【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试理科数学Word版含答案

高三自评试卷
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:
1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.
3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.复数 2i ( i 是虚数单位)的虚部为 1? i

A. ?1

B. i

C.1

D. 2

? ? 2.已知全集U ? R ,集合 A ? x | x2 ? x ? 0 , B ? ?x | ln x ? 0? ,则 (CU A) B ?

A. (0,1]

B. (??,0) (1, ??) C. ?

D. (0,1)

3.某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽

取一个容量为 200 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为

A. 28

B. 32

C. 40

4. 曲线 y ? x3 ? 2x 在 (1, ?1) 处的切线方程为

D. 64

A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

5.设 a 、 b 是两条不同的直线,? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是

A.若 a / /b, a / /?, 则 b / /?

B.若? ? ? , a / /?, 则 a ? ?

C.若? ? ? , a ? ? , 则 a / /?

D.若 a ? b,a ? ?,b ? ?, 则? ? ?

?x ? 2y ? 0

6.设

z

?

x

?

y,

其中实数

x,

y

满足

? ?

x

?

y

?

0

,若 z 的最大值为12 ,则 z 的最小值为

??0 ? y ? k

A. ?3

B. ?6

C. 3

D. 6

7.函数 f (x) ? Asin(?x ??) ( A ? 0,? ? 0, ? ? ? ) 的部分图象

y

2

1

如图所示,若

x1,

x2

?

(?

? 6

,

? 3

)

,且

f (x1) ?

f (x2 ) ,则

f

(x1 ?

x2 ) ?

?? O

?

x

6

3

A. 1

B. 1

C. 2

D. 3

(第 7 题)

2

2

2

8.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一

或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有

A. 34 种

B. 48 种

C. 96 种

D.144 种

9. 函数 f (x) ? ln(x2 ? 2) 的图象大致是

10.如图,从点 M (x0 , 4) 发出的光线,沿平行于抛物线 y2 ? 8x 的

y

对称轴方向射向此抛物线上的点 P ,经抛物线反射后,穿过焦点射

P

M

向抛物线上的点 Q ,再经抛物线反射后射向直线 l : x ? y ?10 ? 0 上 O

x

QN

的点 N ,经直线反射后又回到点 M ,则 x0 等于

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. 已知向量 a ? ?2,1? , b ? ??1, k ? ,
若 a ? b ,则实数 k ? ______; 12.圆 C : x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心

开始 输入 x
n ?1

到直线 l : 3x ? 4y ? 4 ? 0 的距离 d ? ;
13.如图是某算法的程序框图,若任意输入
[1,19]中的实数 x ,则输出的 x 大于 49 的

概率为

;

14.已知 x, y 均为正实数,且 xy ? x ? y ? 3,

n ? n?1

n?3?

输出 x

x ? 2x ?1


结束

则 xy 的最小值为__________;

15. 如果对定义在 R 上的函数 f (x) ,对任意两个不相等的实数 x1, x2 ,都有

x1 f (x1) ? x2 f (x2 ) ? x1 f (x2 ) ? x2 f (x1) ,则称函数 f (x) 为“ H 函数”.给出

下列函数① y ? ?x3 ? x ?1;② y ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ;③ y ? ex ? 1;



f

(x)

?

??ln ?

x

x?0
.以上函数是“ H 函数”的所有序号为

.

??0 x ? 0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分)

已知向量 m ? (sin(2x ? ? ) , sin x) , n ? (1, sin x) , f (x) ? m ? n ? 1 .

6

2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递减区间;

(Ⅱ)在 ?ABC中, a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边, a ? 2 3 , f ( A) ? 1 , 22

若 3 sin( A ? C) ? 2cosC ,求 b 的大小.

17.(本小题满分 12 分)
袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个都是白球的概率为 5 .现甲、 12
乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取…,每次摸取1个球,取出的球不 放回,直到其中有一人取到白球时终止.用 X 表示取球终止时取球的总次数.
(Ⅰ)求袋中原有白球的个数;
(Ⅱ)求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E( X ) .

18.(本小题满分 12 分)

P

如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ?面 ABCD,
F E 、F 分别为 BD 、PD的中点,EA ? EB=AB ?1,

PA ? 2 .

