 , OP ? xOA ? yOB ? zOC , 0 ? x, y, z ? 1,动点 P 的
轨迹所覆盖的平面区域的面积等于. 8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是.
二、解答题(共 86 分)

? ? 9.(20 分)设数列

an

满足 a1

?

0 , an

?

2 1 ? an?1

,n

?

2 .求 an

的通项公式.

10.(22 分)求最小正整数 n 使得 n2 ? n ? 24 可被 2010 整除.
11.(22 分)已知 ?ABC 的三边长度各不相等, D , E , F 分别是 ?A ,?B ,?C 的平分线与边 BC ,CA , AB 的垂直平分线的交点.求证: ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积. 12.(22 分)桌上放有 n 根火柴,甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取,第一次可取走至多 n ?1根火柴,此后每人每 次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最后一根火柴者获胜.问:当 n ? 100 时,甲是否
有获胜策略?请详细说明理由.
10 年安徽省高中数学竞赛初赛答案

1.答案: ??4 ? 2 5,8?? . 提示:因 0 ? x ? 4,设 x ? 2 ? 2cos? ( 0 ? ? ? ? ),

则 y ? 4 cos? ? 2sin ? ? 4 ? 2 5 cos(? ? ?) ? 4 (其中 cos? ? 2 , sin? ? 1 ,? 为锐角),

5

5

所以当? ? 0 时, ymax ? 8 ,当? ?? ? ? 时, ymin ? 4 ? 2 5 ,故 y ? ??4 ? 2 5,8?? . 2.答案:1? ln(1? x)

提示:因两函数图象关于直线 x ? y ? 1对称,所以 x ? y ?1, y ?1? x ,

∴1? x ? e1?y ,解得 y ? 1? ln(1? x) .
3.答案: ? 1 3
提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以任意
面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角 ? 的两倍.∵

两个相邻

页脚内容

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tan? ?

2

,∴ cos2 ?

?

1

?

1 tan

2

?

?

1 3

,则 cos 2?

?

2 cos2 ?

?1? ? 1 3

.

4.答案: 5

提示:由椭圆方程 x2 ? y2 ? 1知, t ? 1, t ?1 t ?1

设其参数方程为

?? ?

x

?

t ?1 cos? (? 为参数)代入双曲线方程 xy ? 1,得 sin 2? ?

2

.

?? y ? t ?1sin?

t2 ?1

因两曲线相切,∴ 2 ? 1 ,故 t ? 5 . t2 ?1

5.答案:1? 3

提示:在复平面上,设 A(?1, 0) , B(1, 0) , C(0,1) ,则当 Z 为 ?ABC 的费马点时, | z ?1| ? | z ? i | ? | z ?1| 取得

最小值,最小值为1? 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 1? 3 . 33 3

6.答案: b ? a2 ?1 且 c ? a3 ? a .

3

27 3

提 示 : 设 三 个 根 为 ? ?1 , ? , ? ?1 , 则

x3 ? ax2 ? bx ? c ? (x ?? ?1)(x ?? )(x ?? ?1) ,

右 边 展 开 与 左 边 比 较 得 ?a ? 3? ,

b ? (? ?1)? ? ? (? ?1) ? (? ?1)(? ?1) ? 3? 2 ?1



?c

?

(?

?1)? (?

?1) ,消去?



???b ? ???c

? ?

a2 3 a3 27

?1 ?a
3

,这就是所求的充

要条件.

7.答案:12 6 提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 P 在图中的三个平形四边形及其内部运动,所以动点 P 的轨迹所覆
盖的平面区域的面积等于等于 ?ABC 面积的 2 倍,即12 6 . 8.答案: 6
7 提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 C83 个三角形,其中直角三角形有12 ? C43 个,所求“构成直角

三角形”的概率是 12 ? C43 ? 6 .

C83

7

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9.解:特征根法.又

an

?

2

?

4 ? 2an?1 1 ? an?1



an

?1 ?

