北京市西城区2011届高三一模数学(文)试题及答案

北京市西城区 2011 年高三一模试卷



学(文科)2011.
共 40 分)

4

第Ⅰ卷(选择题

选择题: 小题, 在每小题列出的四个选项中, 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 符合题目要求的一项. 选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A = {2,5} , B = {4,5} ,则 ? ( A U B ) 等于 1. U (A) {1, 2, 3, 4} 2. 函数 y = (A) ( 0, 2] (B) {1,3} (C) {2 , 4,5} (D) {5}

2 ? x + lg x 的定义 域是
(B) (0, 2) (C) [ 0, 2] (D) [1, 2]

3.为了得到函数 y = sin x + cos x 的图像,只需把 y = sin x ? cos x 的图象上所有的点 3. (A)向左平移 (C)向左平移

π π
4 2

个单位长度 个单位长度

.u.c.o

(B)向右平移 (D)向右平移

π π
4 2

个单位长度 个单位长度

.u.c.o

.u.c.o

4. 设 a = log 2 3 , b = log 4 3 , c =

1 ,则 2
(C) b < c < a [来 源:学&科&网] (D) c < b < a

(A) a < c < b

(B) c < a < b

5.一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积是 (A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 36
3 4 3 4 3 3

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

6.对于平面 α 和异面直线 m, n ,下列命题中真命题是 (A)存在平面 α ,使 m ⊥ α , n ⊥ α (B)存在平面 α ,使 m ? α , n ? α (C)存在 平面 α ,满足 m ⊥ α , n // α (D)存在平面 α ,满足 m // α , n // α

7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的 成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过 乙的平均成绩的概率为 (A)

甲 9 8 2 1 0

8 9 (D)

乙 3 3 7 9

2 5

(B)

7 10

(C)

4 5

9 10

某次测试成绩满分为 150 分, n 名学生的得分分别为 a1 , a2 ,L , an( ai ∈ N , ≤ i ≤ n ) 设 1 , 8.

bk ( 1 ≤ k ≤ 150 )为 n 名学生中得分至少为 k 分的人数.记 M 为 n 名学生的平均成绩.则 b + b2 + L + b150 b + b2 + L + b150 (A) M = 1 (B) M = 1 n 150 b1 + b2 + L + b150 b1 + b2 + L + b150 (C) M > (D) M > n 150

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9. 若复数 (1 + i)(1 + ai) 是纯虚数,则实数 a 等于______. 10.设向量 a = (1, sin θ ) , b = (1, cos θ ) ,若 a ? b = 10.

3 ,则 sin 2θ = ______. 5

x2 x2 2 2 11.双曲线 C : ? y = 1 的离心率为______; 若椭圆 2 + y = 1( a > 0) 与双曲线 C 有相同 11. 2 a
的 焦点,则 a = ______. 12. 设不等式组 ?

??2 ≤ x ≤ 2, 表示的区域为 W , ? ?2 ≤ y ≤ 2

圆 C : ( x ? 2) 2 + y 2 = 4 及其内部区域记为 D . 若向区域 W 内投入一点,则该点落在区域 D 内的概率为_____. 13. 阅读右侧程序框 图,则输出的数据 S 为_____. 14. 14 已知数列 {an } 的各项均为正整数, Sn 为其前 n 项和, 对于 n = 1, 2, 3,L ,有

?3an + 5, an为奇数, ? , an +1 = ? an an为偶数.其中k为使an +1为奇数的正整数 ? 2k , ?
当 a 3 = 5 时, a1 的最小值为______;

当 a1 = 1 时, S1 + S 2 + L + S 20 = ______. 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B = (Ⅰ)当 A = 30 时,求 a 的值;
o

4 ,b = 2. 5

(Ⅱ)当 ?ABC 的面积为 3 时,求 a + c 的值. 16. (本小题满分 13 分) 如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直, ∠ADE = 90 ,
o

AF // DE , DE = DA = 2 AF = 2 .
(Ⅰ)求证: AC ⊥ 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅲ)求四面体 BDEF 的体积. F

