2019-2020年高中数学课时跟踪训练九双曲线的标准方程新人教B版选修

2019-2020 年高中数学课时跟踪训练九双曲线的标准方程新人教 B 版选修

1.双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( )

A.??? 22,0???

B.??? 25,0???

C.??? 26,0???

D.( 3,0)

2.已知点 F1(-4,0)和 F2(4,0),曲线上的动点 P 到 F1,F2 距离之差为 6,则曲线方程

为( )

x2 y2 A. 9 - 7 =1

B.x92-y72=1(y>0)

x2 y2

x2 y2

C. 9 - 7 =1 或 7 - 9 =1

D.x92-y72=1(x>0)

3.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围为

()

A.(-1,1)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

y2 x2 4.椭圆49+24=1

与双曲线

y2-2x42 =1

有公共点

P,则

P

与双曲线两焦点连线构成三角

形面积为( )

A.48

B.24

C.24 3

D.12 3

y2 x2 5.设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 m - 9 =1 的一个焦点,则 m=________.

x2

y2

6.已知方程4-t+t-1=1

表示的曲线为

C.给出以下四个判断:

①当 1<t<4 时,曲线 C 表示椭圆; ②当 t>4 或 t<1 时,曲线 C 表示双曲线;

③若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<52;

④若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 t>4.

其中判断正确的是________(只填正确命题的序号).

7.已知双曲线的一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为

(0,2),求双曲线的标准方程.
8.已知△ABC 的两个顶点 A,B 分别为椭圆 x2+5y2=5 的左焦点和右焦点,且三个内角 A,B,C 满足关系式 sin B-sin A=12sin C.
(1)求线段 AB 的长度; (2)求顶点 C 的轨迹方程.
答案 1.选 C 将双曲线方程化为标准方程为: x2-y12=1,∴a2=1,b2=12,
2 ∴c2=a2+b2=32,∴c= 26,
故右焦点坐标为??? 26,0???. 2.选 D 由双曲线的定义知,点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的 右支,其方程为x92-y72=1(x>0). 3.选 A 由题意得?????11+ -kk>>00, , 解得?????kk><1-,1, 即-1<k<1. 4.选 B 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1(0,5)和 F2(0,-5),又由椭圆与双

曲线的定义可得

??|PF1|+|PF2|=14,
?
??||PF1|-|PF2||=2,

所以???|PF1|=8, ??|PF2|=6,

或???|PF1|=6, ??|PF2|=8.

又|F1F2|=10, ∴△PF1F2 为直角三角形,∠F1PF2=90°.

因此△PF1F2 的面积 S=12|PF1||PF2|=12×6×8=24.

5.解析:由点 F(0,5)可知该双曲线ym2-x92=1 的焦点落在 y 轴上,所以 m>0,且 m+9

=52,解得 m=16.

答案:16

6.解析:①错误,当 t=52时,曲线 C 表示圆;②正确,若 C 为双曲线,则(4-t)(t-

1)<0,∴t<1 或 t>4;③正确,若 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 4-t>t-1>0.∴1<t<52;④

正确,若曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线,则?????4t- -t1<>00,. ∴t>4. 答案:②③④ x2 y2 7.解:设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0).

因为 c= 5,c2=a2+b2, 所以 b2=5-a2,a2<5.
x2 y2 所以a2-5-a2=1. 由于线段 PF1 的中点坐标为(0,2), 则 P 点坐标为( 5,4),
5 16 代入双曲线方程得a2-5-a2=1, 解得 a2=1(a2=25 舍去). 故双曲线的标准方程为 x2-y42=1. 8.解:(1)将椭圆方程化为标准形式为x52+y2=1. ∴a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4, 则 A(-2,0),B(2,0),|AB|=4.

(2)∵sin B-sin A=12sin C, ∴由正弦定理得 |CA|-|CB|=12|AB|=2<|AB|=4, 即动点 C 到两定点 A,B 的距离之差为定值. ∴动点 C 的轨迹是双曲线的右支,并且 c=2,a=1, ∴所求的点 C 的轨迹方程为 x2-y32=1(x>1).

