12-13-1概率统计期中试卷(理工)答案

天津工业大学(2012—2013 学年第一学期)
学 院
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《概率论与数理统计》 (理工类)期中试卷

(2012/11)

特别提示: 请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人 信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有 8 页,共八道大题,请 核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 满分 题号 得分 评阅人 一.填空题(本题满分 28 分) 1.设 A, B 是两个事件, P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.4 , P( AB) ? 0.3 , 则 P( A ? B) = __0.8__, P( B A) = __0.8__. 2.某系统连接方式如图,4 个独立工作的元件 Ak 可靠的概率为 28 一 10 二 12 三 12 四 12 五 10 六 10 七 6 八

装 订 线
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密 封 线
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专 业 班 级

总分 复核

装 订 线

密 封 线
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学 号

pk (k ? 1,2,3,4) .则系统可靠的概率为 ( p1 p2 ? p3 ? p1 p2 p3 ) p4 .
A1

装 订 线

姓 名

密 封 线
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A2

A4

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A3
3.一袋中装有 7 只球,其中 3 只白球、4 只红球,现从袋中依 次取出 3 只球,取到的白球的数目为 X ,则 X 的分布律在有放回

3 4 P( X ? k ) ? C3k ( ) k ( ) 3? k , k ? 0,1,2,3. 情形下为 ;在不放回情形下为 7 7
k 3?k 3 P( X ? k ) ? C3 C4 / C7 , k ? 0,1,2,3.

1

? Ax, 0 ? x ? 1 4.设随机变量 X 的概率密度 f X ( x) ? ? ,则常数 A =__2__, 其它 ? 0,
?2 ? ( y ? 1) , 1 ? y ? 4 Y ? 3 X ? 1 的概率密度 fY ( y) ? ? 9 . ? 其它 ? 0,
5.设随机变量 X 的分布律为

X
pk

0

1
0.5

2
0.2

0.3

x?0 ? 0, ?0.3, 0 ? x ? 1 ? 则 X 的分布函数为 FX ( x) ? ? . 0 . 8 , 1 ? x ? 2 ? ? x?2 ?1
6.设随机变量 X ~ ?( λ) (泊松分布) ,且 P( X ? 0) ? e?2 ,则常数

λ =__2__,概率 P( X ? 2) ? 5e?2 .
7 . 设 随 机 变 量 X ~ U (1, 6) ( 均 匀 分 布 ) ,则 X 的概率密度函数为

?1 ? , 1? x ? 6 2 f X ( x) ? ? 5 ,关于 t 的二次方程 t ? Xt ? 1 ? 0 有实根的概率为 ? 其它 ?0,
__0.8__. 8.设随机变量 X 的概率密度函数为

f ( x) ?
则Y ?

1 2 ?

e

?

( x ?3)2 4

, ?? ? x ? ??

X ?3 ~ N (0,1) (写出分布类型及参数) ;而概率 P(Y ? ?2) = 0.9772 (已 2

知 ?(2) ? 0.9772) .

2

二. (本题满分 10 分)设某厂有甲乙丙三条流水线生产同一种

学 院

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产品,产量分别占 15%,80%,5%;次品率分别为 0.02,0.01 和 0.03; 三条流水线的产品混放在同一库房。 记事件 Ai (i ? 1,2,3) 为 “库 房中的一件产品来自第 i 条流水线” , D 为“一件产品是次品” . (1)写出概率 P( Ai ) , (i ? 1,2,3) ; 解: P( A1 ) ? 0.15, P( A2 ) ? 0.80, P( A3 ) ? 0.05.

装 订 线
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密 封 线
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专 业 班 级

(2)写出条件概率 P( D Ai ) , (i ? 1,2,3) ; 解: P(D A1 ) ? 0.02, P(D A2 ) ? 0.01, P(D A3 ) ? 0.03.

装 订 线

密 封 线
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(3)求从库房取到了一件次品的概率; 解:由全概率公式知

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学 号

P( D) ? ? P( Ai ) P( D Ai )
i ?1

3

装 订 线

姓 名

密 封 线
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? 0.15? 0.02 ? 0.80? 0.01? 0.05? 0.03 ? 0.0125
(4)已知从库房取到了一件次品,求它来自第 3 条流水线的 概率. 解:由贝叶斯公式知

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P( A3 D) ?

P( A3 ) P( D A3 )

P( D) 0.03? 0.05 3 ? ? 0.12或 . 0.0125 25
3

三. (本题满分 12 分)设某种型号的电子元件的寿命 X (单位:小时) 的概率密度函数为

?1000 , x ? 1000 ? f X ( x) ? ? x 2 ? 其它 ? 0,
(1)求元件的使用寿命在 1500 小时以下的概率;

解: P ( X ? 1500 ) ?

?

1500

??

f X ( x)dx ? ?

1000 dx 1000 x 2
1500

1000 1 ? [ 2 ]1000 . 1500 ? x 3
(2)现有 5 个这种元件独立工作,以 Y 表示其中寿命小 1500 小时的元件个 数. 写出 Y 的分布律; 解: Y ~ b(5,

1 ). 3

分布律为

1 2 P(Y ? k ) ? C5k ( ) k ( ) 5? k , k ? 0,1,2,3,4,5. 3 3
(3)求这 5 个元件中最多有 1 个寿命小于 1500 小时的概率. 解: P(Y ? 1) ? P(Y ? 0) ? P(Y ? 0)

1 0 2 5 24 112 1 1 1 2 4 ? C ( ) ( ) ? C5 ( ) ( ) ? 5 ? 7 ? . 3 3 3 3 3 243
0 5

4

四. (本题满分 12 分)设随机变量 X ,Y 相互独立,其联合分布

P(Y ? yi )

1/4

3/4 1

1/8

5

1/24

1/8

1/6

1/6 3

7/24

4

(3) 求 Z 2 ? max( X ,Y ) 的分布律;

1/12

17/24

2

(4) 求 Z3 ? min( X ,Y ) 的分布律.