1? 1?

an?1 an?1

,…………(10

分)

得 an ? 2 ? (?2) ? an?1 ? 2 ? (?2)2 an?2 ? 2 ?

an ?1

an?1 ?1

an?2 ?1

?

(?2)n

,于是 an

?

(?2)n (?2)n

?2 ?1

.…(20

分)

10.解: 2010 |

n2

? n ? 24

?

?n2

? ?n

2

? ?n

2

??n2

? ? ? ?

n ? 24 n ? 24 n ? 24 n ? 24

? ? ? ?

0 mod 2 0 mod 3 0 mod 5 0 mod 67

?

?n2 ??n2
??n2

? ? ?

n n n

? 0 mod 3 ? 1mod 5 ……(10 ? 43mod 67

分)

又 n2 ? n ? 0 mod 3 ? n ? 0 或 2mod3 , n2 ? n ? 1mod 5 ? n ? 2 mod 5 ,

n2 ? n ? 43mod 67 ? n ? 10 或 56 mod 67 ,故所求最小正整数 n ? 77 .…………(22 分)

11.证明:由题设可证 A , B C , D , E , F 六点共圆.…………(10 分)

不妨设圆半径为

1,则有

S?ABC

?

1 (sin 2A ? sin 2B ? sin 2C) 2

, S?DEF

?

1 (sin 2

A ? sin

B

? sin C) .

由于 sin 2A? sin 2B ? sin 2C

∴ ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积.…………(22 分)

12.解:把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为: n1 , n2 , n3 ,…,不难发现其前 4 项分别

为 2,3,5,8.下面我们用数学归纳法证明:

? ? (1) ni 满足 ni?1 ? ni ? ni?1 ;

(2)当 n ? ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? ni?1 ;

(3)当 ni ? n ? ni?1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ? ni .

……………………………………(10 分)

设k

? n ? ni ( i ? 4 ),注意到 ni?2

?

ni 2

? ni?1 .

当1 ?

k

?

ni 2

时,甲第一次时可取

k

根火柴,剩余

ni

?

2k

根火柴,乙无法获胜.

当 ni 2

?k

? ni?1 时,ni?2

?k

? ni?1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ? ni?2 ,

剩余 ni ? 2ni?2 根火柴,乙无法获胜.

当 k ? ni?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ? k ,则乙可取走所有剩小的火柴;若 m ? k ,则根据归纳假

设,乙总可以取到第 k 根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? ni?2 ,剩余 ni ? 2ni?2 根火柴,甲无法获胜.

综上可知, ni?1 ? ni ? ni?1 .

页脚内容

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? ? 因为 100 不在数列 ni ,所以当 n ?100 时,甲有获胜策略.…………(22 分)

2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)
1 . 以 X 表 示 集 合 X 的 元 素 个 数 . 若 有 限 集 合 A, B,C 满 足 A ? B ? 20 , B ? C ? 30 , C ? A ? 40 , 则 A ? B ? C 的最大可能值为

2.设 a 是正实数.若 f (x) ? x2 ? 6ax ?10a2 ? x2 ? 2ax ? 5a2,x ? R 的最小值为 10,则 a ?

3 . 已 知 实 系 数 多 项 式 f (x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满 足

f (1) ? 2 , f (2) ? 4 , f (3) ? 6 ,则 f (0) ? f (4) 的所有可能值
集合为

第5题 第6题

4 . 设 展 开 式 (5x ? 1)n ? a0 ? a1x ? ? ? an x n,n ? 2 0 1 1. 若 a2011 ? max( a0 , a1,?, an ) ,则 n ?
5.在如图所示的长方体 ABCD? EFGH 中,设 P 是矩形 EFGH 的 中心,线段 AP 交平面 BDE于点 Q .若 AB ? 3 , AD ? 2 ,

AE ? 1,则 PQ ?

.

