新版江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学试题(含答案)

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20xx-20xx 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

数学Ⅰ试题 20xx.3
一、填空题(70 分)

1.已知集合 A ? ?x ?1 ? x ? 1?, B ? ?x x ? 0? ,则 A B ?



2.若复数 5 ? m (i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 m ?



1? 2i

3.双曲线 x2 ? y2 ? 1 的离心率为



2

4.在一次满分为 160 分的数学考试中,某班 40 名学生的考试成绩分布如下:

成绩(分) 80 分以下 [80,100) [100,120) [120,140) [140,160]

人数

8

8

12

10

2

在该班随机抽取一名学生,则该生在这次考试中成绩在 120 分以上 P





的概率

5.函数 y ? ln(x2 ? 2) 的定义域为



6.如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , 底面 ABCD 是矩形, AB ? 2 , AD ? 3 , PA ? 4 , 点 E 为棱 CD 上一点,则三棱锥 E-PAB 的体积为


B

A (第6题)

D E C

7.右图是一个算法流程图,则输出的 x 的值为



8.已知等比数列?an? 的各项均为正数,若 a4 ? a22 ,

a2

?

a4

?

5 16

,则

a5

?



9.若曲线 C1 : y ? ax3 ? 6x2 ?12x 与曲线 C2 : y ? ex 在 x ?1

处的两条切线互相垂直,则实数 a 的值为



10.设函数 f (x) ? sin(ωx ? φ) ? 3 cos(ωx ? φ)(ω ? 0, φ ? π) 2
的最小正周期为 π ,且满足 f (?x) ? f (x) ,则函数 f (x)

的单调增区间为



开始

n←1 ,x←1

x←

x x+1

yn ←← 2ny ?? 11

n>5

N

Y

输出 x

结束
(第 7 题)

11.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,

AE 与 BD 交于点 M, AB ? 2 , AD ?1,且

MA? MB ? ? 1 ,则 AB ? AD ?



6

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:

x2 ? ( y ? 3)2 ? 2 ,点 A 是 x 轴上的一个动点,AP,

AQ 分别切圆 C 于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的取值范围为



13.已知直线 y ? kx ?1与曲线 f (x) ? x ? 1 ? x ? 1 恰有四个不同的交点,则实数 k 的取值

x

x

范围为



14.已知实数 x, y 满足 x ? y ? 0 ,且 x ? y ? 2 ,则 2 ? 1 的最小值为



x ? 3y x ? y

15.已知向量

a

?

? ??

sin(α

?

π 6

),

3???



b

?

(1,

4 cos

a

)



α

? (0,

π)



(1)若 a ⊥ b ,求 tanα 的值; (2)若 a ∥ b ,求 α 的值.

16.如图,四边形 AA1C1C 为矩形,四边形 CC1B1B 为菱形,且平面 CC1B1B ⊥平面 AA1C1C ,

D,E 分别为边 A1B1 , C1C 的中点.

B1

B

(1)求证: BC1 ⊥平面 AB1C ;

(2)求证:DE∥平面 AB1C .

C1

D E

C

A1

(第16题)

A

17.如图,有一段河流,河的一侧是以 O 为圆心,半径为10 3 米的扇形区域 OCD,河的 另一侧是一段笔直的河岸 l,岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距离),且 OB 的连线恰 好与河岸 l 垂直,设 OB 与圆弧 CD 的交点为 E.经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面, 在点 C,点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 45? , 30? 和 60? .
(1)求烟囱 AB 的高度;

(2)如果要在 CE 间修一条直路,求 CE 的长. l

(第 17 题)

18.在平面直角坐标系

xOy

中,已知椭圆

C: x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? b ? 0) 的离心率为

2 ,且过 2

点 (1, 6 ) ,过椭圆的左顶点 A 作直线 l ? x 轴,点 M 为直线 l 上的动点,点 B 为椭圆
2

右顶点,直线 BM 交椭圆 C 于 P.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求证: AP ? OM ;

(3)试问 OP ? OM 是否为定值?若是定值,

请求出该定值;若不是定值,请说明理由.

