重庆市铜梁中学2013届高三3月月考数学(理)试题

命题人:苏元泉、乐春红 (满分 150 分 时间 120 分钟) 一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? { y | y ? 2 , x ? 0} , N ? {x | 2 x ? x ? 0} ,则 M ? N 为(
x 2



A. ?1, 2?

B. ?1, 2 ?

C. [2, ??)

D. [1, ??) )

2.在各项为正的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前三项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 等于( A.189 B.84 3.下列说法正确的有( )个 ① “ sin ? ? C.72 D.33

”是“ ? ? 30? ”的充分不必要条件 2 2 2 ②若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ③命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” ④已知 a, b ? R? ,若 log 3 a ? log 3 b ,则 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? A.0 B.1 C.2
a b

1

D.3 ) D.

4.某空间几何体的三视图如图所示,该空间几何体的体积是( A.

20 3
4 2

B. 10

C.

40 3

50 3

3 正视图

4

5. 已知锐角 ? 满足 cos 2? ? cos( A.

?
4

侧视图

俯视图

? ? ) ,则 sin 2? 等于(
C.

) D. ?

1 2
开始

B.

?

1 2

2 2

2 2
结束

6. 按下列程序框图来计算:
输入 x

x=3 x-2

x>200




输出 x

如果输入的 x = 5, 应该运算( A.2 B.3

)次才停止. C.4

D.5

7. 从 9 名学生中选出 4 人参加辩论赛,其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种 数为( )
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A.36

B.51

C.63

D.96

?4 x ? y ? 10 ? 0 ? 8. 设实数 x , y满足条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
12,则 ? 的最小值为( A.

2 3 a b

) C. 4 D.

8 3

6 2 9.若函数 y ? f ( x)( x ? R ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? ? ?1,1? 时, f ( x) ? 1 ? x ,函数
?lg x( x ? 0) ? ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间[-5,5]内与 x 轴交点的个数为( ) g ( x) ? ? 1 ? ( x ? 0) ? x ? A.5 B.7 C.8 D.10
10. 过双曲线:

B.

11 3

25

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) ,作圆: x ? y ?
2 2

a2 4

的切

线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 OE ? ( A. )
10

??? ?

? ? 1 ??? ??? (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为 2

C. 10 D. 2 5 2 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. B. 11.已知复数 z ? , z 是 z 的共轭复数,则 z 等于________ 3 ?i 12. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画了样本的频率 分布直方图(如下图) .为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 200 人作进一步调查,则在[1500,3000] (元)月收 入段应抽出________人. 频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500
2 2 2

10

1 ? 3i

4000

13. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a , c , b 成等差数列,则角 C 的最大 值为________ 考生注意:14,15,16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给 分. 14. 在实数范围内,不等式 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 6 的解集为________ 15.已知圆的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ? y ? sin ?

,直线 l 的极坐标方程 (? 为参数) A O P C B D

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为 3? cos ? ? 4 ? sin ? ? m ? 0 ,若圆与直线相切,则实数 m ? ________ 16. 如右图, AB, CD 是半径为 a的圆 O 的两条弦,他们相交于 AB 的 中点 P , PD =

2a 3

, ?OAP ? 30 ° ,则 CP =________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ?? ? ?? ? 17. (13 分)已知向量 m ? (cos x,sin x), n ? (cos x, cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n (I)求 f (x) 的解析式,并求最小正周期; (II)若函数 g ( x) 的图像是由函数 f (x) 的图像向右平移 ? 个单位得到的,求 g ( x) 的最大值
8

及使 g ( x) 取得最大值时 x 的值.

18.(13 分)某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试, 否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为

4 3 2 , , 且各 5 5 5

轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望. (注:本小题结果可用分数表示)

19.(13 分)定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 3 同时满足以下条件:
3 2

① f (x) 在 ? 0,1? 上是减函数,在 ?1, ?? ? 上是增函数; ② f ?( x ) 是偶函数; ③ f (x) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直. (I)求函数 y ? f (x) 的解析式;

(II)设 g ( x) ? 4 ln x ? m ,若存在 x ? ?1, e? ,使 g ( x) ? f ?( x) ,求实数 m 的取值范围.[

20. (12 分)如图,四棱锥 A ? BCDE 中, ?ABC 是正三角形,四边形 BCDE 是矩形,且平 面 ABC ? 平面 BCDE , AB ? 2 , AD ? 4 . (Ⅰ) 若点 G 是 AE 的中点,求证: AC // 平面 BDG ; (II)若点 F 为线段 AB 的中点,求二面角 B ? CE ? F 的正切值.
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21. (12 分)设椭圆 M :

x2 a2

?

y2 2

? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ?

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交

于点 A ,若 OF1 ? 2 AF1 ? 0 (其中 O 为坐标原点) . (I)求椭圆 M 的方程; (II)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直径( E 、 F
2

????

