广西南宁四十二中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

2014-2015 学年广西南宁四十二中高一(上)期末数 学试卷

一、选择题(本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 2.f(x)= A. (4,+∞) B. (﹣∞,4] C.[4,+∞) D. (﹣∞,4) 3.函数 f(x)=x 的图象关于( A.y 轴 B.直线 y=x C.坐标原点 D.直线 y=﹣x 4.函数 y=2 的值域为( A. (﹣∞,+∞) B. (0,+∞) C. (0,1) D. (1,+∞) 5.函数 y=2x﹣4 的零点是( A.x=0 B.x=1 C.x=2 D. (2,0)
x 3

)

的定义域为(

)

)对称.

)

)

6.集合 A={x|0<x≤2},B={x|0≤x<1},下列表示从 A 到 B 的函数是( A.f:x→y= x B.f:x→y=2x C.f:x→y= x

)

D.f:x→y=x 7.正方体的体积是 64,则其表面积是( A.64 B.16 C.96 D.无法确定 )

8.已知某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是(

)

A.长方体 B.圆柱 C.四棱锥 D.四棱台 9.下列各式正确的是( A.1.7 >1.7 B.lg3.4<lg2.9 C.log0.31.8<log0.32.7 0.2 3 D.1.7 >0.9 10.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( A.y=log2x B.y= C.y=﹣ D.y= )
2 3

)

11.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AB,A1D1 所成的角等于( A.30° B.45° C.60° D.90°

)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 12.已知函数 f(x)= ,f(4)=__________.

13.2log510+log50.25=__________. 14.函数 y=x ﹣2x 的最小值为__________. 15.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,二面角 C1﹣AB﹣C 的平面角等于__________.
2

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分) 16.已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?R(A∩B) ,A∪(?RB) 17.试证明函数 f(x)=x +1 在(﹣∞,0)上是减函数. 18.函数 y1=log2(3x﹣1) ,y2=log2(2x) ,求 x 的取值范围,使得: (1)y1=y2; (2)y1<y2. 19.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 AB、AD、C1D1 的中点.求 证:平面 D1EF∥平面 BDG.
2

20. (17 分)用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图) ,若矩形底边长 为 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并写出其定义域.

21.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点,求证: (Ⅰ)A1C∥平面 BDE; (Ⅱ)平面 A1AC⊥平面 BDE.

2014-2015 学年广西南宁四十二中高一(上)期末数学试 卷
一、选择题(本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析: 找出全集 U 中不属于 A 的元素, 求出 A 的补集, 找出既属于 A 补集又属于 B 的元素, 确定出所求的集合. 解答: 解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3}, ∴CUA={0,4},又 B={2,4}, 则(CUA)∪B={0,2,4}. 故选 C 点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键. 2.f(x)= A. (4,+∞) B. (﹣∞,4] C.[4,+∞) 的定义域为( )

D. (﹣∞,4) 考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:直接由根式内部的代数式大于等于 0 求解 x 的取值集合得答案. 解答: 解:由 4﹣x≥0,得 x≤4. ∴f(x)= 的定义域为(﹣∞,4].

故选:B. 点评:本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题. 3.函数 f(x)=x 的图象关于( )对称. A.y 轴 B.直线 y=x C.坐标原点 D.直线 y=﹣x 考点:函数奇偶性的性质. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:确定函数 f(x)=x 是奇函数,可得函数 f(x)=x 的图象关于坐标原点对称. 3 3 解答: 解:∵f(﹣x)=(﹣x) =﹣x =﹣f(x) , 3 ∴函数 f(x)=x 是奇函数, 3 ∴函数 f(x)=x 的图象关于坐标原点对称. 故选:C. 点评:本题考查函数图象的对称性,确定函数 f(x)=x 是奇函数是关键. 4.函数 y=2 的值域为( ) A. (﹣∞,+∞) B. (0,+∞) C. (0,1) D. (1,+∞) 考点:指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题:规律型. x x 分析:由于 2 >0,由此求得函数 y=2 的值域. x 解答: 解:∵2 >0, x ∴函数 y=2 的值域为(0,+∞) , 故选 B. 点评:本题主要考查指数函数的值域,属于基础题. 5.函数 y=2x﹣4 的零点是( ) A.x=0 B.x=1 C.x=2 D. (2,0) 考点:函数零点的判定定理. 专题:计算题;函数的性质及应用.
x 3 3 3 3