19.已知函数 f (x) ? ex x2 ? a (a…0) . (1)当 a ?1时,求 f (x) 的单调减区间; (2)若存在 m>0,方程 f (x) ? m 恰好有一个正根和一个负根,求实数 m 的最大值.
20.已知数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,设数列{bn}满足bn ? 2(Sn?1 ? Sn )Sn ? n(Sn?1 ? Sn )(n ? N? ) . (1)若数列?an? 为等差数列,且 bn ? 0 ,求数列?an? 的通项公式; (2)若 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,且数列? ? a2n?1 ,?a2n? 都是以 2 为公比的等比数列,求满足不

等式 b2n ? b2n?1 的所有正整数 n 的集合.

20xx-20xx 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

数学ⅠI(附加题)试题

21.A.如图,AB 为圆 O 的切线,A 为切点,C 为线段 AB 的 中点,过 C 作圆 O 的割线 CED(E 在 C,D 之间), 求证:∠CBE=∠BDE.
D

B

EC

O

A

?1

B. 求曲线

x

?

y

? 1在矩阵

M?

? ???0

(第 21A 题)

0?

1

? ?

对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.

3 ??

C.在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 r ? 2cosq ? 2sin q ,以极点为坐标原点,极轴



x

轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线

l

的参数方程为

?? ?

x

?

1

?

t,

( t 为参数),求直线 l

?? y ? 3t

被曲线 C 所截得的弦长.

D.求函数 y ? 1 ? x ? 3x ? 2 的最大值.

22.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA ? 底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,
P
?ABC ? 60? , PA ? 6 ,M 为 PC 的中点.

(1)求异面直线 PB 与 MD 所成的角的大小;

(2)求平面 PCD 与平面 PAD 所成的二面角的正弦值.

M

A

D

B

C

(第 22 题)

23.若存在 n 个不同的正整数 a1, a2 ,

, an ,对任意1剟i ? j

n ,都有 ai ? a j ? Z ,则称这 n ai ? a j

个不同的正整数 a1, a2 , , an 为“ n 个好数”. (1)请分别对 n ? 2 , n ? 3构造一组“好数”; (2)证明:对任意正整数 n(n …2) ,均存在“ n 个好数”.

苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学参考答案

一、填空题

1.?x 0 ? x ? 1? 2. ?1 3. 3

4.0.3

? ? 5. ??,? 2 ? ? 2,??

6.4

7. 1 6

8. 1 32

11. 3 4

12.[2 14 , 2 2) 3

二、解答题

9. ? 1 3e

10.[? π ? kπ, kπ],(k ? Z) 2

13.{? 1 ,0, 1} 88

14. 3 ? 2 2 4

15.解:(1)因为 a ⊥ b ,所以 sin(α ? π) ?12cosα ? 0 , ……………………………2 分 6

即 3 sin α ? 1 cosα ?12cosα ? 0 ,即 3 sin α ? 25 cos α ?0 , …………………4 分

2

2

2

2

又 cosα ? 0 ,所以 tan α ? ? 25 3 . ………………………………………………6 分 3

(2)若 a ∥ b ,则 4cos αsin( α ? π) ?3 , 6

……………………………………………8 分

即 4cos α( 3 sin α ? 1 cos α) ? 3 ,

2

2

所以 3 sin 2α ? cos 2α ? 2 , ………………………………………………………10 分

所以 sin(2α ? π) ?1 , ………………………………………………………………11 分 6

因为 α ?(0, π) ,所以 2α ? π ?(π ,13π) , ………………………………………13 分 6 66

所以 2α ? π ? π ,即 α ? π . ……………………………………………………14 分

62

6

16.证明:(1)∵四边形 AA1C1C 为矩形,∴ AC ? C1C ,………………………………2 分

又平面 CC1B1B ⊥平面 AA1C1C ,平面 CC1B1B 平面 AA1C1C = CC1 ,

∴ AC ? 平面 CC1B1B , ……………………………………………………………3 分

∵ C1B ? 平面 CC1B1B ,∴ AC ? C1B , ……………………………………………4 分

又四边形 CC1B1B 为菱形,∴ B1C ? BC1 , …………………………………………5 分

∵ B1C AC ? C , AC ? 平面 AB1C , B1C ? 平面 AB1C ,

∴ BC1 ⊥平面 AB1C .…………………………………………………………………7 分

(2)取 AA1 的中点 F,连 DF,EF,

∵四边形 AA1C1C 为矩形,E,F 分别为 C1C , AA1 的中点,

∴EF∥AC,又 EF ? 平面 AB1C , AC ? 平面 AB1C ,

∴EF∥平面 AB1C , ………………………………………………………………10 分

又∵D,F 分别为边 A1B1 , AA1 的中点,

∴DF∥ AB1 ,又 DF ? 平面 AB1C , AB1 ? 平面 AB1C ,

∴DF∥平面 AB1C ,∵ EF DF ? F , EF ? 平面 DEF, DF ? 平面 DEF,

∴平面 DEF∥平面 AB1C ,…………………………………………………………12 分

∵ DE ? 平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C .…………………………………………14 分