E

D

C

17. (本小题满分 13 分)

A

B

已知 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 + 2a2 = 3a3 . (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 2 ,公差为 q 的等差数列,其前 n 项和为 Tn . 当 n ≥ 2 时,试比 较 bn 与 Tn 的大小. 本小题满分 来源: 18. (本小题满分 14 分)[来源:学科网 ZXXK] 已知函数 f ( x ) = x ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点; (Ⅱ)若直线 l 过点 (0, ?1) ,并且与曲线 y = f ( x) 相切,求直线 l 的方程; (Ⅲ)设函数 g ( x ) = f ( x) ? a ( x ? 1) ,其中 a ∈ R ,求函数 g ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小 值.(其中 e 为自然对数的底数)

已知抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F ,直线 l 过点 M (4, 0) . (Ⅰ)若点 F 到直线 l 的距离为 3 ,求直线 l 的斜率; (Ⅱ)设 A, B 为抛物线上两点,且 AB 不与 x 轴重合,若线段 AB 的垂直平分线恰过点

M ,求证:线段 AB 中点的横坐标为定值.

[来源:学科网] 20.( 20.(本小题满分 13 分) 将 1,2,3, L , n 这 n 个数随机排成一列,得到的一列数 a1 , a 2 , L , a n 称为 1,2,3, L , n 的一 个排列. 定义 τ (a1 , a 2 , L , a n ) = | a1 ? a 2 | + | a 2 ? a 3 | + L | a n ?1 ? a n | 为 排列 a1 , a 2 , L , a n 的 波动强度. (Ⅰ)当 n = 3 时,写出排列 a1 , a 2 , a 3 的所有可能情况及所对应的波动强度; (Ⅱ)当 n = 10 时,求 τ (a1 , a2 ,L , a10 ) 的最大值,并指出所对应的一个排列; (Ⅲ)当 n = 10 时,在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整,若要求每次调 整时波动强度不增加,问对任意排列 a1 , a2 ,L , a10 ,是否一定可以经过有限次调整使其波动 强度降为 9;若可以,给出调整方案,若不可以,请给出反例并加以说明.

[来源:学科网]

北京市西城区 2011 年高三一模试卷 参考答案及评分标准

数学(文科)
小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 D 7 C 8 A

2011.4

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9.

1

10. ? 13. 31

4 5

11.

6 ,2 2

12.

π 8

14. 5 , 910

注:11 题,14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 解答题: 小题, 若考生的解法与本解答不同, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分 标准给分. 标准给分. 15.(本小题满分 13 分) ( 解: (Ⅰ)因为 cos B = 分 由正弦定理 分 所 以 … …………………6 分

4 3 ,所以 sin B = . 5 5

……………………2

a b a 10 = , 可得 = . o sin A sin B sin 30 3

……………………4

a=

5 . 3
(Ⅱ)因为 ?ABC 的面积 S = 所以

1 3 ac sin B , sin B = , 2 5
……………………8

3 ac = 3 , ac = 10 . 10
2 2 2

分 由余弦定理 b = a + c ? 2ac cos B , 分 得4 = a + c ?
2 2

……………………9

8 ac = a 2 + c 2 ? 16 , a 2 + c 2 = 20 . 即 5

……………………10

分 所以 ( a + c) 2 ? 2ac = 20 ,(a + c) 2 = 40 , 分 所以,a + c = 2 10 . ……………………13 ……………………12



16.(本小题满分 13 分) ( (Ⅰ)证明:因为平面 ABCD ⊥ 平面 ADEF , ∠ADE = 90 ,
o

E

所以 DE ⊥ 平面 ABCD , 所以 DE ⊥ AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ⊥ BD , 所以 AC ⊥ 平面 BDE .

…………………2 分 …………………3 分 F D O …………………4 分 A B G C

(Ⅱ)证明:设 AC I BD = O ,取 BE 中点 G ,连结 FG , OG ,
// 1 所以, OG = DE .

