北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编3:函数的性质(单调性、最值、奇偶性与周期性)(教师版)

北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 3:函数的性质(单调性、最值、奇偶性 与周期性)
一、选择题 1 .(2013 北京高考数学(文))下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是





1 A. y ? x

B. y ? e

?x

C y ? ?x ?1


2

D. y ? lg | x |
-x

【答案】C [解析] 对于 A,y= 是奇函数,排除.对于 B,y=e 既不是奇函数,也不是偶函数,排除.对于

1

x

D,y=lg |x|是偶函数,但在(0,+∞)上有 y=lgx,此时单调递增,排除.只有 C 符合题意.
2 . (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的 )

是 A. y ? e x
【答案】

( B. y ? sin 2 x C. y ? ? x
3



D. y ? log 1 x
2

C. 3 .(2012 年高考(陕西文))下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2





C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

【答案】解析:运用排除法,奇函数有 y

?

1 和 y ? x | x | ,又是增函数的只有选项 D 正确. x
满足 ( B. D. 的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图象,如 ) ,当

4 . (北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题)定义在 R 上的函数

时, A. C.

,则

【答案】D【解析】由题意可知,函数

图 所 示 :∵ ∴ ,选

且 D.

,而函数



是减函数,

(1)=2, f (1)+g( ? 1)=4 ,则 5 .(2013 湖南高考数学(文))已知 f ( x) 是奇函数, g ( x ) 是偶函数,且 f (?1)+g

g(1)等于____
B.3 C.2 D.1 【答案】B 解: 由题知 f(-1)+g(1)= - f(1)+g(1)= 2, f(1)+g(-1)= f(1)+ g(1)= 4,上式相加,解得 g(1) = 3 . 6 .(2012 年高考(天津文))下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为 A. y ? cos 2 x B. y ? log 2 | x | C. y ? A.4









e x ? e? x 3 D. y ? x ? 1 2 【答案】 【解析】函数 y ? log 2 x 为偶函数,且当 x ? 0 时,函数 y ? log 2 x ? log 2 x 为增函数,所以在 B. (1,2) 上也为增函数,选

7 .(2012 年高考(广东理))(函数)下列函数中,在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数的是





?1? C. y ? ? ? ?2? 【答案】解析:A. y ? ln ? x ? 2 ? 在 ? ?2, ?? ? 上是增函数.
A. y ? ln ? x ? 2 ? B. y ? ? x ? 1

x

D. y ? x ?

1 x

8 . (北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题) 下列函数中,在定义域内是减函数的是

( A. f ( x) ? ?
9



1 x

B. f ( x ) ?

x

C. f ( x) ?
203

1 2x

D. f ( x) ? tan x

【答案】C . ( 北 京 北 师 特 学 校
n x
4 E?4 ? (

届 高 三 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ) 若

x ? R, n ? N *, 定义E ? x( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? n ? 1)
?4
5 ) ? 则 f ( x) (? x ? Ex ? 2 的奇偶性为 ) ? 3 ? ?

,





(

? (

2 )

?

)

A.偶函数不是奇函数; B.奇函数不是偶函数; C.既是奇函数又是偶函数; D.非奇非偶函数 5 2 2 2 【答案】A【解析】由题意知 f ( x) ? xEx ? 2 ? x( x ? 2)( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2) ? x ( x ? 4)( x ? 1) ,所以函 数为偶函数,不是奇函数,选 A.
10.下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是





A. y ? cos x C. y ? ln
【答案】D

B. y ? ? x ? 1 D. y ? e ? e
x ?x

2? x 2? x

11.(2012 年高考(广东文))(函数)下列函数为偶函数的是

( D. y ? ln x ? 1
2



A. y ? sin x
【答案】解析:

B. y ? x

3

C. y ? e

x

D. f ? ? x ? ? ln

??x?

2

? 1 ? ln x 2 ? 1 ? f ? x ? .
( )

12.北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学) ( 已知函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函数, g ( x) ? ? f ( x ) ,

若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的取值范围是 A. (10,??) B. (

1 1 C. (0,10) D. (0, ) ? (10,??) ,10 ) 10 10 【答案】B【解析】因为 g ( x) ? ? f ( x ) ,所以函数 g ( x) ? ? f ( x ) 为偶函数,因为函数 f (x) 在 [0,??) 上
是 增 函 数 , 所 以 当 x ? 0 时 , g ( x) ? ? f ( x ) ? ? f ( x) , 此 时 为 减 函 数 , 所 以 当 x ? 0 , 函 数

g ( x)? ? f ( x 单调递增.因为 g (lg x) ? g (1) ,所以有 ?1 ? lg x ? 1 ,解得 )
B.