分析:由 y=2x﹣4=0,可得函数 y=2x﹣4 的零点. 解答: 解:由 y=2x﹣4=0,可得 x=2, ∴函数 y=2x﹣4 的零点是 x=2. 故选:C. 点评:本题考查函数的零点,考查学生的计算能力,正确理解函数的零点是关键. 6.集合 A={x|0<x≤2},B={x|0≤x<1},下列表示从 A 到 B 的函数是( A.f:x→y= x B.f:x→y=2x C.f:x→y= x D.f:x→y=x 考点:映射. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据映射的定义,A 中任意元素,在 B 中都有唯一的元素与之对应,逐一判断四个 函数解析式是否满足,可得答案. 解答: 解:∵集合 A={x|0<x≤2},B={x|0≤x<1}, 若 f:x→y= x,则 A 中元素 1,在 B 中没有应的元素,不能表示从 A 到 B 的函数; 若 f:x→y=2x,则 A 中满足 ≤x≤2 的元素在 B 中没有对应的元素,不能表示从 A 到 B 的函 数; 若 f:x→y= x,则 A 中任意元素,在 B 中都有唯一的元素与之对应,可以表示从 A 到 B 的函数; 若 f:x→y=x,则则 A 中满足 1≤x≤2 的元素在 B 中没有对应的元素,不能表示从 A 到 B 的 函数; 故选:C 点评:本题考查的知识点是映射的定义,熟练掌握映射的定义,是解答的关键. 7.正方体的体积是 64,则其表面积是( ) A.64 B.16 C.96 D.无法确定 考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由正方体的体积是 64,能求出正方体的边长为 4,由此能求出正方体的表面积. 解答: 解:∵正方体的体积是 64, ∴正方体的边长为 4, 2 ∴它的表面积 S=6×4 =96. 故选 C. )

点评:本题考查正方体的体积和表面积的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等价转 化思想的合理运用. 8.已知某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是( )

A.长方体 B.圆柱 C.四棱锥 D.四棱台 考点:由三视图还原实物图. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由几何体的三视图都是矩形,知该几何体是长方体. 解答: 解:∵该几何体的三视图都是矩形, ∴该几何体是长方体,如图所示. 故选 A.

点评:本题考查由几何体的三视图还原几何体,是基础题.解题时要认真审题,注意等价转 化思想的合理运用. 9.下列各式正确的是( ) 2 3 A.1.7 >1.7 B.lg3.4<lg2.9 C.log0.31.8<log0.32.7 0.2 3 D.1.7 >0.9 考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. x 分析:A.利用函数 y=1.7 在 R 上单调递增,即可判断出; B.利用函数 y=lgx 在(0,+∞)单调递增,即可判断出; C.利用函数 y=log0.3x 在(0,+∞)单调递减,即可判断出; 0.2 3 D.利用 1.7 >1>0.9 ,即可得出.

解答: 解:A.∵函数 y=1.7 在 R 上单调递增,∴1.7 <1.7 ,因此不正确; B.∵函数 y=lgx 在(0,+∞)单调递增,∴lg3.4>lg2.9,因此不正确; C..∵函数 y=log0.3x 在(0,+∞)单调递减,∴log0.31.8>log0.32.7,因此不正确; 0.2 3 0.2 3 D.∵1.7 >1>0.9 ,∴1.7 >0.9 ,因此正确. 故选:D. 点评:本题考查了对数函数与指数函数的单调性,属于基础题. 10.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( A.y=log2x B.y= C.y=﹣ D.y= 考点:函数单调性的判断与证明. 分析:根据基本初等函数的单调性判断. 解答: 解:A 选项:y=log2x 在(0,+∞)上单调递增,故排除. B 选项: C 选项: 与 在(0,+∞)上单调性一致,为单调递增,故排除. 单调性相反,所以 在(0,1)上是单调 )

x

2

3

递增的,故排除. 故答案为 D. 点评:考察函数的单调性的判断,属基础题. 11.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AB,A1D1 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 考点:异面直线及其所成的角. 专题:空间角. 分析:由长方体的特点可得 AB 与 AD 所成的角即为异面直线 AB,A1D1 所成的角,由矩形 的性质可求. 解答: 解:∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,DA∥A1D1, ∴AB 与 AD 所成的角即为异面直线 AB,A1D1 所成的角, 在矩形 ABCD 中易得 AB 与 AD 所成的角为 90°, 故异面直线 AB,A1D1 所成的角等于 90° 故选:D 点评:本题考查异面直线所成的角,属基础题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

12.已知函数 f(x)=

,f(4)=﹣3.

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:直接利用函数的解析式求解函数值即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴f(4)= =﹣3. ,

故答案为:﹣3. 点评:本题考查函数的解析式的应用,函数值的求法,考查计算能力. 13.2log510+log50.25=2. 考点:对数的运算性质. 专题:计算题. 分析:根据对数运算法则 nlogab=logab 和 logaM+logaN=loga(MN)进行求解可直接得到答 案. 解答: 解:∵2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 故答案为:2. 点评:本题主要考查对数的运算法则,解题的关键是对对数运算法则的熟练程度,属于基础 题. 14.函数 y=x ﹣2x 的最小值为﹣1. 考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 2 2 分析:运用配方求解得出 y=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1,即可得出最小值. 2 2 解答: 解:∵配方得出:y=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1, 2 ∴函数 y=x ﹣2x 的最小值为﹣1, 故答案为:﹣1. 点评:本题考查了配方求解二次函数的最小值问题,思路简单,计算量小,属于很容易的题 目. 15.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,二面角 C1﹣AB﹣C 的平面角等于 45°. 考点:二面角的平面角及求法. 专题:空间角. 分析:利用正方体的性质、三垂线定理、二面角的平面角的定义即可得出. 解答: 解:如图所示,
2 n

由正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,可得 CC1⊥CB,CC1⊥CD,CB∩CD=C. ∴CC1⊥底面 ABCD. 又 AB⊥BC,∴AB⊥BC1. ∴∠CBC1 是二面角 C1﹣AB﹣C 的平面角. 由正方形 BCC1B1 可得 故答案为 45°. .