A D

(Ⅰ)证明: PB ∥面 AEF ;

E B

C (Ⅱ)求面 PBD 与面 AEF 所成锐角的余弦值.

19.(本小题满分 12 分)

在数列 ?an ? (n ? N? ) 中,其前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? n ? n2 .

(Ⅰ)求数列?an ?的通项公式;

?n ? 2an , n ? 2k ?1

(Ⅱ)设 bn

?

? ? ?? n2

1 ?

2n

,n

?

2k

( k 为正整数),求数列?bn ?的前 2n 项和T2n .

20.(本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? ex ?1? x . (Ⅰ)求 f (x) 的最小值;
(Ⅱ)当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时,这样的区间称为函数的
保值区间.设 g(x) ? ( f ?(x) ?1)(x2 ?1) ,试问函数 g(x) 在 (1, ??) 上是否存在保值区间?若
存在,请求出一个保值区间;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分)



F1

,

F2

分别是椭圆

D



x a

2 2

?

y2 b2

?

1(a

?

b

?

0)

的左、右焦点,过

F2

作倾斜角为

? 3

的直线交椭圆 D 于 A , B 两点, F1 到直线 AB 的距离为 3 ,连接椭圆 D 的四个顶点得到的
菱形面积为 4 . (Ⅰ)求椭圆 D 的方程; (Ⅱ)已知点 M(?1,0),设 E 是椭圆 D 上的一点,过 E 、M 两点的直线 l 交 y 轴于点 C ,

若 CE ? ? EM , 求 ? 的取值范围; (Ⅲ)作直线 l1 与椭圆 D 交于不同的两点 P , Q ,其中 P 点的坐标为 (?2,0) ,若点 N (0,t) 是 线段 PQ 垂直平分线上一点,且满足 NP ? NQ ? 4 ,求实数 t 的值.

高三自评试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. CADAD BDCDB
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. 2

12. 3

13. 2 3

14. 9 15.②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤.

16. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ) f (x) ? sin(2x ? ? ) ? sin2 x ? 1

6

2

? 3 sin 2x ? 1 cos 2x ? 1? cos 2x ? 1 ? 3 sin 2x ……………………4 分

2

2

2

22

所以

f

(x)

递减区间是

???k?

?

? 4

, k?

?

3? 4

? ??

,

k

?Z

.……………………5



(Ⅱ)由 f ( A) ? 1 和 f (x) ? 3 sin 2x 得: sin A ? 3 ……………6 分

22

2

3

若 cos A ? 6 ,而 sin(A ? C) ? 3 cosC ? 6 sin C

3

3

3

又 3 sin( A ? C) ? 2cosC ,所以 cosC ? 2 sin C

因为 0 ? C ? ? ,所以 cosC ? 6 3

若 cos A ? ? 6 ,同理可得: cos C ? ? 6 ,显然不符合题意,舍去. …9 分

3

3

所以 sin B ? sin(A ? C) ? 2 cosC ? 2 2 ……………………10 分

3

3

由正弦定理得: b ? a sin B ? 4 2 sin A

……………………12 分

17.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)设袋中原有 n

个白球,则从

9

个球中任取

2

个球都是白球的概率为

Cn2 C92

…2



由题意知 Cn2 C92

?5 12

,化简得 n2

? n ? 30 ? 0 .

解得 n ? 6 或 n ? ?5 (舍去)……………………5 分

故袋中原有白球的个数为 6 ……………………6 分

(Ⅱ)由题意, X 的可能取值为1, 2,3, 4 .

P(X ? 1) ? 2 ; P(X ? 2) ? 3? 6 ? 1 ;

3

9?8 4

P(X ? 3) ? 3? 2? 6 ? 1 ; P(X ? 4) ? 3? 2?1? 6 ? 1 .