1/4

1/3

(1) 将上表中的空格填写完全;

2

11/24

3/8

3

2

(2) 求 Z1 ? X ? Y 的分布律;

3

1/8

3/8

1/2

1

1/8

2

Z2

1/8

1

Z3

pk

律满足下表.

P( X ? xi )

X

Z1

1

-----------------------

Y

2

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pk

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密 封 线

专 业 班 级

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----------------------------------------

装 订 线

装 订 线

装 订 线

姓 名

学 院

学 号

密 封 线

密 封 线

---------------------------------------------

pk

5/8

1

5

五. (本题满分 12 分)设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为

? 1, 当 y ? x, 0 ? x ? 1 f ( x, y ) ? ? 其他 ? 0,
(1) 求 X 的边缘概率密度 f X ( x) ; 解: f X ( x) ?
y y=x

?

??

??

f ( x , y)dy
0 x 1

x ? ??? x 1 dy ? 2 x , 0 ? x ? 1 ?? ? 0, 其它 ?

(2) 求条件概率密度 f Y X ( y x) ; 解:当 0 ? x ? 1 时, f Y X ( y x) 有定义,且

y=-x

?1 f ( x , y) ? , 当 y ? x fY X ( y x) ? ? ? 2x f X ( x) ? 其它 ? 0,
1 (3) 求条件概率 P(Y ? 0 X ? ) ; 4

1 ? 1 ?2, 当 y ? 4 ,故 解:由(2) 知, fY X ( y X ? ) ? ? 4 ? ?0, 其它
1 P(Y ? 0 X ? ) ? 4

?

??

0

1 1 1 fY X ( y X ? )dy ? ? 4 2dy ? . 0 4 2

(4) 求概率 P( X ? Y ? 1) . 解: P( X ? Y ? 1) ?

y y=x G 0 1 x x+y=1 y=-x

x ? y ?1

??

f ( x , y )dxdy

? ?? 1 d x d y ?
G

1 1 1 ?1? (1 ? ) ? . 2 2 4
6

六. (本题满分 10 分)

学 院

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设随机变量 X 与 Y 相互独立,且概率密度分别为

装 订 线
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密 封 线
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?1, 0 ? x ? 1 f X ( x) ? ? , 0 , 其它 ?

? y ? y2 ? e 2b , y ? 0 fY ( y ) ? ? b 2 ? 0, 其它 ?
2

专 业 班 级

求 Z ? X ? Y 的概率分布密度 f Z ( z ) . 解: X 与 Y 相互独立, Z ? X ? Y ,故有卷积公式

f Z ( z) ? ? f X ( z ? y) fY ( y)dy
??

??

装 订 线

?0 ? z ? y ? 1 ? z ? 1 ? y ? z 而 f X ( z ? y ) fY ( y ) ? 0 ? ? ?? . y?0 y?0 ? ?
y y=z y=z-1 0 (1) z ? 0 时, f Z ( z) ? 0 ; 1 z

如图

密 封 线
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学 号

装 订 线

姓 名

密 封 线
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? 2 ? 2 y ? 2 z (2) 0 ? z ? 1 时, f Z ( z ) ? ? 1? 2 e 2b dy ? [e 2 b ]0 ? 1 ? e 2 b ; 0 b

z

y2

y2

z2

---------------------------------------------

y ( z ?1) z ? 2 ? ? 2 y ? 2b 2 2 z ?1 2 b 2 b 2 dy ? [e ]z ? e ?e b . (3) z ? 1 时, f Z ( z ) ? ?z ?11? 2 e b

z

y2

2

2

2

综上知

0, z?0 ? ? z2 ? 2 ? f Z ( z ) ? ? 1 ? e 2b , 0 ? z ? 1 . ? ( z ?1)2 z2 ? ? 2 2 ?e 2b ? e 2b , z ? 1 ?
7

七.(本题满分 10 分)设随机变量 X 服从指数分布,概率密度为
1 x ? 1 ?θ ? e f ( x) ? ? θ ? ? 0

x?0 x?0

证明: 对任意正数 s , t 有 P( X ? s ? t X ? s) ? P( X ? t ). (此性质称为指数 分布的“无记忆性” . ) 证明: 右式 ? P( X ? t ) ?

?

? t

f ( x)dx ? ?

? t

1 t ? x ? 1 ?θ x t θ θ e dx ? [e ]? ? e . θ

1

左式 ? P( X ? s ? t X ? s) ?

P( X ? s ? t , X ? s ) P( X ? s ? t ) ? P( X ? t ) P( X ? t )

?

e

?

s ?t θ s θ

e

?

?e

?

t θ

? P( X ? t ) ? 右式 .

证毕.

八.(本题满分 6 分)已知若事件 A1 , A2 同时发生,则事件 A 必然发生, 证明: P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 1 . 证明: 因为若事件 A1 , A2 同时发生,则事件 A 必然发生, 故 A1 A2 ? A ,从而 P( A 1 A2 ) ? P( A). 又因为 P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A1 A2 ) ? 1 所以 P( A1 A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 1 结合(1) (2)知 (2) (1)

P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 1 .

证毕.

8


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