点评:本题考查了正方体的性质、三垂线定理、二面角的平面角的定义,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分) 16.已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?R(A∩B) ,A∪(?RB) 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:直接由交、并、补集的混合运算得答案. 解答: 解:∵A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}, ∴A∩B={x|3≤x<7},则?R(A∩B)={x|x<3 或 x≥7}; ?RB={x|x≤2 或 x≥10},则 A∪(?RB)={x|x≤2 或 3≤x<7 或 x≥10}. 点评:本题考查交、并、补集的混合运算,是基础的计算题. 17.试证明函数 f(x)=x +1 在(﹣∞,0)上是减函数. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:求出函数 f(x)的导函数,根据导数在区间(﹣∞,0)上是负,判断函数 f(x)是 减函数. 解答: 证明:f′(x)=2x,当 x∈(﹣∞,0)时,f′(x)=2x<0, ∴f(x)在(﹣∞,0)上是减函数. 点评:这是一道利用导数判断函数的单调性的应用题.属于基础题. 18.函数 y1=log2(3x﹣1) ,y2=log2(2x) ,求 x 的取值范围,使得: (1)y1=y2; (2)y1<y2. 考点:对数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用.
2

分析: (1)直接求解对数方程得答案; (2)求解对数不等式得答案. 解答: 解: (1)由 y1=y2,得 log2(3x﹣1)=log2(2x) ,



,解得:x=1.

∴满足 y1=y2 的 x 的值是 1; (2)由 y1<y2,得 log2(3x﹣1)<log2(2x) ,



,解得:



∴满足 y1<y2 的 x 的范围是(

) .

点评: 本题考查对数函数的图象和性质, 考查对数不等式的解法, 注意对数式的真数大于 0, 是基础题. 19.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 AB、AD、C1D1 的中点.求 证:平面 D1EF∥平面 BDG.

考点:平面与平面垂直的判定. 专题:证明题. 分析:欲证平面 D1EF∥平面 BDG,根据面面平行的判定定理可知只需在一个平面内找两相 交直线与另一平面平行,EF∥BD 又 EF?平面 BDG,BD?平面 BDG 根据线面平行的性质 可知 EF∥平面 BDG,同理可证 D1E∥平面 BDG,EF∩D1E=E,满足定理条件. 解答: 证明:∵E、F 分别是 AB、AD 的中点,∴EF∥BD 又 EF?平面 BDG,BD?平面 BDG∴EF∥平面 BDG ∵D1G EB∴四边形 D1GBE 为平行四边形,D1E∥GB

又 D1E?平面 BDG,GB?平面 BDG ∴D1E∥平面 BDG,EF∩D1E=E, ∴平面 D1EF∥平面 BDG 点评:本小题主要考查空间中的线面关系,考查线面平行的判定,考查识图能力和逻辑思维 能力与推理论证能力,考查转化思想,属于基础题.

20. (17 分)用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图) ,若矩形底边长 为 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并写出其定义域.

考点:函数模型的选择与应用. 专题:计算题. 分析:首先根据已知表示出图中的长度,然后按照已知条件列出函数表达式,通过计算求出 x 的取值范围即为定义域. 解答: 解:∵AB=2x, 则 AD= ∴y=2x? =﹣( +2)x +lx.
2

=πx, . +



>0, . }

解得 0<x<

故答案为:{x|0<x<

点评:本题考查函数模型的选择与应用,通过对实际问题的分析,构造数学模型从而解决问 题.需要对知识熟练的掌握并应用,属于基础题. 21.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点,求证: (Ⅰ)A1C∥平面 BDE; (Ⅱ)平面 A1AC⊥平面 BDE.

考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:证明题. 分析: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O,连接 EO,△ A1AC 中利用中位线,得 EO∥A1C.再结合 线面平行的判定定理,可得 A1C∥平面 BDE; (II)根据正方体的侧棱垂直于底面,结合线面垂直的定义,得到 AA1⊥BD.再结合正方 形的对角线互相垂直,得到 AC⊥BD,从而得到 BD⊥平面 A1AC,最后利用面面垂直的判 定定理,可以证出平面 A1AC⊥平面 BDE. 解答: 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O,连接 EO, ∵E 为 AA1 的中点,O 为 AC 的中点 ∴EO 为△ A1AC 的中位线 ∴EO∥A1C 又∵EO?平面 BDE,A1C?平面 BDE ∴A1C∥平面 BDE;… (Ⅱ)∵AA1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD ∴AA1⊥BD 又∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD, ∵AA1∩AC=A,AA1、AC?平面 A1AC ∴BD⊥平面 A1AC 又∵BD?平面 BDE ∴平面 A1AC⊥平面 BDE.…

点评:本题以正方体为例,要求我们证明线面平行和面面垂直,着重考查了空间直线与平面 的位置关系和平面与平面位置关系等知识点,属于基础题.


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