6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外侧滚动,其扫过
区域的面积为.
7.设直角坐标平面上的点 (x, y) 与复数 x ? y i 一一对应.若点 A, B 分别对应复数 z, z ?1 ( z ? R ),则直线 AB 与 x

轴的交点对应复数(用 z 表示).
8.设 n 是大于 4 的偶数.随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概率为. 二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分)

9. 已知数列{an } 满足 a1

?

a2

? 1, an

?1?

a1

? ? ? an?2 4

( n ? 3 ),求 an 的通项公式.

10.已知正整数

a1 ,

a2

,?,

an

都是合数,并且两两互素,求证:

1 a1

?1 a2

??? 1 an

?

1
.
2

11.设 f (x) ? ax3 ? bx ? c ( a,b, c 是实数),当 0 ? x ? 1时, 0 ? f (x) ? 1.求 b 的最大可能值.

12.设点 A(?1,0),B(1,0),C(2,0) , D 在双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的左支上, D ? A ,直线 CD 交双曲线 x2 ? y 2 ? 1

的右支于点 E .求证:直线 AD 与 BE的交点 P 在直线 x ? 1 上. 2

2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛答案

1.10.2.2.3.{32}.4.2413.5. 17 .6. 6ar ? 4 π r 2 .7. z ? z .

4

1 ? zz

页脚内容

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8.

3

.

(n ? 1)(n ? 3)

9. an ? 1? a1 ?

? an?2 4

? an?1 ?

an?2 4

?

an

?

an?1 2

?

1 2

? ??

an?1

?

an?2 2

? ??

?

?1 2n?1

?

2n?1 an ? 2n?2 an?1 ? 1 ? ? ? n

?

n an ? 2n?1 .

10.设 ak 的最小素因子 pk ,因为 ak 不是素数,所以 ak ? pk2 .于是

11.由

? ?? ?

f f

(0) ? c (1) ? a

?

b

?

c

? ??

f

(

1 3

)

?

a?
33

b ?c
3

可知

f

(x)

?

33 2

(x

?

x3)

满足题设,

b

的最大可能值为

33 2

.

12.设 D(x1, y1),E(x2 , y2 ),P(x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k(x ? 2) ,则

x2 ? k 2 (x ? 2)2 ? 1 ,所以

所以

x1

?

x2

?

?4k 2 1? k2

,x1

x2

?

?

1? 4k 2 1? k2

?

?1?

5 4

(

x1

?

x2 ) ,①

y1 (x ?1) ? y ? y2 (x ?1) ,

x1 ?1

x2 ?1

y2 ? y1

x2 ? 2 ? x1 ? 2

x?

x2 ?1 y2 ?

x1 ?1 y1

?

x2 ?1 x2 ? 2 ?

x1 ?1 x1 ? 2

?

2x1x2 ? 3x1 ? x2 3x2 ? x1 ? 4



x2 ?1 x1 ?1 x2 ?1 x1 ?1

把①代入上式,得 x ? 1 . 2
2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷 一.填空题(每题 8 分,共 64 分)
1.函数 f (x) ? | x +1|+| x -1|+ 4 - x2 的值域是 2.方程 sin(2013 兀 x)= x2013 的实数根为 3.化简 sin12? sin 48? sin 54? =(用数字作答)
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4.设数列{ a n }满足 a1 ? a 2 ? 1, a n ? 3a n?1 ? a n?2 (n ? 3) ,则 a 2013 ?

? AP

?

2

? ( AB

?

? AC)

5.设Δ ABC 的外接圆圆心 P 满足

5

,则 cos ?BAC =

6.设复数 z=x+yi 满足 z ?1 的实部和虚部之比为 3 ,其中 i 是虚数单位,x,y? R ,则 y 的最大值为

z ?1

x

? ? ? ? 7.设 1? x ? x2 150 = 300 ck xk ,其中 c0 ,..., c300 是常数,则 300 c3k =

k?0

k?0

8.随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为

二.解答题(第 9-10 每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分)

9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧面长为 2,求其体积和内切球的半径.
10.求所有函数 f : R ? R ,使得对任意的 x,y 都有

11.设 a,b,c 是不全为 0 的实数,求 F= ab ? bc ? c2 的取值范围,a,b,c 分别满足什么条件时,F 取最大值和最小值? a2 ? 2b2 ? 3c2

12.设数列{ an

}满足 a1

? 1, a2

?