????

?

为直径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

22. (12 分) 设数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1, bn ?1 ? 2bn ? 1 , 若数列 ?an ? 满足: 1 ? 1, , 且当 n ? 2, n ? N a 时, an ? bn (

?

1 b1

?

1 b2

?? ?

1 bn ?1

)

(I) 求 b2 , b3 , b4 及 bn ;
n n (II)证明: ? (1 ? 1 ) ? 10 (n ? N * ) ,(注: ? (1 ? 1 ) ? (1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ? 1 ) ). k ?1

ak

3

k ?1

ak

a1

a2

an

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P (? ? 3) ? P ( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) ?

4 3 12 ?? . 的分布列为 ? ? 5 5 25
3

?
P

1

2

1 5

8 25

12 25

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1 8 12 57 ? E? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 5 25 25 25
19、 (I)

f '(x)? 3ax2 ? 2bx? c ,由①得: f '(1)? 3a? 2b? c? 0;由②得: 2b? 0;由③得:
1 1 ;b? 0;c? ?1;故 f (x)? x3 ? x? 3 3 3

f '(0)? c? ?1
解得: a?

(II)由(I)知: 解 即

f '(x)? x2 ? 1;由 g(x)? f '(x)得:存在 x??1,e? ,使得 4lnx? m? x2 ? 1有
; , 令

m ? 4 ln x ? x 2 ? 1

h( x) ? 4 ln x ? x2 ? 1, x ?? 1,e ?





m ? h( x) mi n h '( x ) ?

4 x

? 2x ?

4 ? 2x 2 x

令 h'(x) ? 0,得 x?

2 或 ? 2 故 h(x) 在 ?1, 2? 上单调递增,在 ? 2,e? 上单调递减; ? ? ? ?
2

h(1) ? 0; h(e) ? 5 ? e 2 ;故 h(e)? h(0);所以 m? 5? e

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? ?? ? 1 3 G z ? 0即 z ? ? y 3y? 0即 x? 3y ; n? B ? ? x? 3y? 2 2 ??? ? ? ? ? ?? ? , 令 y? 1,则 n? ( 3,1 ?1) ;又? AC ? ( ?1,0, ? 3) ,故 n? A ? 0即 n ? AC ,而 C
D 则 n? B ? ?2x? 2 ? ?? ?

A 平面 BDG 所以 A // 平面 B G。 C? D C
E E (II)设平面 C F的法向量为 v? (x, y, z) , C ? (2,2
E 则 v? C ? 2x? 2 ? ?? ?

?

?? ?

?? 3 ? 3 3,0);C ? ( ,0, ), F 2 2

? ??? 3 ? 3 z ? 0 即 z ? ? 3x 3y? 0即 x? ? 3y; v ? CF ? x ? 2 2

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令 y? 1,则 v? (?

?

? 3,1 ;由题可知平面 B E的法向量为 m? (0,0,1) ,3) C

? ?? ? ?? 2 v?m 3 故 cos? ? cos v, m ? ?? ?? ? ,故 tg ? ? 3 13 v m

. 又因为 N(0,2),所以 N P 因为 y0 ? [? 2 ,

?? 2 ?

2 ? x0 ? (y0 ? 2)2 ? ?2(y0 ? 1)2 ? 12;

??? ??? ? ? ??? 2 ? 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, NP max ? 12 ,故 PE ? PF

?

?

? 11
max

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,

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由?

? y ? kx ? 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

, 解得 x ? ?

1 k 2 ?1

. 因为 P 是椭圆 M 上的任一点, 设点 P ? x 0 , y 0 ? ,

所以

x0

2

6

?

y0

??? ? 1 ? ? k 2 2 ? x0 , ? 2 ? y0 ? ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y 0 .所以 PE ? ? 2 2 k 2 ?1 ? k ?1 ?
2

故 PE ? PF ? x 0 ?
2

1 k 2 ?1

? (2 ? y 0 ) 2 ?

k2 k 2 ?1

? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11 .
2

因为 y0 ? [? 2 ,

??? ??? ? ? ??? 2 ? 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, NP max ? 12 ,故 PE ? PF

?

?

? 11
max

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x? 0; 由 ?

? x? 0

2 2 ? x ? (y? 2) ? 1

,解得 y? 1或

y? 3.

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1 1 1 1 1 1 1 1 ?1? ?? n ? 1? 2[( 2 ? 3 )? ( 3 ? 4 )?? ? ( n ? n?1 ) 3 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 5 2 5 ? 1? 2( ? n?1 )? ? n?1 ? 3 2 ?1 3 2 ?1 3
n 1 10 1 1 1 10 ?(1? )(1? )?(1? )? ,即 ? (1? )? ak 3 a a2 an 3 k?1 1

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