安徽省定远重点中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

2019 年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学一模试卷(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)

1.设集合



,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

分析:求出集合 ,即可得到 .

详解:



故选 B.

点睛:本题考查集合的交集运算,属基础题.

2.已知 , 是虚数单位,若



,则 为( )

A. 或

B.

C.

实数

【答案】A

【解析】

分析:根据共轭复数的定义先求出

,再由

,即可求出 a

详解:由题得

,故

,故选 A.

点睛:考查共轭复数的定义和复数的四则运算,属于基础题.

D. 不存在的

3.“

”是“

”的( )

A. 充要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

分析:利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 m,n 的大小关系,进而判断出结论.

详解:





∴“ 故选 C.

”是“

”的的充分不必要条件.

-1-

点睛:本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题.

4.记数列 的前 项和为 .已知 ,

,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】

分析:由题

可得

由此可得



此可求 .

,可得数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别为 1,2,由

详解:由题数列 满足





又 1,2,则

,由此可得数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别为

故选 A.

点睛:本题考查等比数列的通项公式及其前 项和公式,属中档题.

5.执行如图所示的程序框图,若输出的

,则判断框内应填入的条件是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

-2-

【解析】 S=0,k=1,k=2,S=2,否;k=3,S=7,否;k=4,S=18,否;k=5,S=41,否;k= 6,S=88,是.所以条件为 k>5,故选 B.

6.已知双曲线

,四点



中恰有三点在双曲线

上,则该双曲线的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 分析:先判断



在双曲线上,则

一定不在双曲线上,则

在双曲

线上,则可得

,求出 ,再根据离心率公式计算即可.

详解:根据双曲线的性质可得



在双曲线上,则

一定不在双曲线上,



在双曲线上,

解得

故选 C. 点睛:本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法,属于基础题 7.2018 年 1 月 31 日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的 初亏发生在 19 时 48 分,20 时 51 分食既,食甚时刻为 21 时 31 分,22 时 08 分生光,直至 23 时 12 分复圆 全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时 刻结束,一市民准备在 19:55 至 21:56 之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮” 的时间不超过 30 分钟的概率是

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】 由题意画出图形,由测度比为长度比得答案. 【详解】由题意可知,该市民在 19:55 至 21:56 之间的某个时刻欣赏月全食,其时间区间 长度为 121 分钟.该市民等待“红月亮”的时间不超过 30 分钟, 则应该在 21:01 至 21:56 分之间的任意时刻到达,区间长度为 55.

-3-

如图:

由测度比为长度比,可知他等待“红月亮”的时间不超过 30 分钟的概率是



故选:A.

【点睛】本题主要考查几何概型中的长度类型,解决的关键是找到问题的分界点,分清是长 度,面积,还是体积类型,再应用概率公式求解,是基础题. 8.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三 视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为( )

A. 4

B.

C.

D. 2

【答案】B

【解析】

分析:仔细观察三视图,发挥空间想象力,可知该几何体是底面为斜边边长为 2 的等腰直角

三角形、高为 2 的直三棱柱,进而可得结果.

详解:由三视图知,该几何体是底面为斜边边长为 2 的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱,

所以该几何体的表面积为

,故选 B.

点睛:本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于中 档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其 “翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”, 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三 视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状.

9.设实数 x,y 满足约束条件

,则

的最小值为

A.

B. 10

C. 8

D. 5

-4-

【答案】B 【解析】 分析:作出可行域,将 想求解即可. 详解:

转化为可行域内的点到原点距离的平方,利用数形结合思

作出

表示的可行域,如图所示,

因为

表示区域内的点到原点距离的平方,

由图知,原点到直线

的距离的平方就是

的最小值,

.故选 B.

点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的 一般步骤是“一画、二找、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找 到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移或旋转变形后的目标函数,最先通过或最 后通过的定点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

10.函数

(其中 为自然对数的底数)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】
-5-

由题意结合函数的奇偶性和函数的单调性整理计算即可求得最终结果.

【详解】

,

所以 为偶函数,图象关于 轴对称,选项 BD 错误;

由函数的解析式可得:





据此可知函数在

上不是单调递增函数,选项 C 错误.

本题选择 A 选项.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从

函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数

的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排

除、筛选选项.

11.已知向量 , 满足





,则

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由条件易知

,对目标平方可得结果.

【详解】由已知得

,又



故选:C.

【点睛】平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利

用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化

繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线

段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.

12.定义:如果函数 的导函数为 ,在区间 上存在 ,

使得



,则称 为区间 上的“双中值函数“ 已知函数

是 上的“双中值函数“,则实数 m 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

-6-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题目给出的定义得到 g′(x1)=g′(x2)

m,即方程 x2﹣mx+m 0

在区间(0,2)有两个解,利用二次函数的性质能求出 m 的取值范围.

