[配套K12]2019届高考数学一轮复习 第九章 概率 第三节 几何概型课时作业

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第三节 几何概型

课时作业

A 组——基础对点练

1.在区间[0,1]上随机取一个数 x,则事件“log0.5(4x-3)≥0”发生的概率为( )

3

2

A.4

B.3

C.13

D.14

3 解析:因为 log0.5(4x-3)≥0,所以 0<4x-3≤1,即34<x≤1,所以所求概率 P=11- -40=14,故

选 D.

答案:D

2.小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口.已知十字路口的交通信号灯绿

灯亮的时间为 40 秒,黄灯 5 秒,红灯 45 秒.如果小明每天到路口的时间是随机的,则小明

上学时到十字路口需要等待的时间不少于 20 秒的概率是( )

A.34

B.23

C.12

D.13

解析:设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于 20 秒”为事件 A,则 P(A)=

4450+ +55- +2405=13,选 D.

答案:D

3.在棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到正方体各面的距离都不小于 1 的概率为( )

1 A.27

26 B.27

C.287

D.18

解析:正方体中到各面的距离都不小于 1 的点的集合是一个中心与原正方体中心重合,且棱 长为 1 的正方体,该正方体的体积是 V1=13=1,而原正方体的体积为 V=33=27,故所求的 概率 P=VV1=217.

答案:A

4.已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生的概率

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为12,则AABD=(

)

A.12

B.14

C.

3 2

D.

7 4

解析:由已知,点 P 的分界点恰好是边 CD 的四等分点,由勾股定理可得 AB2=(34AB)2+AD2,

解得(AADB)2=176,即AADB=

7 4 ,故选

D.

答案:D

5.(2018·武汉市调研)在长为 16 cm 的线段 MN 上任取一点 P,以 MP,NP 为邻边作一矩形,

则该矩形的面积大于 60 cm2 的概率为( )

A.14

B.12

C.13

D.34

解析:设 MP=x,则 NP=16-x,由 S=x(16-x)>60? x2-16x+60<0,(x-6)(x-10)<0?

6<x<10,所以 P=146=14.

答案:A

6.在区间???-12,12???上随机取一个数 x,则 cos π x 的值介于 22与 23之间的概率为(

)

A.13

B.14

C.15

D.16

解析:区间???-12,12???的长度为

1,满足

cos

π

x

的值介于

2 2与

3 2 之间的

x∈???-14,-16???∪

1
???16,14???,区间长度为16,由几何概型概率公式得 P=16=16.

答案:D

7.为了测量某阴影部分的面积,作一个边长为 3 的正方形将其包含在内,并向正方形内随

机投掷 600 个点,已知恰有 200 个点落在阴影部分内,据此可以估计阴影部分的面积是( )

A.4

B.3

C.2

D.1

解析:由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的

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面积比为13,所以阴影部分的面积约为 9×13=3. 答案:B 8.如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0),且点 C 与点 D

??x+1,x≥0, 在函数 f(x)=???-21x+1,x<0

的图像上.若在矩形 ABCD 内随机取一

点,则此点取自阴影部分的概率等于( A.16 C.38

) B.14 D.12

??x+1,x≥0, 解析:因为 f(x)=???-21x+1,x<0,

B 点坐标为(1,0),所以 C 点坐标为(1,2),D 点坐

标为(-2,2),A 点坐标为(-2,0),故矩形 ABCD 的面积为 2×3=6,阴影部分的面积为12×3×1

3 =32,故 P=62=14.

答案:B

9.(2017·商丘模拟)已知 P 是△ABC 所在平面内一点,P→B+P→C+2P→A=0,现将一粒豆随机

撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( )

A.14

B.13

C.12

D.23

解析:如图所示,设点 M 是 BC 边的中点,因为P→B+P→C+2P→A=0,所以点 P 是中线 AM 的中点,

所以黄豆落在△PBC 内的概率 P=SS△ △PABBCC=12,故选 C.

答案:C 10.设复数 z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则 y≥x 的概率为( )
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A.34+21π

B.12+π1

C.12-π1

D.14-21π

解析:复数|z|≤1 对应的区域是以(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆及

其内部,图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足 y≥x 的区域,该

11

1 区域的面积为4π

1

1

-2×1×1=4π

1 -2,故满足

y≥x

4π -2 的概率为 π ×12 =

14-21π ,故选 D.

答案:D

?? x-y≥0, 11.(2017·郑州模拟)若不等式 x2+y2≤2 所表示的平面区域为 M,不等式组?x+y≥0,
??y≥2x-6

表示的平面区域为 N,现随机向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为 ________. 解析:作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示,平面区域 N 的面积为12×3×(6+2)

π =12,区域 M 在区域 N 内的面积为14π ( 2)2=π2 ,故所求概率 P=122=2π4.