9?8? 7 14

9?8? 7? 6 84

所以取球次数 X 的概率分布列为:

X

1

2

3

4

P

2

1

1

1

……………10 分

3

4

14

84

所求数学期望为 E( X ) ? 1? 2 ? 2? 1 ? 3? 1 ? 4? 1 ? 10 …………………12 分 3 4 14 84 7

18.(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)因为 E 、 F 分别为 BD 、 PD 的中点, 所以 EF ∥ PB ……………………2 分 因为 EF ?面 AEF , PB ? 面 AEF 所以 PB ∥面 AEF ……………………4 分 (Ⅱ)因为 EA ? EB=AB ?1 所以 ?ABE ? 60 又因为 E 为 BD 的中点 所以 ?ADE ? ?DAE

P
F
A D
E B
C

所以 2(?BAE ? ?DAE) ? 180

得 ?BAE ? ?DAE ? 90 ,即 BA ? AD ……………6 分

因为 EA ? EB=AB ?1,所以 AD ? 3 分别以 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴建立坐标系

所以 B(1, 0, 0), D(0, 3, 0), P(0, 0, 2), F(0, 3 ,1), E( 1 , 3 , 0)

2

22

则 PB ? (1, 0, ?2), PD ? (0, 3, ?2), AE ? (1 , 3 , 0), AF ? (0, 3 ,1) ………8 分

22

2

设 n1 ? (x1, y1, z1) 、 n2 ? (x2, y2, z2 ) 分别是面 PBD 与面 AEF 的法向量



??x1 ? 2z1 ? 0 ? ?? 3y1 ? 2z1 ?

0

,令

n1

?

(2,

23 3

,1)

?3



?? ?

2

y2 ? z2 ? 0

,令 n2 ? (?

? ??

1 2

x2

?

3 2

y2

?

0

3,1, ?

3 ) ……………11 分 2

所以 cos n1, n2

? n1 ? n2 n1 n2

? 11 ……………12 分 19

19.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)由题设得: 2Sn ? n ? n2 ,所以 2Sn?1 ? n ? 1 ? (n ? 1)2 (n ? 2) 所以 an ? Sn ? Sn?1 ? 1 ? n (n ? 2) ……………2 分
当 n ?1时, a1 ? S1 ? 0 ,数列?an?是 a1 ? 0 为首项、公差为 ?1的等差数列
故 an ? 1 ? n .……………5 分

?n ? 21?n , n ? 2k ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

bn

?

? ?1 ??n(n ?

2)

,n

?

2k

……………6 分

T2n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2n

? ??1? 20 ? 3? 2?2 ? 5? 2?4 ? 7 ? 2?6 ? (2n ?1) ? 22?2n ??

?

1 2

???(

1 2

?

1) 4

?

(

1 4

?

1) 6

?

(

1 6

?

1) 8

?

?

?

(

1 2n

?

1 2n ?

2

)???

?? ??1? 20 ? 3? 2? 2 ? ?5 ?24? ? 7 ?26 ?

n(?2

?

1 )2?n ??22 ?

n 4 (n ?

1)

……………9



设 T ? 1? 3? 2?2 ? 5 ? 2?4 ? 7 ? 2?6 ? ? (2n ?1) ? 22?2n

则 2?2 ?T ? 2?2 ? 3? 2?4 ? 5 ? 2?6 ? 7 ? 2?8 ? ? (2n ? 3) ? 22?2n ? (2n ?1) ? 2?2n

两式相减得: 3 ?T ? 1? 2(2?2 ? 2?4 ? 2?6 ? 2?8 ? ? 22?2n ) ? (2n ?1) ? 2?2n 4

整理得: T

?

20 9

?

24n ? 20 9 ? 22n

……………11 分

所以 T2n

?

20 9

?

24n ? 20 9 ? 22n

?

n 4(n ?1)

……………12 分

20.(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)求导数,得 f ?(x) ? ex ?1 .

令 f ?(x) ? 0 ,解得 x ? 0 .

……………2 分

当 x ? 0 时, f ?(x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (??,0) 上是减函数;

当 x ? 0 时, f ?(x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (0, ??) 上是增函数.

故 f (x) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0 . ……………6 分
(Ⅱ)函数 g(x) 在 ?1, ???上不存在保值区间,证明如下: 假设函数 g(x) 存在保值区间?a,b? ,
由 g(x) ? (x2 ?1)ex 得: g?(x) ? (x2 ? 2x ?1)ex

因 x ?1时,

g

?(

x)

?

0

,所以

g

(

x)

为增函数,所以

??g(a) ? (a2 ?1)ea

? ??g(b)

?