2, an

?(1? an?1)2 (n an?2

?

3)

(1)求数列{ an }的通项公式;

(2)求证:对任意的正整数 k,

a2k ?1 和

a2k 都是整数. 2

2013 安徽高中数学竞赛初赛试题答案

2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

一、填空题(每题8分,共64分)

1.函数

y

?

x2 x2

? 2x ?3 ? 4x ?5

(x ? R) 的值域是_______________.

2.函数 y ? tan(2013x) ? tan(2014x) ? tan(2015x) 在[0,? ]中的零点个数是__________.

3.设定点 A(2,1) ,动点 B 在 x 轴上,动点 C 在直线 y ? x 上,则 ?ABC 的周长的最小值是________.

4.设 P1, P2 是平面上两点, P2k?1 是 P2k 关于 P1 的对称点, P2k?2 是 P2k?1 关于 P2 的对称点, k ? N* .若| P1P2 |? 1, 则 | P P 2013 2014 |? __________.
5.已知四面体 ABCD 的侧面展开图如下图所示,则其体积是__________. 6.设复数 z 满足| z ? 1 |? 2 ,则| z | 的取值范围是_______________.
z
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7.设动点 P(t, 0),Q(1,t) ,其中参数 t ?[0,1] ,则线段 PQ 扫过的平面区域的面积是_____________.

8.从正12边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是___________.

二、解答题(第9—10题每题21分,第11—12题22分,共86分)

9.已知正实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1.求证: z ? y ? x ? z ? y ? x ? 0 . x ? 2y y ? 2z z ? 2x

10.设数列 {an } 满足

a1

? 1,

an?1

?

an2 ? 3 2an

,

n

?

1

.求证:

(1)当 n ? 2 时, an 严格单调递减.(2)当 n ?1时,| an?1 ?

3 |? 2

r 2n 3 1? r2n

,这里 r

? 2?

3.

11.已知平面凸四边形 ABCD 的面积为1.求证:

| AB | ? | AC | ? | AD | ? | BC | ? | BD | ? | CD |? 4 ? 2 2 .

12.求证:(1)方程 x3 ? x ?1 ? 0 恰有一个实根 ? ,并且 ? 是无理数;

(2) ? 不是任何整数系数二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a,b, c ? Z , a ? 0) 的根.

2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案

2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00—11:30) 一、填空题(每题 8 分,共 64 分)

1. 函数 f (x) ? x ?1 ? x ? 3 ? e?x ,x ? R的最小值是



2.

设 x1

? 1,xn

?

xn?1 ? 1 ,n 2xn?1 ? 4

?

2 .数列{xn } 的通项公式是 xn

?



3. 设平面向量?, ? 满足1 ?| ? |,| ? |,| ? ? ? |? 3 ,则? ? ? 的取值范围是



4. 设 f (x) 是定义域为 R 的具有周期 2? 的奇函数,并且 f (3) ? f (4) ? 0 ,则 f (x) 在[0,10]中至少有

个零点.

5. 设 a 为实数,且关于 x 的方程 (a ? cosx)(a ? sin x) ? 1有实根,则 a 的取值范围是

.