2019-2020 年高中数学课时跟踪训练九椭圆的几何性质苏教版选修

1.(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是

C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为________. 2.(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于12,则 C 的

方程是________________________________________________________________________.

x2 y2 3.曲线25+ 9 =1

与曲线25x-2 k+9-y2 k=1(k<9)的________相等.(填“长轴长”或“短

轴长”或“离心率”或“焦距”)

x2 y2 4.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率是

36,过椭圆上一点

M

作直线

MA,MB

分别交椭圆

于 A,B 两点,且斜率分别为 k1,k2,若点 A,B 关于原点对称,则 k1·k2 的值为________. 5.设 F1,F2 是椭圆 E:xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x=32a上一点,△F2PF1

是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率是________.

6.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e=35,经过点 A(5 2 3,-2),求椭圆的标准方程.

7.已知椭圆

x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率

e=

3 2 ,求

m

的值及椭圆的长轴和短轴的长、

焦点坐标、顶点坐标.

8.若椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 P 是椭圆上的一点,P 在 x 轴上的射影恰为 椭圆的左焦点,P 与中心 O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等 于 10- 5,试求椭圆的离心率及其方程.

答案
课时跟踪训练(九) 1.解析:法一:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= 3m,故离心率 e=ca=22ca=|PF|1|F+1F2||PF2|=2m+3mm= 33. 法二:由 PF2⊥F1F2 可知 P 点的横坐标为 c,将 x=c 代入椭圆方程可解得 y=±ba2,所以|PF2|

=ba2.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=

3|PF2|,故 2c=

b2 3· a ,变形可得

3(a2-c2)=2ac,

等式两边同除以 a2,得

3(1-e2)=2e,解得

e=

3 3或

e=-

3(舍去).

3 答案: 3

c=1,
??? 2.解析:依题意,设椭圆方程为xa22+yb22=1(a>b>0),所以 ca=12, ??c2=a2-b2,

解得 a2

=4,b2=3. x2 y2
答案: 4 + 3 =1 3.解析:c2=25-k-(9-k)=16,c=4.故两条曲线有相同的焦距. 答案:焦距 4.解析:设点 M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1),则 y2=b2-ba2x2 2,y21=b2-ba2x2 21.所以 k1·k2=yx- -yx11·yx+ +yx11=yx22- -yx2121=-ba22=ca22-1=e2-1=-13,即 k1·k2 的值为-13.
1 答案:-3 5.解析:设直线 x=32a与 x 轴交于点 M,则∠PF2M=60°.由题意知,F1F2=PF2=2c,F2M =32a-c.在 Rt△PF2M 中,F2M=12PF2,即32a-c=c.∴e=ca=34.
3 答案:4 6.解:设椭圆的标准方程为 xa22+yb22=1(a>b>0),则47a52+b42=1.① 由已知 e=35,∴ca=35,∴c=35a. ∴b2=a2-c2=a2-(35a)2,即 b2=2156a2.②
75 4×25 把②代入①,得4a2+ 16a2 =1, 解得 a2=25,∴b2=16,∴所求方程为2x52 +1y62 =1.

x2 y2 7.解:椭圆方程可化为 m + m =1,
m+3
由 m>0,易知 m>m+m 3,
∴a2=m,b2=m+m 3.

∴c= a2-b2=

m m+ m+3

.

由 e= 23,得

mm+ +23= 23,解得 m=1,

∴椭圆的标准方程为 x2+y12=1. 4

∴a=1,b=12,c= 23. ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1,

两焦点坐标分别为 F1???- 23,0???,F2??? 23,0???, 顶点坐标分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1???0,-21???,B2???0,12???. 8.解:令 x=-c,代入xa22+yb22=1(a>b>0), 得 y2=b2(1-ca22)=ba42,∴y=±ba2. 设 P(-c,ba2),椭圆的右顶点 A(a,0),上顶点 B(0,b). ∵OP∥AB,∴kOP=kAB,∴-abc2 =-ba,

∴b=c.而 a2=b2+c2=2c2,∴a= 2c,∴e=ca= 22.

又∵a-c= 10- 5,解得 a= 10,c= 5,∴b= 5, x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为10+ 5 =1.


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