(b2

?1)eb

?a ?b

即方程 (x2 ?1)ex ? x 有两个大于1的相异实根 ……………9 分

设?(x) ? (x2 ?1)ex ? x(x ? 1)

??(x) ? (x2 ? 2x ?1)ex ?1

因 x ?1,??(x) ? 0 ,所以?(x) 在 (1, ??) 上单增

所以?(x) 在区间 ?1, ???上至多有一个零点

……………12 分

这与方程 (x ?1)2 ex ? x 有两个大于1的相异实根矛盾

所以假设不成立,即函数 h(x) 在 ?1, ???上不存在保值区间. ……………13 分

21.(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)设 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0),(c,0) ,其中 c ? 0

由题意得 AB 的方程为: y ? 3(x ? c)

? 3c ? 3c

因 F1 到直线 AB 的距离为 3 ,所以有

? 3,解得 c ? 3 ……………2 分 3?1

所以有 a2 ? b2 ? c2 ? 3 ……① 由题意知: 1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab ? 2 ……②
2 联立①②解得: a ? 2,b ? 1

所求椭圆 D 的方程为 x2 ? y2 ? 1……………4 分 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 D 的方程为 x2 ? y2 ? 1 4

设 E(x1, y1) , C(0, m) ,由于 CE ? ? EM ,所以有 (x1, y1 ? m) ? ?(?1 ? x1,? y1)

?

x1

?

?? 1? ?

,

y1

?

m 1? ?

……………7 分

(? ? )2 又 E 是椭圆 D 上的一点,则 1 ? ? ? (

m

)2 ? 1

4

1? ?

所以 m2 ? (3? ? 2)(? ? 2) ? 0 4

解得: ? ? ? 2 或 ? ? ?2 3

……………9 分

(Ⅲ)由 P(?2,0) , 设 Q(x1, y1)

根据题意可知直线 l1 的斜率存在,可设直线斜率为 k ,则直线 l1 的方程为 y ? k(x ? 2)

把它代入椭圆 D 的方程,消去 y ,整理得: (1 ? 4k 2 )x2 ? 16k 2x ? (16k 2 ? 4) ? 0

由韦达定理得 ?

2

?

x1

?

?

16k 2 1? 4k

2

,则

x1

?

2 ? 8k 2 1? 4k 2

,

y1

?

k ( x1

?

2)

?

4k 1? 4k 2

所以线段

PQ 的中点坐标为 (? 8k 2
1? 4k

2

,

2k 1? 4k 2

)

(1)当 k ? 0 时, 则有 Q(2,0) ,线段 PQ 垂直平分线为 y 轴

于是 NP ? (?2,?t), NQ ? (2,?t)

由 NP ? NQ ? ?4 ? t 2 ? 4 ,解得: t ? ?2 2 ……………11 分

(2)

当k

? 0时,

则线段 PQ 垂直平分线的方程为 y ? 2k
1? 4k 2

? ? 1 (x ? k

1

8k 2 ? 4k

2

)

因为点 N (0,t) 是线段 PQ 垂直平分线的一点



x

?

0

,得:

t

?

?

1

6k ? 4k

2

于是 NP ? (?2,?t), NQ ? (x1, y1 ? t)



NP

?

NQ

?

?2 x1

?

t( y1

?

t)

?

4(16k 4 ? 15k 2 (1 ? 4k 2 )2

? 1)

?

4 ,解得: k

?

?

14 7

代入 t

?

?

1

6k ? 4k

2

,解得:

t ? ? 2 14 5

综上, 满足条件的实数 t 的值为 t ? ?2 2 或 t ? ? 2 14 . ……………14 分 5


相关文档

【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试 理科数学 Word版含答案
【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试 理综化学 Word版含答案
【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试 理综生物 Word版含答案
【2013青岛市一模】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试_理科数学(一模第2套)Word版含答案
2014届【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试_文科数学
【2014淄博一模】山东省淄博市2014年高三第一次模拟考试数学理科试题(word版_含答案)
2014淄博一模山东省淄博市2014年高三第一次模拟考试数学理科试题(word版_含答案)
【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试 理综 Word版含答案
山东省青岛市2014届高三3月第一次模拟考试(第二套)_语文_Word版含答案
2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试 英语 Word版含答案.
电脑版