【详解】∵函数 g(x) x3 x2,

∴g′(x)=x2﹣mx,

∵函数 g(x) x3 x2 是区间[0,2]上的双中值函数,

∴区间[0,2]上存在 x1,x2(0<x1<x2<2),

满足 g′(x1)=g′(x2)

m,

∴x12﹣mx1=x22﹣mx2

m,

∴x2﹣mx m,

即方程 x2﹣mx+m 0 在区间(0,2)有两个解,

令 f(x)=x2﹣mx+m ,





解得 m .

∴实数 m 的取值范围是( , )

故选:D. 【点睛】本题考查二次函数根的分布,考查导数的性质及应用等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分

13.已知

则 __________.

-7-

【答案】24 【解析】 分析:由题意根据

,利用二项展开式的通项公式,求得 a2 的值.

详解:由题意根据



.

即答案为 24 .

点睛:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.

14.若随机变量

,则



.

已知随机变量

,则

__________.

【答案】0.8185

【解析】

分析:根据正态曲线的对称性和特殊区间上的概率可求出



,然后求

出这两个概率的和即可.

详解:由题意得













点睛:本题考查正态分布,考查正态曲线的对称性和三个特殊区间上的概率,解题的关键是

将所求概率合理地转化为特殊区间上的概率求解.

15.在 中,

是 边上一点,

的面积为 , 为锐角,则

__________.

【答案】 . 【解析】 ∵在△ABC 中,∠B= ,AC= ,D 是 AB 边上一点,CD=2, △ACD 的面积为 2,∠ACD 为锐角,
-8-

∴S△ACD= ×sin∠ACD=2,解得 sin∠ACD= ,

∴cos∠ACD= ,由余弦定理得到 ∴AD= , 由正弦定理,

又因为

故答案为: .

点睛: 本题考查三角形边长的求法,涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力,考查函数与方思想、数形结合思想,是中档题.当已知三角形的一个 边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦.

16.已知椭圆

的离心率为 ,过椭圆上一点 作直线

交椭圆于 两

点,且斜率分别为 ,若点 关于原点对称,则 的值为______.

【答案】

【解析】

∵椭圆 + =1(a>b>0)的离心率是 e= =

= ,a=2b,

于是椭圆的方程可化为:x2+4y2=4b2. 设 M(m,n),直线 AB 的方程为:y=kx,可设:A(x0,kx0),B(﹣x0,﹣kx0). 则 m2+4n2=4b2,x02+4k2x02=4b2. m2﹣x02=4k2x02﹣4n2,

∴k1?k2=

×

=

=

=﹣ .

k1?k2=﹣ . 故答案为:﹣ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 17.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 (1)求角 A;

-9-

(2)若

,求 bc 的取值范围.

【答案】(1) ;(2)

.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)由题根据余弦定理化简所给条件可得

根据角的范围可得角 A;(Ⅱ)由题根据所给条件可得

,所以

可得 bc 的范围.

试题解析:(1)由



4分

,所以



,根据正弦定理可得

,然后根据

(2)



8分

12 分

考点:正弦定理、余弦定理的应用

18.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+ (c>0,n∈N*),

(Ⅰ)证明:an+1>an≥1;

(Ⅱ)若对任意 n∈N*,都有

,证明:(ⅰ)对于任意 m∈N*,当 n≥m 时,

(ⅱ) 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由题意,可采用数学归纳法,以及放缩法对不等式进行证明,从而问题可得 解;(Ⅱ)在第(i)中,根据(Ⅰ)的结论,采用放缩法对数列的通项进行放大,再用累加 法进行求解即可;在第(ii)中,对参数 进行分段讨论,结合(i)中的结论,从而问题可得
- 10 -

解. 试题解析:(Ⅰ)因为 c>0,所以 an+1=an+ >an(n∈N*), 下面用数学归纳法证明 an≥1. ①当 n=1 时,a1=1≥1; ②假设当 n=k 时,ak≥1, 则当 n=k+1 时,ak+1=ak+ >ak≥1. 所以,当 n∈N*时,an≥1. 所以 an+1>an≥1. (Ⅱ)(ⅰ)当 n≥m 时,an≥am, 所以 an+1=an+ ≤an+ ,

所以 an+1-an≤ ,累加得 an-am≤ (n-m),

所以



(ⅱ)若 ,当

时,

,所以



所以当 时,



所以当

时,

,矛盾.

所以



因为



所以



点睛:此题主要考查数列中递推公式的应用,以及数学归纳法在证明有关数列不等式中的应

用等有关方面的知识与技能,属于中高档题型,也是常考考点.数学归纳法是解决有关数列不

等式问题的一种重要方法,只有理解数学归纳法中的递推思想,理解数学归纳法的原理与实

质,掌握两个步骤,才能灵活地运用数学归纳法解决有关数列问题.

19.如图,在多面体

中,底面 是梯形,

,



- 11 -

平面

平面 ,四边形 是菱形,

.

(1)求证: (2)求二面角

; 的平面角的正切值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .

【解析】

分析:(1)依题意,在等腰梯形

中,



,利用勾股定理可证

,又平面

平面 ,故

,即得

,由四边形 ACEF 是菱形,

,可证

即可证明



(2)取 的中点 ,可证

,以 、 、 分别为 、 、轴建立空间直角坐标

系,求得平面 BEF 和平面 DEF 的一个法向量,由向量夹角公式得到二面角

的平面角

的余弦值,进而得到二面角

的平面角的正切值.