答案:π24

12.在区间[-2,4]上随机地取一个数

x,若

x

满足|x|≤m

5 的概率为6,则

m=________.

解析:由几何概型知56=m-

- 6

,解得 m=3.

答案:3

13.利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a-1>0”发生的概率为________.

解析:由题意知 0≤a≤1,事件“3a-1>0”发生时,a>13且 a≤1,取区间长度为测度,由几

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1 何概型的概率公式得其概率 P=1-1 3=23.

答案:23 14.若在区间[-4,4]内随机取一个数 m,在区间[-2,3]内随机取一个数 n,则使得方程 x2 +2mx-n2+4=0 有两个不相等的实数根的概率为________. 解析:∵方程 x2+2mx-n2+4=0 有两个不相等的实数根,∴ Δ >0,即(2m)2-4(-n2+4)>0,m2+n2>4,总的事件的集合 Ω = {(m,n)|-4≤m≤4,-2≤n≤3},∴Ω 所表示的平面区域(如 图中矩形)的面积 S=8×5=40,而满足条件的事件的集合是 {(m,n)|m2+n2>4,-4≤m≤4,-2≤n≤3},∴图中阴影部分的面积 S′=40-π ×22=40 -4π ,由几何概型的概率计算公式得所求事件的概率 P=SS′=40-404π =1-1π0.

答案:1-π10

B 组——能力提升练

?? x+y-4≤0 1.在平面区域?x>0
??y>0

内随机取一点(a,b),则函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间

[1,+∞)上是增函数的概率为( )

A.14

B.13

C.12

D.23

解析:不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及边界

AB(不包括边界 OA,OB),则 S△AOB=12×4×4=8.函数 f(x)=ax2-4bx

+1 在区间[1,+∞)上是增函数,则应满足 a>0 且 x=24ab≤1,即

??a>0
?

,可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界 OC,BC,不包括边界 OB),由

??a≥2b

??a=2b ???a+b-4=0

,解得 a=83,b=43,所以 S△COB=12×4×43=83,根据几何概型的概率计算公

8 式,可知所求的概率为83=13,故选 B.

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答案:B 2.在区间[-π ,π ]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x)=x2+2ax-b2+π

有零点的概率为( )

A.78

B.34

1

1

C.2

D.4

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则试验的全部结果构成的区域为正

方形 ABCD 及其内部.要使函数 f(x)=x2+2ax-b2+π 有零点,则必须有

Δ =4a2-4(-b2+π )≥0,即 a2+b2≥π ,其表示的区域为图中阴影部分.故

所求概率

P=SS正阴方影形=34ππ

23 2=4.

答案:B

3.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB

内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

A.12-π1

B. 1 π

2 C.1-π

2 D.π

解析:设 OA=OB=r,则两个以r2为半径的半圆的公共部分面积为 2[14π ·(r2)2-12×(r2)2]=

π- 8

r2

1

,两个半圆外部的阴影部分的面积为4π

r2



[

1 2

π

(

r 2

)2×2



π- 8

r2 ]=

π- 8

r2



π- 8

,所以所求概率为

1 4π

r2

r2 =1- 2 . π

答案:C

4.在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+y≤12”的概率,p2 为事件“xy≤12”

的概率,则( )

A.p1<p2<12

B.p2<12<p1

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C.12<p2<p1

D.p1<12<p2

解析:如图,满足条件的 x,y 构成的点(x,y)在正方形 OBCA 内,其面积为 1.事件“x+y≤12”

对应的图形为阴影△ODE,其面积为12×12×12=18,故 p1=18<12,事件“xy≤12”对应的图形为

斜线表示部分,其面积显然大于12,故 p2>12,则 p1<12<p2,故选 D.

答案:D

5.在底和高等长的锐角三角形中有一个内接矩形,矩形的一边在三角形的底

边上,如图,在三角形内任取一点,则该点落入矩形内的最大概率为( )

A.12

B.13

2

3

C.5

D.4

解析:设矩形长为 x,宽为 y,则xa=a-a y,y=a-x,S 矩形=xy=x(a-x)≤???x+2a-x???2=a42,

其概率的最大值为

S矩形 S△

max=12.故选 A.

答案:A

6.把半径为 2 的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在半径为 2

的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为 ( )

4 A.π -1

2 B.π

C. 4 π

-12

D.12

解析:星形弧半径为 2,所以点落在星形内的概率为

π P=

×22-???π

×4 π22-×122×2 2×2???×2×4=π4

-1,故选

A.

