函数y=Asin(ωx+φ)的图象(两课时)20101206、07_图文

§1.5 函数 y ?

A sin(? x ? ? ) 的图象

一、问题的提出:

交流电的电流与时间的关系图象

它和正弦函数 y

? sin x 的图象有何关系?

一、探索 ? 对

y ? A sin(? x ? ? )

的图象的影响.

画出函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象,并观

察它与 y ? sin x的图象的关系.

结论(平移变换):
一般地,函数 y ? sin( x ? ? ),( x ? R) (其中? ≠0) 的图象,可以看作把正弦曲线上所有的点向左 (当 ? >0时)或向右(当 ? <0时)平行移动 | ? |个单位长度而得到。

二、探索 ? (? ? 0)对 y
的图象的影响

? A sin(? x ? ? )
?
3

画出 y ? sin(2 x ?

) 的图象

并观察它与 y ? sin( x ?
的图象的关系.

?

3

)

结论(伸缩变换):

函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0且? ? 1) 的图象可以看作把 y ? sin( x ? ? ) 的 图象上所有点的横坐标缩短 (当 ? ? 1)或伸长(当 0 ? ? ? 1) 1 到原来的 倍(纵坐标不变)而 ? 得到.
?

三、探索A(A>0)对 y
的图象的影响.

? A sin( ?x ? ?)

?? ? 画出函数 y ? 3sin ? 2 x ? 3 ? 的图象, ? ?

并观察与 y ? sin(2 x ? ) 图象之间
3

?

的关系.

结论(振幅变换):
一般地,函数

y ? A sin(? x ? ? )

( A ? 0且A ? 1) 的图象,可以看作把

y ? sin(? x ? ? )上所有点的纵坐标伸长
(当 A ? 1 时)或缩短(当 0 ? A ? 1 时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得到。

?? ? 可以怎样作出函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 在一个 3? ? 周期的图象?

1、五点法作图

2、图象变换法

结论:
一般地,函数 y ? A sin(? x ? ? ),( A ? 0, ? ? 0)

的图象,可以看作用下面的方法得到:先把 正弦曲线上所有的点向左(当 ? ? 0 )或向 右( ? ? 0 )平行移动 个单位长度,再把 所得各点的横坐标缩短(当 ? ? 1 时)或伸 1 长(当 0 ? ? ? 1 时)到原来的 倍(纵坐 ? 标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当 A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的 A倍(横坐标不变)。

?

由y ? sin x 到y ? A sin(? x ? ? )的图象变换步骤
步骤1

画出y ? sin x在?0, ?上的简图 2?
沿x轴 平行移动

步骤2

得到y ? sin( x ? ? )在某周期内的简图
横坐标 伸长或缩短

步骤3

得到y ? sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
纵坐标 伸长或缩短

步骤4

得到y ? A sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
沿x轴 扩展

步骤5

得到y ? A sin( ?x ? ? )在R上的图象

练习 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 6 个 单位所得图象的解析式是( D ) ? ? ) (A) y ? sin( 2 x ? ) (B) y ? sin( 2 x ? 6 12
(C) y ? sin( 2 x ?

?

?
3

) (D) y ? sin( 2 x ?

?
3

)

1 ? 例1 画出函数 y ? 2sin( x ? ) 的简图 3 6

一.五点法 二.利用变换

2 2 . . 的值, 得到"五点", 再描点作图. 然 后 将 简 图

1 ? ? 令t ? x ? , 则x ? 3(t ? ). 3 6 6 ? 3? 当t取0, , ? , , 2? 时, 可求得相对应的x和y

1 ? 利用五点法画函数 y ? 2sin( x ? ) 在一个周期 3 6 . 内的图像

(方法一)

T ? 6?

再 "描 点 ,

t
x y

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

2?

5?

0

2

0

?2

0

(1)列表 :

t
x y

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

y

2?

5?

0

2

0

?2

0
2

(2)描点 :

O -2

?
2

2?

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,?2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线:

7? 2

5?

13? 2

x

综合变换

1 ? 思考:怎样由y ? sin x的图像得到y ? 2sin( x ? )的图像? 3 6

1.先平移变换后伸缩变换
函数y ? sin x
y ? sin( x ? )的图象 6 1 ? (2)横坐标伸长到原来的 倍 3 y ? sin( x ? )的图象 3 6 纵坐标不变 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6
(1)向右平移

?
6

?

(3)纵坐标伸长到原来的 倍 2
横坐标不变

综合变换
2.先伸缩变换后平移变换
函数y ? sin x
(2)向右平移

1 ? 思考:怎样由y ? sin x的图像得到y ? 2sin( x ? )的图像? 3 6
(1).横坐标伸长 到原来的3倍

1 y ? sin x 3

?
2

个单位

1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6

(3)纵坐标伸长到原来的 倍 2
横坐标不变

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6
?
y=sinx

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

6

? 2

13? 2

x

-2
-3

①由正弦曲线变换到函数 y 伸缩变换时,平移 平移

? A sin( ωx ? φ) 的图

象涉及到三种变换,顺序可任意改变;先平移变换后

φ 个单位,先伸缩变换后平移变换时 φ 个单位。 ω

②常用变换顺序——先平移变换再伸缩变换 后振幅变换(平移的量只与 φ有关)

复习:
1.对于函数 y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0):
A --- 振幅, T ? 2? --- 周期, f ? 1 --- 频率,
? T

?x+? --- 相位, 2.图象的变换:

? --- 初相.