详解:

(1)题意,在等腰梯形

中,









连接 ,∵四边形 ACEF 是菱形,



- 12 -

(2)

取 的中点 ,连接 ,因为四边形 是

菱形,且

.

所以由平面几何易知

,∵

,∴.

故此可以 、 、 分别为 、 、轴建立空间直角坐标系,各点的坐标依次为:

设平面 BEF 和平面 DEF 的法向量分别为



同理,

故二面角

的平面角的正切值为

点睛:本题考查了空间线面垂直的判定,及向量法求二面角,属于中档题. 20.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政 策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄 在 15 65 岁的人群中随机调查 100 人,调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人 数与年龄的统计结果如下:

年龄

支持“延迟退

15

5

休”的人数

15

28

17

- 13 -

(1)由以上统计数据填 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;

45 岁以下

45 岁以上

总计

支持

不支持

总计

(2)若以 45 岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加某 项活动.现从这 8 人中随机抽 2 人 ①抽到 1 人是 45 岁以下时,求抽到的另一人是 45 岁以上的概率. ②记抽到 45 岁以上的人数为 ,求随机变量 的分布列及数学期望. 【答案】(1)列联表见解析,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不 同人群对“延迟退休年龄政策”有差异.
(2) ① .

②分布列见解析,

.

【解析】 分析:(1)根据频率分布直方图得到 45 岁以下与 45 岁以上的人数,由此可得列联表,求得 后在结合临界值表可得结论.(2)①结合条件概率的计算方法求解;②由题意可得 的可能取 值为 0,1,2,分别求出对应的概率后可得分布列和期望.

- 14 -

详解: (1)由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人, 故可得 列联表如下:
45 岁以下 45 岁以上 总计

支持

35

45

80

不支持

15

5

20

总计

50

50

100

由列联表可得



所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年 龄政策”的支持度有差异. (2)①设“抽到 1 人是 45 岁以下”为事件 A,“抽到的另一人是 45 岁以上”为事件 B,



,



,

即抽到 1 人是 45 岁以下时,求抽到的另一人是 45 岁以上的概率为 . ②从不支持“延迟退休”的人中抽取 8 人,则 45 岁以下的应抽 6 人,45 岁以上的应抽 2 人. 由题意得 的可能取值为 0,1,2.





.

故随机变量 的分布列为:

0

1

2

- 15 -

所以

.

点睛:(1)独立性检验的方法:

①构造 2×2 列联表;②计算 K2;③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联.

注意:查表时不是查最大允许值,而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值,再

将该数值对应的 k 值与求得的 K2 相比较.另外,表中第一行数据表示两个变量没有关联的可

能性 p,所以其有关联的可能性为 1-p.

(2)求概率时,若条件中含有“在……发生的条件下,求……发生的概率”时,一般用条件

概率求解,解题时要分清谁是条件以及

的求法.

21.已知函数

.

(1)令

,求函数 的单调区间;

(2)若

,正实数 满足

,证明:

.

【答案】(1)当 时,函数 的递增区间是

,无递减区间;当 时,函数

的递增区间是 ,递减区间是

.(2)详见解析

【解析】

试题分析:(1)化简



,对 分成 和

两类讨论

的 单 调 区 间 ;( 2 ) 当

时,



转化为

,令



利用导数求得 .
试题解析: (1)

,又

,故

,由

可知



所以 当 时,因为



,所以

,即 在

单调递增,

当 时,

,令

,得 ,

所以当

时,

, 单调递增,

- 16 -



时,

单调递减,

综上,当 时,函数单调递增区间为

,无递减区间;

当 时,函数单调递增区间为 ,单调递减区间为



(2)当

时,





可得







令 则 在区间 所以

,则 上单调递减,在区间
,所以

, 上单调递增, ,



,故





可知



考点:函数导数与不等式.

【方法点晴】解答此类求单调区间问题,应该首先确定函数的定义域,否则,写出的单调区

间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化:(1)利用导数解决含有参数的单调

性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(2)将

不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理.

22.已知函数

.

(1)求不等式

的解集;

(2)若不等式

的解集非空,求 的取值范围.

【答案】(1)

(2)(-∞, ].

【解析】

【分析】

(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集,(2)先分离变量,

再根据绝对值定义化为分段函数,根据二次函数性质求最值,最后可得 的取值范围.

【详解】(1)当

时,

,无解



时,

当 时,

,

- 17 -

综上解集为

(2)原式等价于存在 ,使

成立,即



,

由(1)知



时,

,其开口向下,对称轴为 >-1,所以 g(x)≤g(-1)=-8,

当-1<x<5,开口向下,对称轴 ,所以 g(x)≤

当 x≥5 时,开口向下,对称轴 <5,所以 g(x)≤g(5)=-14,

综上所述,t 的取值范围为(-∞, ]. 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对 值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式 与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵 活应用,这是命题的新动向.

- 18 -

- 19 -


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