北师大版数学选修1-1教案:第3章-拓展资料:用导数求切线方程的四种类型


用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求 出切点 P( x0,y0 ) 及斜率,其求法为:设 P( x0,y0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的一点,则以 P 的 切点的切线方程为: y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .若曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0,f ( x0 )) 的切线平 行于 y 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为 x ? x0 . 下面例析四种常见的类型及解法. 类型一:已知切点,求曲线的切线方程 此类题较为简单,只须求出曲线的导数 f ?( x) ,并代入点斜式方程即可. 例1
, ? 1) 处的切线方程为( 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1



A. y ? 3x ? 4 C. y ? ?4 x ? 3

B. y ? ?3x ? 2 D. y ? 4 x ? 5

, ? 1) 处斜率 k ? f ?(1) ? ? 3 ,故所求的切线方程为 解:由 f ?( x) ? 3x2 ? 6x 则在点 (1 y ? (?1) ? ?3( x ? 1) ,即 y ? ?3x ? 2 ,因而选B.

类型二:已知斜率,求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决. 例2 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是( B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0
0



A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

解:设 P( x0,y0 ) 为切点,则切点的斜率为 y?|x? x ? 2x0 ? 2 .
∴ x0 ? 1 .

, .故切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,故选D. 由此得到切点 (11)

评注:此题所给的曲线是抛物线,故也可利用 ? 法加以解决,即设切线方程为
y ? 2 x ? b ,代入 y ? x 2 ,得 x 2 ? 2 x ? b ? 0 ,又因为 ? ? 0 ,得 b ? ?1 ,故选D.

类型三:已知过曲线上一点,求切线方程

过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待 定切点法. 例3
, ? 1) 的切线方程. 求过曲线 y ? x3 ? 2x 上的点 (1

解:设想 P( x0,y0 ) 为切点,则切线的斜率为 y?|x? x ? 3x02 ? 2 .
0

∴切线方程为 y ? y0 ? (3x02 ? 2)( x ? x0 ) .
y ? ( x03 ? 2x0 ) ? (3x02 ? 2)( x ? x0 ) .
, ? 1) ,把它代入上述方程,得 ?1 ? ( x03 ? 2 x0 ) ? (3x02 ? 2)(1 ? x0 ) . 又知切线过点 (1

解得 x0 ? 1 ,或 x0 ? ? .
? ? ?? ? 故 所 求切 线方 程为 y ? (1 ? 2) ? (3 ? 2)( x ? 1) , 或 y ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ?? x ? ? , 即 2? ? 8 ? ?4 ?? 1 3 1
x ? y ? 2 ? 0 ,或 5x ? 4 y ? 1 ? 0 . , ? 1) 为切点, , ? 1) 评注: 可以发现直线 5x ? 4 y ? 1 ? 0 并不以 (1 实际上是经过了点 (1

1 2

? 且以 ? ? ? , ? 为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线,该点未必是切点,解决 2 8 1 7 ? ?

此类问题可用待定切点法. 类型四:已知过曲线外一点,求切线方程 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 例4
0) 且与曲线 y ? 相切的直线方程. 求过点 (2,

1 x

解:设 P( x0,y0 ) 为切点,则切线的斜率为 y ?|x ? x ? ?
0

1 . x0 2

∴切线方程为 y ? y0 ? ?

1 1 1 ( x ? x0 ) ,即 y ? ? ? 2 ( x ? x0 ) . 2 x0 x0 x0 1 1 ? ? 2 (2 ? x0 ) . x0 x0

0) ,把它代入上述方程,得 ? 又已知切线过点 (2,

解得 x0 ? 1,y0 ?

1 ? 1 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . x0

0) 实际上是曲线外的一点,但在解答过程中却无需判断它的确切 评注:点 (2,

位置,充分反映出待定切点法的高效性. 例5
16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程. 已知函数 y ? x3 ? 3x ,过点 A(0,

16) 不在曲线上. 解:曲线方程为 y ? x3 ? 3x ,点 A(0,

设切点为 M ( x0,y0 ) , 则点 M 的坐标满足 y0 ? x03 ? 3x0 . 因 f ?( x0 ) ? 3( x02 ? 1) , 故切线的方程为 y ? y0 ? 3( x02 ? 1)( x ? x0 ) .
16) 在切线上,则有 16 ? ( x03 ? 3x0 ) ? 3( x02 ? 1)(0 ? x0 ) . 点 A(0,

化简得 x03 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 .
? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 . 所以,切点为 M (?2,

评注:此类题的解题思路是,先判断点 A 是否在曲线上,若点 A 在曲线上, 化为类型一或类型三;若点 A 不在曲线上,应先设出切点并求出切点.


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