(1)伸缩变换 y ? sin(x (1) y ? sin x ? 振幅变换? ? ) ( ----- 形状变换) ??

周期变换

(2) y ? sin x ? 左右平移 x ?? y ? Asin
(3) y ? sin x ? y ? sin ?x ??
(2)平移变换

上下平移

( ----- 位置变换)

(4) y ? sin ?x ? y ? sin(?x ? ? ) ??

? y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0) 的图象可由y=sinx经过如下变换得到: ?
1 横坐标变为原来的? 倍 y=sin?x 向左(?>0)或向右(?<0) y=sin?(x+ ? ) y=sinx ? 平移? ? ?个单位 纵坐标不变

?

=sin(?x+?)

纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(?x+?) 横坐标不变

或:
1 向左(?>0)或向右(?<0) y=sin(x+?) 横坐标变为原来的? 倍 y=sin(?x+?) y=sinx 平移???个单位 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(?x+?) 横坐标不变

认识函数 y ? A sin(? x ? ? ),( x ?[0, ??),( A ? 0, ? ? 0)
②周期_______ ?

①振幅________ A

T?

2?

1 ? f? ? ?x ? ? T ③频率________ 2? ④相位_____ __
x ______________ ⑤初相__? 0时的相位?

例2、下图是某简谐运动的图象,试根据图象 回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少? (2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了 一次往复运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式。 y/cm
2 A 0.4 O B C D E 0.8 F 1.2

x/s

例3.怎样由 y ? sin x 的图像得到下列函 数的图像? ? (1) y ? 3sin(2 x ? ) 3

(2) y ? 3sin( ?2 x ? ) 3 (3) y ? 2 cos( x ? ) 6
变式:如何从y ? 3sin(2 x ? )的图象变换得到 3 y ? 2 cos( x ? )的图象。 6

?

?

?

?

练习.(2008全国)为了得到 y

? cos(2 x ?

?
3

)

的图象,只需将 y
变换?

? sin 2 x 的图象经过怎样的

? 1 再向左平移 个单位,所得到的曲线是 ? sin x y 2 2 的图象,试求函数的解析式.

例 4、函数 f ( x) 的横坐标伸长到原来的两倍,

例5.如图是,函数y ? A sin (? x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0)的一段图像. (1)求此函数解析式; (2)请你叙述该函数是如何通过 y ? sin x变换得来的 ?
y
0

?
6

2 ? 3
x

1 ? 2

-1
? 3 2

(1)由图像知,
?

A?

?

1 3 ? (? ) 2 2 ? 1, 2 2

k?

1 3 ? (? ) 2 2 ? ?1, T ? 2 ? ( 2 ? ? ? ) ? ? , 3 3 2

2? ?? ? ?2 T

1 ? y ? sin(2 x ? ? ) ? 1 2
当x ?

?
6

时, 2 ?

?
6

?? ?

?
2

, 得? ?

?
6

,

1 ? ? y ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

? ? (2) y ? sin x ???? y ? sin( x ? ) 6
向左平移 ? 个单位 6

???? y ? sin(2 x ? ?
横坐标变为 原来的一半 纵坐标变为 原来的一半

?
6

)

1 ? ???? y ? sin(2 x ? ) ? 2 6 1 ? 图像向下 ????? y ? sin(2 x ? ) ? 1. ? 平移一个单位 2 6

【练习】(2009·全国Ⅱ文,9) 若将函数 y ? tan(? x ? 4 )(? ? 0) 的图象向右 平移 个单位长度后,与函数 ? y ? tan(? x ? ) 的图象重合, ? 的最小 则 6 值为 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 2
? 6

?

例 7、已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 有两个
5? 9? 相邻零点 ( 8 , 0), ( 8 , 0) ,且振幅为

5,求函数解析式。

【练习】若函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 2 ) 的最 π 大值为 4,最小值为 0,最小正周期为2, π 直线 x=3是其图象的一条对称轴,求它的解析式.

?

小结:由y=sinx通过变换得到y=Asin(ω x+φ)的图象规律

相位

作y=sinx(长度为2?的某闭区间)

周期

变换

沿x轴平

移|φ|个单位

横坐标伸 长或缩短

变换

得y=sin(x+φ)

得y=sinω x
? 沿x轴平 移| ? |个单位

周期
变换

横坐标伸 长或缩短 得y=sin(ω x+φ)

相位
变换

得y=sin(ω x+φ) 纵坐标伸 长或缩短

纵坐标伸 长或缩短
振幅 变换

得y=Asin(ω x+φ)的图象,先在一 个周期闭区间上再扩充到R上.

振幅 变换


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