2019-2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数学案苏教版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角 函数学案苏教版必修 4
典题精讲 例 1 计算 sin33°cos27°+sin57°cos63°. 思路解析:题目中都是非特殊角,不能直接计算,可将 sin57°化为 cos33°,cos63°化为 sin27°,再逆用两角和差的正、余弦公式,则迎刃而解. 解:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=

3 . 2 3 . 2

或:原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=

绿色通道:从整体出发,对局部进行三角变换,出现特殊值是求值常用的方法. 变式训练 1 (陕西高考,文 13) cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________. 思路解析:cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-sin43°sin77° =cos120° =-

1 . 2 1 2

答案:-

例 2 已知 α ,β ∈( ?

? ?
2
,

2

),tanα ,tanβ 是一元二次方程 x +33x+4=0 的两根,求

2

α +β . 思路解析:由根与系数关系可得 tanα +tanβ ,tanα tanβ ,因此可先求 tan(α +β ),根据 其正切值就可以求得其角度. 解 : 由 题 意 , 知 tanα +tanβ = ? 3 3 ,tanα tanβ =4,①∴tan(α +β )=

tan? ? tan ? ? 3. 1 ? tan? tan ?
① 知 α ∈(



∵α ,β ∈(

?

?
2

,

β ∈( ?

?
2

? 2

)







?

?
2

,0)



,0)∴α +β ∈(-π ,0).∴α +β = ?

黑色陷阱:本题易由 α ,β ∈( ?

? ?
2
,

2? . 3

? ,而忽视了隐含条件 tanα <0,tanβ <0 对 α ,β 范围的限制. 3
变式训练 2 (湖北高考,理 3) 若△ABC 的内角 A 满足 sin2A=

2

),得 α +β ∈(-π ,π ),从而得出 α +β = ?

2? 或 3

2 ,则 sinA+cosA 等于( 3

)

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

D. ?

5 3

思 路 解 析 : 由 sin2A = 2sinAcosA>0 , 可 知 A 为 锐 角 , 所 以 sinA+cosA>0 , 又 (sinA+cosA) =1+sin2A= 答案:A 例 3 已知 tanα = A.
2

5 3

5? 4

1 1 ? ,tanβ = ,0<α <β < ,则 α +2β 等于( ) 7 3 2 ? 5? ? 7? B. C. 或 D. 4 4 4 4

思路解析:选求 α +2β 的某一三角函数值,显然选择正切较简单.但得出 tan(α +2β )=1, 就判断选项为 B,则非明智之举.

1 3 ? 2 tan ? 3 7 4 =1, 解:∵tan2β = ? ,∴tan(α +2β )= 3 1 ? tan2 ? 4 1? 28 1 ? 3 ∵tanα = <1,∴0<α < .tan2β = <1, 7 4 4 ? 3? ? ∴0<2β < ,∴0<α +2β < .∴α +2β = . 4 4 4
答案:B 黑色陷阱:若本题只考虑 0<α <β <

? 3? ? 5? ,则∴α +2β ∈(0, ),误解为 或 ,原因 2 4 2 4

是忽视了 tanα ,tanβ 的值对 α ,β 取值范围的进一步限制. 变式训练 3

? 3 ? ,π ),sinα = ,则 tan(α + )等于( 5 2 4 1 1 A. B.7 C.D.-7 7 7 ? 3 思路解析:由 α ∈( ,π ),sinα = , 5 2 3 ? 1 ? tan ? 1 则 tanα = ? ,tan(α + )= = . 4 4 1 ? tan ? 7
(2006 福建高考,文 4) 已知 α ∈( 答案:A 例 4 (2006 浙江高考,理 6) 函数 y= A.[-

)

1 3 , ] 2 2

1 sin2x+sinx,x∈R 的值域是( 2 3 1 B.[ ? , ] 2 2



C.[ ?

2 1 2 1 + , + ] 2 2 2 2

D.[ ?

2 1 2 1 - , - ] 2 2 2 2

思路解析:本题考查三角函数的性质,基础题.首先要对所给的函数表达式进行变换,用降 幂公式化为 Asin(ω x+φ )+B 的形式再解.

解:y=

1 1 1 1 ? 1 2 2 sin2x+sin x= sin2x- cos2x+ = sin(2x- )+ . 2 2 2 2 2 4 2

答案:C 绿色通道:三角函数的最值一般有两种思路,一是化为 Asin(ω x+φ )+B 的形式,二是化 2 为 A(sinx-b) +c 的形式利用二次函数的图象求解. 变式训练 4 当 x∈[ ?

? ?
2
,

2

]时,求 f(x)=sin x+2sinxcosx+3cos x 的周期,最大值及此时的 x 值.

2

2

思路解析:首先要对所给的函数表达式进行变换,用降幂公式化为 Asin(ω x+φ )+B 的形式 再解. 解:f(x)=1+cos2x+1+sin2x= 2 sin(2x+ 周期 T=π . 当 x∈[ ? sin(2x+

? )+2. 4

? ?
2
,

? )∈[-1,1],∴f(x)∈[2- 2 ,2+ 2 ]. 4 ? ? ? ∴f(x)max=2+ 2 .由 2x+ =2kπ + 得 x=kπ + . 4 2 8 ? ? ? ? 又∵x∈[ ? , ] ,∴x= .即当 x= 时,f(x)的最大值为 2+ 2 . 2 2 8 8
问题探究 问题 1 如图 3-1-1,在直角坐标系 xOy 中,单位圆 O 与 x 轴交于 P0, 以 Ox 为始边分别作 出角 α ,β ,α -β ,其终边分别和单位圆交于 P1,P2,P3,由| P0 P3 |=| P 2P 1 |,你能否导出两 角差的余弦公式?

2

]时,2x+

? 3? 5? , ∈[, ? ]. 4 4 4

图 3-1-1 导思: 利用向量将三角公式与几何图形联系起来, 向量的“曼妙”让令人生厌的三角公 式摇身一变为婀娜多姿的几何图形,起到了化腐朽为神奇的效果! 探究:能,由已知条件可知点 P0,P1,P2, P3 的坐标分别是 P0(1,0),P1(cosα ,sinα )P2(cosβ ,sinβ ),P3(cos(α -β ),sin(α -β )),
2 2 | P0 P3 |= [cos( ? ? ? ) ? 1] ? sin (? ? ? ) ,

(cos ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2 , |P 2P 1 |=
由| P0 P3 |=| P 2P 1 |导出公式:

[ cos(α -β )-1 ] +sin (α -β )=(cosα -cosβ ) +(sinα -sinβ ) . 展 开 并 整 理 得 2-2cos(α -β )=2-2(cosα cosβ +sinα sinβ ). 所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α+β)).

2

2

2

2


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