6. 给定定点 P(0,1) ,动点 Q 满足线段 PQ 的垂直平分线与抛物线 y ? x2 相切,则 Q 的轨迹方程





7. 设 z ? x ? yi 为复数,其中 x, y 是实数, i 是虚数单位,其满足 z 的虚部和 z ? i 的实部均非负, 1? z
则满足条件的复平面上的点集 (x, y) 所构成区域的面积是



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8. 设 n 是正整数.把男女乒乓球选手各 3n 人配成男双、女双、混双各 n 对,每位选手均不兼项,

则配对方式总数是



二、解答题(第 9 题 20 分,第 10━12 题 22 分,共 86 分)

9. 设正实数 a, b 满足 a ? b ? 1.求证: a 2 ? 1 ? b2 ? 1 ? 3 .

a

b

10. 在如图所示的多面体 ABCDEF中,已知 AD, BE,CF 都与平面

ABC垂直.设 AD ? a,BE ? b,CF ? c , AB ? AC ? BC ?1.求

四面体 ABCE与 BDEF公共部分的体积(用 a,b, c 表示).

11. 设平面四边形 ABCD的四边长分别为 4 个连续的正整数。证明:

四边形 ABCD的面积的最大值不是整数。

12. 已知 31 位学生参加了某次考试,考试共有 10 道题,每位学生解出了至少 6 道题.求证:存在

两位学生,他们解出的题目中至少有 5 道相同.

2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案

一、填空题(每题 8 分,共 64 分)

1. 当 x ? ?3 时,f(x ) ? ?2x ? 4 ? e?x ,f ?(x ) ? ?2 ? e?x ? 0 ,因此f(x )单调减;当 ? 3 ? x ? ?1时,f(x ) ? 2 ? e?x ,f ?(x ) ? ? e?x ? 0 ,此时 f (x) 亦单调减;当 x ? ?1时, f(x ) ? 2x ? 4 ? e?x ,f ?(x ) ? 2 ? e?x .令f ?(x ) ? 0 得 x ? ? ln 2.因此 f (x) 在 x ? ? ln 2 处
取得最小值 6-2ln2. 2. 设 u ? a ? cosx,v ? a ? sin x .方程有实根 ? 双曲线 uv ? 1与圆 (u ? a)2 ? (v ? a)2 ? 1有公共交点.
注意到圆的圆心位于直线 y ? x 之上,只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.易计算得,

圆与双曲线切于 A(1,1)点时,圆心坐标为1 ? 2 / 2 或1 ? 2 / 2 .圆与双曲线切于 B(-1,-1)点

时,圆心坐标为 ? 1 ? 2 / 2 或 ? 1 ? 2 / 2 .

因此,a 的取值范围为a

?

? ??

1

?

??

2 2

,?1

?

2?

2

? ??

?

? ?1 ??

?

2 2

,1

?

2 2

? ? ??



3.



xn

?1

?

3

xn?1 ? 1 2xn?1 ? 4



2xn

?1?

2

2xn?1 ?1 2xn?1 ? 4

,可得

xn ?1 2xn ?1

?

3 2

xn?1 ? 1 2xn?1 ? 1

?

?? ?

3 ?n?2 ?
2?



4.

故 xn

?

2n?2 ? 3n?2 2 ? 3n?2 ? 2n?2



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? ? ? ? 5. ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 1? 9 ? 9 ? ?17 .? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 9 .

2

2

2

4

4

6.

以上等号均可取到.故

?

?

?

的取值范围是

????

17 2

,

9? 4 ??



7. 由题设可知f(? ? x ) ? f(?? ? x ) ? ?f(? ? x )。令 x=0 得 f (? ) ? 0 。另一方面,

f(2? ? 4) ? f(?4) ? ?f(4) ? 0.类似地,f(2? - 3) ? 0 因此, f (x) 在[0,10] 中的零点一定包

含 0,2π ? 4,3, π,2π ? 3,4,2π,4π ? 4,2π ? 3,3π,4π ? 3这 11 个零点.

8. 设 PQ 的垂直平分线 l 与抛物线 y ? x2 相切于 (t, t 2 ) ,切向为(1,2t).则 l 的方程为 y ? 2t(x ? t) ? t 2 .设 Q(x, y) ,由 PQ 与 l 垂直且 PQ 中点在 l 上,可得

? x ? 2t( y ?1) ? 0

? ?

1 2

(

y

?