17.解:(1)设 AB 的高度为 h , 在△CAB 中,因为 ?ACB ? 45? ,所以 CB ? h , 在△OAB 中,因为 ?AOB ? 30? , ?AEB ? 60? ,

………………………………1 分 ………………………………2 分

所以 OB ? 3h , EB ? 3 h , ………………………………………………………4 分 3

由题意得 3h ? 3h ? 10 3 ,解得 h ?15 . ………………………………………6 分 3
答:烟囱的高度为 15 米. ……………………………………………………………7 分

(2)在△OBC 中, cos ?COB ? OC2 ? OB2 ? BC2 2OC ? OB

? 300 ? 225? 3 ? 225 ? 5 , 2 ?10 3 ?15 3 6

…………………10 分

所以在△OCE 中, CE2 ? OC2 ? OE2 ? 2OC ? OE cos?COE

答:CE 的长为 10 米.

? 300 ? 300 ? 600? 5 ? 100 . 6

…………………13 分

……………………………………………………………14 分

18.解:(1)∵椭圆 C: x2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 ,

a2 b2

2

∴ a2 ? 2c2 ,则 a2 ? 2b2 ,又椭圆 C 过点 (1, 6 ) ,∴ 1 ? 3 ? 1.…………2 分

2

a2 2b2

∴ a2 ? 4 , b2 ? 2 ,

则椭圆 C 的方程 x2 ? y2 ? 1 . …………………………………………………4 分 42

(2)设直线 BM 的斜率为 k,则直线 BM 的方程为 y ? k(x ? 2) ,设 P(x1, y1) ,

将 y ? k(x ? 2) 代入椭圆 C 的方程 x2 ? y2 ? 1 中并化简得: 42

(2k2 ?1)x2 ? 4k2 x ? 8k2 ? 4 ? 0 ,………………………………………………………6 分

解之得

x1

?

4k 2 2k 2

?2 ?1



x2

?

2,



y1

?

k ( x1

?

2)

?

?4k 2k2 ?1

,从而

4k 2 P(
2k 2

?2 ?1

,

?4k )
2k2 ?1

.………………………………8分

令 x ? ?2 ,得 y ? ?4k ,∴ M (?2, ?4k) , OM ? (?2, ?4k) . ………………………9 分



AP

?

(

4k 2 2k 2

? ?

2 1

?

2,

?4k 2k2 ?

) 1



(

8k 2k 2

2
?

1

,

?4k 2k 2 ?

) 1



…………………………………11





AP ? OM

?

?16k 2 2k2 ?1

?

16k 2 2k2 ?1

?

0,

∴ AP ? OM . ………………………………………………………………………13 分

(3) OP ? OM

?

(

4k 2 2k 2

?2, ?1

?4k 2k2 ?

) 1

?

(?2,

?4k

)

=

?8k2 ? 4 ?16k2 2k2 ?1

?

8k2 ? 4 2k2 ?1

?

4.

∴ OP ? OM 为定值 4.

…………………………………………………………16 分

19.解:(1)当

a

? 1时,

f

(x)

?

??ex (x2 ? 1),

? ??e

x

(1

?

x2

),

x x

? 1, ? 1,

…………………………………1 分

当 x ? 1 时, f ?(x) ? ex (x2 ? 2x ?1) ,

由 f ?(x) ? 0 ,解得 ?1? 2剟x ?1+ 2 ,

所以 f (x) 的单调减区间为[?1 ? 2, ?1] , ………………………………………3 分 当 x ? 1 时, f ?(x) ? ?ex (x2 ? 2x ?1) ,

由 f ?(x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ? 2 或 x…?1+ 2 ,

所以 f (x) 的单调减区间为[?1+ 2,1] , ……………………………………………5 分

综上: f (x) 的单调减区间为[?1+ 2,1] ,[?1 ? 2, ?1] . ………………………6 分

(2) 当 a ? 0 时, f (x) ? ex ? x2 ,则 f ?(x) ? ex ? x2 ? 2x ? ex ? ex x(x ? 2) ,

令 f ?(x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ?2 ,

x

(??, ?2)

?2

f ?(x)

+

0

f (x)



极大值

(?2, 0) - ↘

0 0 极小值

(0, ??) + ↗

所以

f

(x)

有极大值

f

(?2)

?

