高中数学人教a版必修1学案:1.3函数的基本性质知识导学案及答案


1.3 函数的基本性质 知识导学 函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶 性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数 y=f(x),它在某区间上可能 有单调性,也可能没有单调性;即使是同一个函数它在某区间上可能单调递增,而 在另外一区间上可能单调递减;对某一函数 y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单 调增(减)函数,不能说 y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调 1 性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数 y= 在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞) x 上也是减函数,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,因为当取 x1=-1,x2=1 时,对应的函数值为 f(x1)=-1,f(x2)=1,显然有 x1<x2,但 f(x1)<f(x2),不满足 减函数的定义. 函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在 区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函 数,它的图象是沿 x 轴正方向逐渐上升的;在单调区间上的减函数,它的图象是沿 x 轴正方向逐渐下降的. 关于函数的奇偶性的判断,应该注意以下几点:(1)定义域不关于原点对称的函数 一定不是奇偶函数;(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;(3)定义 域关于原点对称,且满足 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)的函数才是偶函数或奇函数. 函数奇偶性的应用:(1)利用奇偶性求有关函数值;(2)利用奇偶性求有关函数的解 析式;(3)利用奇偶性研究函数的其他性质. 另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数 在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数 f(x)在区间 [a,b](0<a<b)上的最大值为-m,最小值为-M;(3)偶函数 f(x)在区间 [a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值. 疑难导析 也存在一些函数,根本就没有单调区间,如函数:f(x)=5x,x∈{1,2,3}. 再者,因为一个固定点的函数值不会发生变化,所以函数的单调性不在某一个点去 讨论,即使在定义域内,也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区 间端点正好是不连续的点). (1)在这个区间上的 x1、x2 必须是任意的. (2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大,小对小”,可以用“荣辱与共”这个词形 容. (3)说增函数必须谈及区间,脱离区间谈增函数是没有意义的. (4)定义的内涵与外延: 内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况; 外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变 化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降 则为减函数. 若 f(x)、g(x)都为增函数(减函数),则 f(x)+g(x)为增函数(减函数). 若 f(x)为增函数,g(x)为减函数,则 f(x)-g(x)为增函数;若 f(x)为减函数,g(x)为增函数, 则 f(x)-g(x)为减函数. 奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反. 奇函数和偶函数还具有以下性质: (1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数. (2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函 数的积(商、分母不为零

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