1 1 ? x ? 10 ,即 ( ,10) ,选 10 10
( )

13. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案) 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是

A. y ? x ? 1
【答案】

B. y ? tan x C.

C. y ? x

3

D. y ? log 2 x
3

? ? , 14 . 2013 重 庆 高 考 数 学 ( 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ? a x ? bs i n x 4 (a , b R) f (lg(log 2 10)) ? 5 , 则 ( )
D. 4 1 ?? ? ? 【答案】 C.[解析] 因为 f(lg(log210))=f?lg? ?? =f(-lg(lg 2))=5,又因为 f(x)+f(-x)=8,所以 ? ?lg 2?? f(-lg(lg2))+f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以 f(lg(lg 2))=3,故选 C. 15.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,且 y ? f ( x ? 2) 在 [0, 2] 上是单调减函数,则 f (0), f (?1), f (2) 由小到大 排列为 ( ) C. 3

f (lg(lg 2)) ? A. ?5

( B. ?1



A. f (0) ? f (?1) ? f (2) C. f (?1) ? f (2) ? f (0) 【答案】A

B. f (?1) ? f (0) ? f (2) D. f (2) ? f (?1) ? f (0)

16 . (2013 山 东 高 考 数 学 ( 文 )) 已 知 函 数 f (x) 为 奇 函 数 , 且 当

x ? 0 时 , f ( x) ? x 2 ?

1 , 则 f (?1) ? x
( )

A.2

C.0 D.-2 1 ,∴ 1 【答案】D 解析:∵ 当 x ? 0 时, f ( x ) ? x 2 ? f (1) ? 12 ? ? 2 ,又∵ f ( x ) 为奇函数, x 1 ∴ f (? 1) ? ? f (1) ? ? 2 .答案: D.
17 . 对 于 任 意 两 个 实 数

B.1

?a a 、 b , 定 义 运 算 “*” 如 下 : a * b ? ? ?b 2 f ( x) ? x * [(6 ? x) * (2 x ? 15)] 的最大值为
B.16 C.9 D.4

a?b a?b


, 则 函 数 )

A.25
【答案】C

18.(湖北省黄冈市 2012 年高考模拟试题)已知函数 f ( x ) ? ?

?1 ? 2 ? x ( x ? 0) , 则该函数是 x ? 2 ? 1( x ? 0)





A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增 【答案】C

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减

二、填空题 19.(2012 年高考(浙江文))设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则

3 =_______________. f( ) 2 3 【答案】 2 3 3 1 1 1 3 【解析】 f ( ) ? f ( ? 2) ? f (? ) ? f ( ) ? ? 1 ? . 2 2 2 2 2 2 20.(2012 年高考(重庆文))函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? ________
【答案】4

【解析】由函数 f ( x) 为偶函数得 f (a) ? f (?a) 即 (a ? a)(a ? 4) ? (?a ? a)(?a ? 4)

? a ? 4.
【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且 对定义域内的一切 a 都有 f (a) ? f (?a) 成立.
21. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )奇函数

f ? x ? 的定义域为 ? ?2, 2? ,若 f ? x ? 在

? 0, 2? 上单调递减,且 f ?1 ? m ? ? f ? m ? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是
【答案】 [?



1 ,1] 2

【 解 析 】 因 为 奇 函 数 在 ? 0, 2 ? 上 单 调 递 减 , 所 以 函 数 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上 单 调 递 减 。 由

? ? ?2 ? m ? 2 ? ?2 ? m ? 2 ? ? f ?1 ? m ? ? f ? m ? ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (m) ? f (?m) ,所以由 ? ?2 ? 1 ? m ? 2 ,得 ? ?3 ? m ? 1 ,所 ?1 ? m ? ? m ? 1 ? ?m ? ? ? 2

以?

1 1 ? m ? 1 ,即实数 m 的取值范围是 [? ,1] 。 2 2

f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递 增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____ a 【解析】 ?6 由对称性: ? ? 3 ? a ? ?6 2 4 ( x ? [2, 4]) 的最大值是______. 23.(2012 年高考(上海春))函数 y ? log 2 x ? log 2 x 【答案】 5 24. (北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) , 2 当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (7) ? _______________ 【答案】 ?2 【解析】由 f ( x ? 4) ? f ( x) 可知函数的周期是 4,所以 f (7)=f (7 ? 8)=f (?1) ,又因为函数
22.(2012 年高考(安徽文))若函数

是奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?2 ,所以 f (7)= ? 2
25. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 (解析) 已知定义域为 R 的偶函数 )

f ? x ? 在 ?? ?,0? 上

?1? x ? ? 2 ,则不等式 f 2 ? 2 的解集为_____________. 2? ? 1 1 【答案】答案 ?? 1,?? ? 因为函数为你偶函数,所以 f (? ) ? f ( ) ? 2 ,且函数在 (0, ??) 上递增.所以由 2 2 1 f (2 x ) ? 2 得 2 x ? ,即 x ? ?1 ,所以不等式 f 2 x ? 2 的解集为 ?? 1,?? ? . 2 26. (2012 年高考(上海文))已知 y ? f (x) 是奇函数. 若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1.,则 g (?1) ? _______ . 【答案】[解析] y ? f (x) 是奇函数,则 f (?1) ? ? f (1) , g (1) ? g (?1) ? f (1) ? f (?1) ? 4 ? 4 , 所以 g (?1) ? 4 ? g (1) ? 3 .
是减函数,且 f ?

? ?

? ?

27 . 若 不 等 式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x
2

2

对 任 意 实 数 x 均 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

________________________.
【答案】 (a ? 2) x ? 4 x ? a ? 1 ? 0 恒成立,当 a ? ?2 时, x
2 2

?

3 不恒成立,不满足 4

当 a ? ?2 时,要使不等式 (a ? 2) x ? 4 x ? a ? 1 ? 0 恒成立,则须

28 . (2013 大纲卷高考数学(文))设 f ? x ? 是以 2 为周期的函数,且当 x ? 1, 3? 时,

?a ? ?2 ?a ? ?2 ?a ? 2 ? 0 ?? 2 ?? ?a?2 ? ?16 ? 4(a ? 2)( a ? 1) ? 0 ?a ? a ? 6 ? 0 ?a ? 2或a ? ?3

?

f ? x ? =x ? 2 ,则

f (?1) ? ____________.
【答案】

?1 【解析】∵ f ? x ? 是以 2 为周期的函数,且 x ? ?1,3? 时, f ? x ? =x ? 2 ,

则 f ? ?1? ? f (?1 ? 2) ? f (1) ? 1 ? 2 ? ?1

( x ? 1) 2 ? sin x 29 . (2012 年 高 考 ( 课 标 文 )) 设 函 数 f ( x) ? 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 x2 ? 1 M ? m ? ________.
【答案】 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.

2 x ? sin x , x2 ? 1 2 x ? sin x 设 g ( x ) = f ( x) ? 1 = ,则 g ( x) 是奇函数, x2 ? 1 ∵ f ( x) 最大值为 M,最小值为 m ,∴ g ( x) 的最大值为 M-1,最小值为 m -1, ∴ M ?1 ? m ?1 ? 0 , M ? m =2.
【解析】 f ( x) = 1 ?
30 . ( 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

______.

5 【答案】 2


【解析】令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? f (2) ,即

f (2) ? f (1) ? f (?1) ? 2 f (1) ? 2 ?

1 ?1 2 .


x ?1

f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ?


1 3 ?1 ? 2 2

.



x?3

f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ?
三、解答题

3 5 ? 1= 2 2
2

31. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? 2ax ? 4 x ? 3 ? a , a ?R .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 ? ?1,1? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 4
2

? 2( x 2 ? 2 x) ? 4 ? 2( x ? 1)2 ? 6 .
因为 x ? ? ?1,1? ,所以 x ? 1 时, f ( x) 的最大值 f (1) ? 2 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 4 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上有零点, 所以 a ? 0 时成立 当 a ? 0 时,令 ? ? 16 ? 8a(3 ? a) ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0 , 解得 a ? ?1, a ? ?2

f ( x) ? ?2 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?2( x ? 1) 2 由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1? [ ? 1,1] ; 1 2 2 当 a ? ?2 时, f ( x) ? ?4 x ? 4 x ? 1 ? ?4( x ? ) . 2 1 由 f ( x) ? 0 ,得 x ? ? [ ? 1,1] , 2 所以当 a ? 0, ?1, ?2 时, y ? f ( x) 均恰有一个零点在 ? ?1,1? 上
(1) 当 a ? ?1 时, (2)当 f (?1)?f (1) ? (a ? 7)(a ? 1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 7 时,

y ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上必有零点.

(3)若 y ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上有两个零点, 则

? a ? 0, ? a ? 0, ? ? ? 8( a ? 1)( a ? 2) ? 0, ? ? ? 8( a ? 1)( a ? 2) ? 0, ? ? ? ? 1 1 或 ? ?1 ? ? ? 1, ? ?1 ? ? ? 1, a a ? ? ? f ( ?1) ? 0, ? f ( ?1) ? 0, ? ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0.
解得 a ? 7 或 a ? ?2 . 综上所述,函数 f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上存在极值点,实数 a 的取值范围是

a ? ?1 或 a ? ?2


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