1)

?

tx

?

t

2

① .


由 ① 解得 t ? x ,代入 ② 得 Q 的轨迹方程为 2 ? 2y

(2 y

? 1) x 2

?

2( y

? 1)( y

? 1) 2

?

0,

y

?

????1,

1 2

? ??



9.

Re z ? i 1?z

?

Re x ? (y ? 1)i 1?x ?yi

?

x(1 ? x ) ? (y ? 1)y (1 ? x )2 ? y 2

? 0 等价于

(x

?

1 2

)2

? (y

?

1 2

)2

?

1 2

.又由于

y

? 0 ,故满足条件的点集构成了圆的一部分,计算得其面积为

3? ? 2 . 8

8.从

3n

名男选手中选取

2n

人作为男双选手有

C 2n 3n

种选法,把他们配成

n

对男双选手有

(2n)! 2n n!

种配

对方式。女选手类似。把 n 个男选手和 n 个女选手配成 n 对混双有 n!种配对方式。因此,配对方

式总数是

?? ?

C32nn

C2nn

n! 2n

2
?? n!? ?

(3n)! (n!)3 22n



二、 解答题(第 9 题 20 分,第 10━12 题每题 22 分,共 86 分)

9.证明:对任意a ? (0,1),由均值不等式有

因此,

4a

?

1 a

?

2

4a

?

1 a

?

4.----------------------------------(5 分)

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a 2 ? 1 ? a 2 ? 4a ? 4a ? 1 ? a 2 ? 4a ? 4 ? 2 ? a .------------(15 分)

a

a

同理,对于任意b ? (0,1),

b2

?

1 b

? 2 ? b.

因此, a 2 ? 1 ? b2 ? 1 ? 2 ? a ? 2 ? b ? 3.---------------------(20 分)

a

b

10. 设 AE ? BD ? G,BF ? CE ? H ,则四面体 BEGH 是 ABCE与 BDEF的公共部分.

-----------------------------------------------------(5 分)

易计算得: G

到直线

AB 的距离 d1

?

ab a?b

,---------------------------------(10

分)

G 到平面 BCFE的距离 d2 ?

3d1 ,------------------------------------------(15 分) 2a

H

到直线 BC 的距离 d3

?

bc b?c

, S ?BEH

?

b

? d 3 .----------------(20 分) 2

因此,VBEGH

?

S ?BEHd 2 3

?

12(a

?

3b 3 b)(b

?

.---------------------(22 分) c)

11. 不妨设 ABCD是凸四边形,其面积为 S.记 a ? AB,b ? BC,c ? CD,d ? DA。由

S
12.

?

1 ab sin B
2

?

1 cd
2

sin D,



AC 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos B ? c 2 ? d 2 ? 2cd cos D

可得

2S ? ab sin B ? cd sin D, (a2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ) / 2 ? ab cos B ? cd cos D ,--------------(8 分)

两遍平方和得

等号成立当且仅当 B ? D ? ? ,即 A, B,C, D 四点共圆--------------------(16 分)

现根据假设a,b,c,d 为四个连续整数 n,n ? 1,n ? 2,n ? 3(n ? 1).由此

S ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3).显然 n2 ? 3n ? S ? n2 ? 3n ? 1.因此,S 不是整数。

----------------------------------------------------(22 分) 13. 证明:设 S 是所有试题的集合, S i 是第 i 位学生解出的试题的集合,Ti ? S \ Si .题目即证存在

i ? j 使得 Si ? S j ? 5 .--------------------------------(5 分)

不妨设 Si ? 6,Ti ? 4,?i .S 共有 C130 ? 120 个三元子集,每个Ti 恰包含 4 个三元子集.因此,

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存在 i ? j 使得Ti ,Tj 包含相同的三元子集, Ti ? Tj ? 3 .---(15 分)从而, Si ? S j ? Si ? S j ? Si ? S j ? 2 ? Ti ? Tj ? 5 .-----------------(22 分)
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