答案:A

7.已知 A(2,1),B(1,-2),C???35,-15???,动点 P(a,b)满足 0≤→OP·→OA≤2,且 0≤→OP·→OB≤2,

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则动点 P 到点 C 的距离大于14的概率为(

)

A.1-56π4

B.56π4

C.1-π16

D.1π6

解析:依题意有?????00≤≤2aa-+2bb≤≤22,, 目标函数 ???a-35???2+???b+15???2>14表示以 C???35,-15???为圆
心,半径为14的圆外.画出可行域如图所示,可行域的面积为45,可行域内的圆外面积为45-1π6,

故概率为45-41π6=1-56π4 .故选 A. 5

答案:A 8.运行如图所示的程序框图,如果在区间[0,e]内任意输入一个 x 的值,则输出的 f(x)值 不小于常数 e 的概率是( )

1

1

A.e

B.1-e

C.1+1e

D.e+1 1

解析:由题意得 f(x)=?????elnx,x0+≤ex,≤11<,x≤e, 如图所示,当 1<x≤e 时,f(x)>e,故输出



f(x)值不小于常数

e

e-1 1 的概率是 e =1-e,故选

B.

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答案:B 9. 在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数,记为 a,b,则方程xa22+yb22=1 表示焦点在 x 轴上且离

3 心率小于 2 的椭圆的概率为( )

A.12

B.3125

17 C.32

31 D.32

x2 y2 解析:∵a2+b2=1

表示焦点在

x

轴上且离心率小于

23,∴a>b>0,a<2b.

它对应的平面区域如图中阴影部分所示:

x2 y2 则方程a2+b2=1

表示焦点在

x

轴上且离心率小于

23的椭圆的概率为

1 P=SS矩阴形影=1-2

+ 2×4 +21×12×1=3125,故选 B.

答案:B

??x+y≤π , 10.已知关于 x,y 的不等式组?x-y≥0,
??y≥0

所表示的区域为 M,曲线 y= -x2+π x与

x 轴围成的区域为 N,若向区域 N 内随机投一点,则该点落在区域 M 内的概率为( )

4

A. π

2

2

B. π

2

C.π4

2 D.π

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解析:由已知条件,作出区域 M 为如图所示的△OAB 及其内部,而曲线 y= -x2+π x可化

为(x-π2

)2+y2=π4

2
,其中

y≥0,因而曲线

y=

-x2-π x与 x 轴围成的区域 N 为图中的半

圆部分,可求得

A(π2

,π2

),因而△OAB

的面积

SM=π4

2
,半圆的面积

SN=12×π

×π4

2=π8

3


由几何概型的概率计算公式,得所求概率 P=SSMN=π2 ,故选 D.

答案:D 11.已知 O,A,B 三地在同一水平面内,A 地在 O 地正东方向 2 km 处,B 地在 O 地正北方向 2 km 处,某测绘队员在 A,B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点,用测绘仪进行测绘,

O 地为一磁场,距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果 不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )

A.12

B.

2 2

C.1-

3 2

D.1-

2 2

解析:在等腰直角三角形 OAB 中,以 O 为圆心, 3为半径的圆截 AB 所得的线段长为 2,而

|AB|=2

2

2

2,故该测绘队员能够得到准确数据的概率是 1- 2

=1- 2

2

,故选 D.

答案:D 12.一只昆虫在边长分别为 5,12,13 的三角形区域内随机爬行,则其到三角形顶点的距离小 于 2 的地方的概率为________. 解析:如图所示,该三角形为直角三角形,其面积为12×5×12=30,阴影部分的面积为12

×π ×22=2π ,所以其概率为23π0 =1π5.

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答案:π15

13.(2018·南昌质检)在边长为 2 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M,用随机模拟方 法来估计不规则图形的面积.若在正方形 ABCD 中随机产生了 10 000 个点,落在不规则图形 M 内的点数恰有 2 000 个,则在这次模拟中,不规则图形 M 的面积的估计值为________.

解析:由题意,因为在正方形 ABCD 中随机产生了 10 000 个点,落在不规则图形 M 内的点数

恰有 2 000 个,

所以概率

P=120

000 1 000=5.

∵边长为 2 的正方形 ABCD 的面积为 4, ∴不规则图形 M 的面积的估计值为

14 5×4=5.

答案:45

14.已知正方形 ABCD 的边长为 2,H 是边 DA 的中点.在正方形 ABCD 内部随机取一点 P,则

满足|PH|< 2的概率为________.

解析:如图,设 E,F 分别为边 AB,CD 的中点,则满足|PH|< 2的点 P 在△AEH,扇形 HEF

及△DFH 内,由几何概型的概率计算公式知,所求概率为

1 4π

2

22×+221×1×1×2=π8

1 +4.

答案:π8 +14

15.若

m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0



x

轴、y

9 轴围成的三角形的面积小于8

的概率为________.

解析:对于直线方程(m+2)x+(3-m)y-3=0,

令 x=0,得 y=3-3 m;

令 y=0,得 x=m+3 2,

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教育配套资料 K12 由题意可得12·|m+3 2|·|3-3 m|<98, 因为 m∈(0,3), 所以解得 0<m<2, 由几何概型的概率计算公式可得,
2 所求事件的概率是3. 答案:23
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