2

……………………5


// 因为 AF // DE , DE = 2 AF ,所以 AF = OG ,

……………………6

分 而 FG // AO . 因 为 从 四 边

AFGO 是 平 形 ……………………7 分
平 面











FG ?

BEF

,

AO ?





BEF ,

……………………8 分 ……………………9

所以 AO // 平面 BEF , AC // 平面 BEF . 即 分 (Ⅲ)解:因为平面 ABCD ⊥ 平面 ADEF , AB ⊥ AD , 所 以

AB ⊥
o





ADEF .
1 × ED × AD = 2 , 2
面 体

……………………11 分

因为 AF // DE , ∠ADE = 90 , DE = DA = 2 AF = 2 , 所以 ?DEF 的面积为 分 所 以 四 ……………………12

BDEF







1 4 = S ?DEF × AB = . 3 3
17.( 17.(本小题满分 13 分)
2

……………………13 分

解: (Ⅰ)由已知可得 a1 + 2a1q = 3a1q , 分

……………………2

因为 {an } 是等比数列, 所以 3q ? 2q ? 1 = 0 .
2

……………………3

分 解得 q = 1 或 q = ?

1 . 3 n 2 + 3n , 2

……………………

5 分[来源:Zxxk.Com] (Ⅱ)①当 q = 1 时, bn = n + 1 , Tn = 分[来源:学§科§网] 所以,当 n ≥ 2 时, Tn ? bn = ……………………7

n2 + n ? 2 >0. 2
……………………8

即当 q = 1 时,Tn > bn ( n ≥ 2) . 分 ②当 q = ? 时,bn = 2 + ( n ? 1)( ? ) = 分

1 3

1 3

7?n , 3

……………………9

n 1 13n ? n 2 Tn = 2n + (n ? 1)(? ) = , 2 3 6


……………………10

Tn ? bn = ?
分[来源:Z§xx§k.Com]

(n ? 1)(n ? 14) , 6

……………………12

所以,当 n > 14 时, Tn < bn ;当 n = 14 时, Tn = bn ; 当 2 ≤ n < 14 时, n > bn . T 分 综上,当 q = 1 时, Tn > bn ( n ≥ 2) .当 q = ? 时,若 n > 14 , Tn < bn ;若 n = 14 , ……………………13

1 3

Tn = bn ;若 2 ≤ n < 14 , Tn > bn .
18.( 18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ′( x ) = ln x + 1 , x > 0 , 2分 由 f ′( x ) = 0 得 x = 分 ……………………

1 , e

……………………3

所以, f ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递减,在区间 ( , +∞ ) 上单调递增. 分 所以, x = 分 (Ⅱ)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 y0 = x0 ln x0 , 分 切线的斜率为 ln x0 + 1 , 所以,ln x0 + 1 = 分 解得 x0 = 1 , y0 = 0 , 分 所以直线 l 的方程为 x ? y ? 1 = 0 . 9分 (Ⅲ) g ( x ) = x ln x ? a ( x ? 1) , 则 g ′( x ) = ln x + 1 ? a , 分 解 g ′( x ) = 0 ,得 x = e
a ?1

1 e

1 e

………………4

1 是函数 f ( x ) 的极小值点,极大值点不存在. e

…………………5

…………………6

y0 + 1 , x0

…………………7

…………………8

…………………

…………………10



所以,在区间 ( 0, e a?1 ) 上, g ( x ) 为递减函数, 在区间 ( e a?1 , + ∞) 上, ( x ) 为递增函数. g 分 当e
a?1

…………………11

≤ 1 ,即 a ≤ 1 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数,
所以 g ( x ) 最小值为 g (1) = 0 . …………………

12 分 当1 < e 13 分 当e
a?1 a?1

< e ,即 1 < a < 2 时, g ( x) 的最小值为 g (e a ?1 ) = a ? ea ?1 .