4 e2

,极小值

f

(0)

?

0 ,…………………………………7





a

?

0 时,

f

(x)

?

??ex (x2 ? a),

? ??e

x

(a

?

x2

),

x x

? ?

a, a,

同(1)的讨论可得, f (x) 在 (??, ? a ? 1 ?1) 上增,在 (? a ?1 ?1, ? a) 上减,

在 (? a, a ? 1 ?1) 上增,在 ( a ? 1 ?1, a ) 上减,在 ( a, ??) 上增,……………8 分

且函数 y ? f (x) 有两个极大值点,

f (?

a ? 1 ?1) ? 2e? ( a?1?1

2e? a?1 ( a ?1 ?1) ?

a ?1 ?1) ,…………………………9 分

e

f(

a ? 1 ?1) ? 2e ( a?1?1

2e a?1 ( a ?1 ?1) ?

a ?1 ?1) ,……………………………10 分

e

且当 x ? a ?1 时, f (a ?1) ? ea?1(a2 ? a ?1) ? e a?1 (

2e a?1 ( a ?1 ?1) ?

a ?1 ?1) ,

e

所以若方程 f (x) ? m 恰好有正根,

则 m ? f ( a ? 1 ?1) (否则至少有二个正根). ……………………………………11 分

又方程 f (x) ? m 恰好有一个负根,则 m ? f (? a ? 1 ?1) . ………………………12 分

令 g(x) ? e?x (x ?1), x …1 ,则 g?(x) ? ?xe?x ? 0 ,
所以 g(x) ? e?x(x ?1) 在 x …1时单调减,即 g(x) ? g(1) ? 2 ,………………………13 分 e
等号当且仅当 x ?1时取到. 所以 f (? a ?1 ?1) ? ( 2)2 ,等号当且仅当 a ? 0 时取到.
e
且此时 f ( a ? 1 ?1) ? 2e ( a?1?1 a ? 1 ?1) ? 0 ,………………………………………14 分

即 f (? a ?1 ?1) ? f ( a ?1 ?1) , …………………………………………………15 分

所以要使方程 f (x) ? m 恰好有一个正根和一个负根, m 的最大值为 4 .………16 分 e2
20.解:(1)设等差数列?an? 的公差为 d ,

所以 an?1 ? a1 ? nd , Sn

n(n ?1) ? na1 ? 2 d



…………………………………………1 分

由 bn ? 2(Sn?1 ? Sn )Sn ? n(Sn?1 ? Sn )(n ? N? ) ,得 bn ? 2an?1Sn ? n(2Sn ? an?1) ,及由 bn ? 0 ,

又由 bn

?

0 ,得 2(a1

?

nd ) ???na1

?

n(n ?1) 2

d

? ??

? n?2na1

? n(n

? 1)d

? a1

? nd ? ?

0

对一切 n ? N? 都成立, ………………………………………………………………3 分

? ? 即 d2 ? d n2 ? (3a1d ? d 2 ? 2a1)n ? 2a12 ? a1d ? a1 ? 0 对一切 n ? N? 都成立.



n

?

1,

n

?

2

,解之得

? ? ?

d a1

? ?

0, 0,



?d ?? a1

? 1, ? 1,

经检验,符合题意,

所以?an? 的通项公式为 an ? 0 或 an ? n . …………………………………………5 分

(2)由题意得 a2n?1 ? 2n?1 , a2n ? 3? 2n?1 , S2n ? 2n ?1 ? 3(2n ?1) ? 4 ? 2n ? 4 ,

S2n?1 ? S2n ? a2n ? 4 ? 2n ? 4 ? 3? 2n?1 ? 5 ? 2n?1 ? 4 .…………………………………6 分

b2n ? 2a2n?1S2n ? 2n(2S2n ? a2n?1) ? 2 ? 2n ? (4 ? 2n ? 4) ? 2n(8 ? 2n ? 8 ? 2n )

? 2n?1(2n?2 ? 9n ? 4) ?16n . ……………………………………………………7 分

b2n?1 ? 2a2nS2n?1 ? (2n ?1)(2S2n?1 ? a2n ) ? 6 ? 2n?1 ? (5 ? 2n?1 ? 4) ? (2n ?1)(10 ? 2n?1 ? 8 ? 3? 2n?1)

? 2n?1(30 ? 2n?1 ? 26n ?11) ? 16n ? 8 .

