2017_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质学案北师大版选修1_1

3.2 学习目标 双曲线的简单性质 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离 心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a,b,c,e 间的关系.4.能用双曲 线的简单性质解决一些简单问题. 知识点一 双曲线的简单性质 思考 类比椭圆的简单性质,结合图像,你能得到双曲线 x2 y2 - =1(a>0,b>0)的哪些性质? a2 b2 梳理 标准方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 图形 范围 对称性 性 质 渐近线 离心率 顶点坐标 对称轴:________ 对称中心:______ 对称轴:________ 对称中心:______ b y=± x a c e= ,e∈(1,+∞) a a y=± x b 知识点二 双曲线的离心率 思考 1 如何求双曲线的渐近线方程? 思考 2 椭圆中,椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度,在双曲线中,双曲线的“张口” 大小是图像的一个重要特征,怎样描述双曲线的“张口”大小呢? 1 梳理 双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫作双曲线的 c a ,其取值范围是________.e 越大,双曲线的张口________. 知识点三 双曲线的相关概念 1.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心. 2.实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,它的渐近线是 y=±x. 类型一 由双曲线方程研究其性质 例 1 求双曲线 9y -4x =-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线 方程. 2 2 反思与感悟 由双曲线的方程研究其性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定 a,b 的值. (3)由 c =a +b 求出 c 值,从而写出双曲线的简单性质. 跟踪训练 1 求双曲线 9y -16x =144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线 方程. 2 2 2 2 2 类型二 由双曲线的简单性质求标准方程 2 例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 2 (3)求与双曲线 x -2y =2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程. 2 2 反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤 ①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴; ②设双曲线的标准方程; ③根据已知条件或简单性质列方程,求待定系数; ④求出 a,b,写出方程. (2)① 与 双 曲 线 x2 y2 x2 y2 - 2 = 1(λ ≠0 , - 2- 2=1 共焦点的双曲线方程可设为 2 a b a -λ b +λ b2<λ <a2); ②与双曲线 2- 2=1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ (λ ≠0); ③渐近线为 ax±by=0 的双曲线方程可设为 a x -b y =λ (λ ≠0). 跟踪训练 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 13 (1)一个焦点为(0,13),且离心率为 ; 5 (2)双曲线过点(3,9 2),离心率 e= 10 ; 3 2 2 2 2 x2 y2 a b x2 y2 a b 1 (3)渐近线方程为 y=± x,且经过点 A(2,-3). 2 3 类型三 与双曲线有关的离心率问题 命题角度 1 求双曲线离心率的值 x2 y2 例 3 设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得 a b 9 |PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( 4 4 A. 3 9 C. 4 引申探究 9 例 3 条件“|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|= ab”改为“若 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°”, 4 结果如何? 反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法 (1)依据条件求出 a,c,再计算 e= . (2)依据条件建立参数 a,b,c 的关系式,一种方法是消去 b 转化为离心率 e 的方程求解, 另一种方法是消去 c 转化成含 的方程,求出 后,利用 e= 5 B. 3 D.3 ) c a b a b a 1+ b a 2 求解. 跟踪训练 3 双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,且原点 到直线 l 的距离为 3 c.求双曲线的离心率. 4 x2 y2 a b 4 命题角度 2 求双曲线离心率的取值范围 例 4 设双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A,B,求双曲线 x2 a 2 C 的离心率的取值范围. 反思与感悟 求离心率的取值范围技巧 (1)根据条件建立 a,b,c 的不等式. (2)通过解不等式得 或 的取值范围,求得离心率的取值范围. c b a a x2 y2 跟踪训练 4 已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a,b>0)的左,右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直 a b 线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 为钝角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 ( ) B.( 2+1,+∞) D.(1, 3) A.(1,+∞) C.(1, 2+1) 1.双曲线 -y =1 与椭圆 + =1 的( 15 25 9 A.焦点相同 x2 2 x2 y2 ) B.顶点相同 5 C.实轴与长轴相同 D.短轴与虚轴相同 ) 2.设双曲线 + =1 的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为( a 9 A.-4 C.2 B.-3 D.1 x2 y2 3.设 F1 和 F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1,F2

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