……………

≥ e ,即 a ≥ 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数,
所以 g ( x ) 最小值为 g (e) = a + e ? ae . ………………

14 分 综上, a ≤ 1 时,g ( x ) 最小值为 0 ; 1 < a < 2 时,g ( x ) 的最小值 a ? e 当 当
a ?1

; a≥2 当

时, g ( x ) 的最小值为 a + e ? ae .

19.( 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知, x = 4 不合题意.设直线 l 的方程为 y = k ( x ? 4) , 由已知,抛物线 C 的焦点坐标为 (1, 0) , 1分 因为点 F 到直线 l 的距离为 3 , 所以 分 解得 k = ± 分 (Ⅱ)设线段 AB 中点的坐标为 N ( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 因为 AB 不垂直于 x 轴, 则直线 MN 的斜率为 分 直线 AB 的方程为 y ? y0 = 分 …………………

3k 1+ k 2

= 3,

…………………3

2 2 , 所以直线 l 的斜率为 ± . 2 2

…………………5

y0 4 ? x0 ,直线 AB 的斜率为 , x0 ? 4 y0 4 ? x0 ( x ? x0 ) , y0

…………………7

…………………8

4 ? x0 ? ? y ? y0 = y ( x ? x0 ), 联立方程 ? 0 ? y 2 = 4 x, ?
消去 x 得 (1 ?

x0 2 2 ) y ? y0 y + y0 + x0 ( x0 ? 4) = 0 , 4 4 y0 , 4 ? x0 2 y0 y1 + y2 = y0 ,即 = y0 , 2 4 ? x0

…………………10

分[来源:学科网 ZXXK] 所以 y1 + y2 = 分 因为 N 为 AB 中点,所以 分 所以 x0 = 2 .即线段 AB 中点的横坐标为定值 2 . ………………… …………………13 …………………11

14 分 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) n = 3 时,排列 a1 , a 2 , a 3 的所有可能为 1, 2,3 ; 1,3, 2 ; 2,1,3 ; 2,3,1 ; 3,1, 2 ;

3, 2,1 .[来源:Zxxk.Com]
………………2 分

τ (1,2,3) = 2 ; τ (1,3,2) = 3 ;τ (2,1,3) = 3 ; τ (2,3,1) = 3 ;τ (3,1,2) = 3 ;τ (3,2,1) = 2 .
分 (Ⅱ) τ (a1 , a2 ,L , a10 ) = | a1 ? a2 | + | a2 ? a3 | + L + | a9 ? a10 | 上式转化为 ± a1 ± a2 ± a2 ± a3 ± L ± a9 ± a10 , 在上述 18 个 ± 中,有 9 个选正号, 9 个选负号,其中 a1 , a10 出现一次, a2 , a3 ,L , a9 各 出现两次. ………………6 分 所以 τ (a1 , a2 ,L , a10 ) 可以表示为 9 个数的和减去 9 个数的和的形式, 若使 τ (a1 , a2 ,L , a10 ) 最大,应使第一个和最大,第二个和最小. 所以 τ (a1 , a2 ,L , a10 ) 最大为: ………………4

(10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 7 + 7 + 6) ? (1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5) = 49 .
8分

……………

所对应的一个排列为: 5 , 7 ,1 ,8 , 2 , 9 ,3 ,10 , 4 , 6 .(其他正确的排列同等给分) ………9 分 (Ⅲ)不可以. 例如排列 10 ,9 ,8 , 7 ,1 , 2 , 3 , 4 ,5 , 6 ,除调整 1 , 2 外,其它调整都将使波动强度增加, 调 变. 整

1,2











……………11 分 所以只能将排列 10 ,9 ,8 , 7 ,1 , 2 , 3 , 4 ,5 , 6 调整为排列 10 ,9 ,8 , 7 , 2 ,1 , 3 , 4 ,5 , 6 . 对于排列 10 ,9 ,8 , 7 , 2 ,1 , 3 , 4 ,5 , 6 ,仍然是除调整 2 ,1 外,其它调整都将使波动强

度增加,所以仍只能调整 1 , 2 两个数字. 如此不断循环下去, 不可能经过有限次调整使其波动强度降为 9 . 分 ……………13


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