………………………………………8 分

b2n ? b2n?1 ? 2n?1(2n?2 ? 9n ? 4) ?16n ? [2n?1(30 ? 2n?1 ? 26n ?11) ?16n ? 8]

? 2n (2n?1 ? 5n ? 5) ? 8 ? 22n?1 ? 8 ? 2n (5n ? 5) . ………………………9 分

2

2

记 f (n) ? 22n?1 ? 8 ? 2n (5n ? 5) ,即 f (n) ? 2n[1 ? 2n ? (5n ? 5)] ? 8 , ……………10 分

2

2

2

记 g(n) ? 1 ? 2n ? (5n ? 5) ,

2

2

则 g(n ?1) ? g(n) ? 1 ? 2n?1 ? (5n ? 15) ? 1 ? 2n ? 5n ? 5

2

22

2

? 1 ? 2n ? 5, 2
当 n ?1,2,3 时, g(n ?1) ? g(n) ? 0 ,

当 n?N*时, n ≥4 , g(n ?1) ? g(n) ? 1 ? 2n ? 5 ? 0 , …………………………12 分 2

因为 n ?1时, g(1) ? ?13 ? 0 ,所以 g(4) ? 0 ;且 g(6) ? ? 1 ? 0 ; g(7) ? 53 ? 0 .

2

2

2

所以 f (n) ? 2n[1 ? 2n ? (5n ? 5)] ? 8 在 n ≥7(n ?N*) 时也是单调递增, …………14 分

2

2

n ?1时, f (1) ? ?5 ? 0 ;

n ? 2 时, f (2) ? ?34 ? 0 ;

n ? 3时, f (3) ? ?100 ? 0 ;

n ? 4 时, f (4) ? ?224 ? 0 ;

n ? 5 时, f (5) ? ?360 ? 0 ;

n ? 6 时, f (6) ? ?24 ? 0 ;

n ? 7 时, f (7) ? 3400 ? 0 ,

所以满足条件的正整数 n 的集合为{1,2,3,4,5,6}.………………………16 分

21、A.证明:因为 CA 为圆 O 的切线,

所以 CA2 ? CE ? CD , ………………………………………………………………3 分

又 CA ? CB ,所以 CB2 ? CE ? CD ,即 CB ? CD , CE CB

…………………………5 分

又 ?BCD ? ?BCD ,所以 DBCE ∽ DDCB , …………………………………8 分

所以∠CBE=∠BDE. ………………………………………………………………10 分

?1 0?

B.

解:设点 (x0 , y0 ) 为曲线

x

?

y

? 1上的任一点,在矩阵 M

?

? ???0

1?? 对应的变换作用下 3 ??

得到的点为 (x?, y?) ,

?1 则由 ?
???0

0 1 3

? ? ? ??

? ? ?

x0 y0

? ? ?

?

? ? ?

x?? y???

,………………………………………………………………3



得:

? ? ? ??

x? ? x0 ,

y?

?

1 3

y0

,



? ? ?

x0 y0

? x?, ? 3y?,

………………………………………………………5 分

?1 0?

所以曲线

x

?

y

? 1在矩阵 M

?

? ???0

1?? 对应的变换作用下得到的曲线为 3 ??

x ? 3 y ? 1, ………………………………………………………………………………8 分

所围成的图形为菱形,其面积为 1 ? 2? 2 ? 2 . …………………………………10 分 2 33
C.解:曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 2x ? 2y ? 0 ,

圆心为 (1,1) ,半径为 2 , …………………………………………………………3 分

直线的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ? 0 , ………………………………………5 分

所以圆心到直线的距离为 d ? 3 ?1 ? 3 ? 1 ,

2

2

………………………………8 分

所以弦长 ? 2 2 ? 1 ? 7 . 4
D.选修 4—5:不等式选讲

………………………………………………………10 分

解:因为 ( 1? x ? 3x ? 2)2 ? ( 3 ? 3x ? 1 ? 3x ? 2 ? 1)2 3

≤(3 ? 3x ? 3x ? 2)(1 ?1) ? 20 ,

3

3

……………………………………………3 分

所以 y ? 1? x ? 3x ? 2≤2 15 . 3

………………………………………………5 分

等号当且仅当

3

? 3x 1

?

3x ? 1

2

,即

x

?

7 12

时成立.

3

………………………………8 分

所以 y 的最大值为 2 15 . …………………………………………………………10 分 3

22.解:(1)设 AC 与 BD 交于点 O,以 O 为顶点,向量 OC ,OD 为 x,y 轴,平行于 AP 且方向向上的向量为 z 轴建立直角坐标系.………………………………………………1 分

则 A(?1,0,0) , C(1,0,0) , B(0, ? 3, 0) , D(0, 3,0) , P(?1, 0, 6) ,

所以 M (0,0, 6 ) , MD ? (0, 3, ? 6 ) , PB ? (1, ? 3, ? 6) , ……………………3 分

2

2

cos ? MD, PA ?? MD ? PA ?

?3 ? 3

? 0 .…………………………………4 分

MD PA 3 ? 3 ? 1? 3 ? 6

2

所以异面直线 PB 与 MD 所成的角为 90? . …………………………………………5 分

(2)设平面 PCD 的法向量为 n1 ? (x1, y1, z1) ,平面 PAD 的法向量为 n2 ? (x2 , y2 , z2 ) ,

因为 CD ? (?1, 3,0) , PD ? (1, 3, ? 6) , PA ? (0,0, ? 6) ,



?? ?

n1 ? CD ? ?x1 ? 3y1 ? 0,

令 y1 ? 1 ,得 n1 ? ( 3,1, 2) , ……………………7 分

??n1 ? PD ? x1 ? 3y1 ? 6z1 ? 0,



?? ?

n2 ? PA ? ? 6z2 ? 0,

令 y2 ? ?1 ,得 n2 ? ( 3, ?1, 0) , …………………8 分

??n2 ? PD ? x2 ? 3y2 ? z2 ? 0,

所以 cos ? n1, n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

3?1 ? 6?2

6 6

,所以 sin

?

n1, n2

??

30 .……………10 分 6

23.解:(1)当

n

?

2 时,取数

a1

?1,

a2

?

2 ,因为 2 ?1 1? 2

?

?3? Z

,…………………1



当 n ? 3时,取数 a1

? 2 , a2

? 3 , a3

? 4 ,则

a1 a1

? a2 ? a2

? ?5? Z ,

a2 ? a3 ? ?7 ? Z , a1 ? a3 ? ?3? Z ,…………………………………………………3 分

a2 ? a3

a1 ? a3

即 a1 ? 2 , a2 ? 3 , a3 ? 4 可构成三个好数. ………………………………………4 分 (2)证:①由(1)知当 n ? 2,3 时均存在,

②假设命题当 n ? k(k ? 2,k ?Z) 时,存在 k 个不同的正整数 a1, a2 , , ak ,其中 a1 ? a2 ? ? ak , 使得对任意1剟i ? j k ,都有 ai ? a j ? Z 成立, …………………………………5 分 ai ? a j

则当 n ? k ?1时,构造 k ?1 个数 A, A ? a1, A ? a2 , , A ? ak ,

,(*)

其中 A ? 1? 2 ?3? ? ak ,

若在(*)中取到的是 A 和 A ? ai (i ?

k) ,则

A ? A ? ai A ? A ? ai

? ? 2A ?1? Z ,所以成立, ai

若取到的是 A ? ai (i ? k) 和 A ? a j ( j ? k) ,且 i ? j ,

则 A ? ai ? A ? a j ? 2 A + ai ? a j ,由归纳假设得 ai ? a j ? Z ,

A ? ai ? A ? a j ai ? a j ai ? a j

ai ? a j

又aj

?

ai

?

ak

,所以 a j

?

ai 是

A

的一个因子,即

2A ai ? a j

?Z ,

所以 A ? ai ? A ? a j ? 2A + ai ? a j ? Z , ………………………………………8 分 A ? ai ? A ? a j ai ? a j ai ? a j
所以当 n ? k ?1时也成立. ………………………………………………………9 分 所以对任意正整数 n(n …2) ,均存在“ n 个好数” ……………………………10 分

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