2015一轮复习课时精品提升作业之函数的图象Word版含答案

课时提升作业(十)
一、填空题 1.(2013 ·常州模拟)如图,连结 f(x)=x 2(x>0)上任意两点 A(a,a2),B(b,b2),线段 AB 必在曲线段 AB 上方,设点 C 是线段
a 2 ? b2 a?b 2 AB 的中点, 则由图中 C 在 C1 上方可得不等式: ?( ) ,请 2 2

分析函数 f(x)=lg x(x>0) 的图象,类比上述不等式可以得到 ________. 2.函数 y ? _______.
x ,x∈(-π sin x

,0)∪(0,π )的图象可能是下列图象中的

3. f ? x ? ? ?

?4x ? 5, x ? 1,
2 ? x ? 4x ? 3,x ? 1

的图象和 g(x)=log2x 的图象的交点个数是

_________. 4.(2013 ·徐州模拟)如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB, 其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则
f( 1 ) =________. f ? 3?

5.(2013 ·通州模拟)函数 f(x) 的图象是如图所示的折 线段 OAB,点 A 的坐标为(1,2),点 B 的坐标为(3,0), 定义函数 g(x)=(x-1)f(x), 则函数 g(x)的最大值为 __________.

-1-

1 ? 1, ?log 2 , x> 6.函数 f ? x ? ? ? 则 y=f(x+1) 的图象大致是________. x x ?2 , x ? 1, ?

7.函数 y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间 ( , ) 内的图象是 ________.

? 3? 2 2

8.定义在 R 上的函数 y=f(x+1) 的图象如图所示, 它在定义域上 是减函数,给出如下命题:①f(0)=1; ②f(-1)=1;③若 x>0,则 f(x)<0; ④若 x<0,则 f(x)>0 ,其中正确的是_______. 9.如图,定义在[-1,+∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及 抛物线的一部分组成,则 f(x) 的解析式为________.

-2-

10.已知函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称, 则 a 的值是 _______.
? 1 , x ? 2, ? 11.设定义在 R 上的函数 f ? x ? ? ? x ? 2 若关于 x 的方程 ?1, x ? 2, ?

f2(x)+af(x)+b=3 有 3 个不同实数解 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则下列说法 中正确的是_________. ①a+b=0; ②x1+x3>2x2; ③x1+x3=5;
2 2 2 ④ x1 ? x2 ? x3 ? 14.

12.已知函数 f ? x ? ? ( ) x 的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称, 令 h(x)=g(1-|x|),则关于 h(x)有下列命题: ①h(x)的图象关于原点对称; ②h(x)为偶函数; ③h(x)的最小值为 0; ④h(x)在(0,1)上为减函数. 其中正确命题的序号为______.( 将你认为正确的命题的序号都填上) 二、解答题 13.(能力挑战题)已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性. (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围. 14.(2013 · 扬州模拟)对于定义在 R 上的函数 f(x), 可以证明点 A(m,n) 是 f(x)图象的一个对称点的充要条件是 f(m-x)+f(m+x)=2n,x ∈R.

1 2

-3-

(1)求函数 f(x)=x3+3x2 图象的一个对称点. (2)函数 f(x)=ax 3+(b-2)x2(a,b ∈R)在 R 上是奇函数, 求 b 满足的条件, 并讨论是否存在 a∈[-1,1],使 f(x)≥-x2+4x-2 恒成立. (3)试写出函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=m 对称的充要条件(不用证 明);研究函数 f(x)=ax 3+bx2(a,b∈R)图象的对称性.

答案解析
1.【解析】由 y=lg x 的图象可得
lg a ? lg b a?b ? lg . 2 2 lg a ? lg b a?b ? lg 答案: 2 2 x 2.【解析】函数 y ? 是偶函数,故排除①,当 sin x

x 趋近于π时,y 趋

向于+∞,故排除④,当 x 趋近于 0 时,x>sin x,即 y>1,故应为③. 答案:③ 3.【解析】在同一坐标系中作出 f(x)和 g(x)的图象如图所示:

由图象知有两个交点. 答案:2

-4-

【误区警示】本题易由于作图没有去掉(1,0)点,而误认为有 3 个交 点. 4.【解析】由函数图象可知 f(3)=1, ∴f(
1 ) ? f ?1? ? 2. f ? 3?

答案:2 5.【解析】 f ? x ? ? ? ∴ g ?x? ? ? ?
?2x, 0 ? x ? 1, ??x ? 3,1 ? x ? 3,

?2x ? x ? 1? , 0 ? x ? 1, ? ?? x ? 1?? ? x ? 3? ,1 ? x ? 3,

∴g(x)的最大值为 1. 答案:1 6.【解析】函数 f(x)的图象如图所示: 把 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位得到 y=f(x+1)的图象. 答案:② 7.【解析】y=tan x+sin x-|tan x-sin x|
? ? 2tan x,x ? ( , ?], ? ? 2 =? ?2sin x,x ? ( ?, 3 ?). ? ? 2

答案:④ 8.【思路点拨】由 y=f(x+1)的图象通过平移得到 y=f(x)的图象,结合 图象判断. 【解析】由 y=f(x+1)的图象向右平移一个单位得到函数 y=f(x)的图象

-5-

如图所示:

结合图象知①④正确,②③错误. 答案:①④ 9.【解析】 当 x∈[-1,0]时, 设 y=kx+b,由图象得 ?
??k ? b ? 0, ?k ? 1, 得? ?k ? 0 ? b ? 1, ?b ? 1,
1 4

∴y=x+1,当 x>0 时, 设 y=a(x-2)2-1,由图象得 0=a(4-2)2-1, 解得 a ? , ∴ y ? ? x ? 2 ?2 ? 1,
[ ? 1, 0], ? x ? 1, x ? ? 综上可知 f ? x ? ? ? 1 2 ? x ? 2 ? ? 1, x ? (0, ??). ? ?4 [ ? 1, 0] , ? x ? 1, x ? ? 答案: f ? x ? ? ? 1 2 ? x ? 2 ? ? 1, x ? (0, ??) ? ?4
1 4

10.【解析】令 x+1=0 得 x=-1, 令 x-a=0 得 x=a, 由两零点关于 x=1 对称, 得
a ?1 ? 1, ∴a=3. 2

答案:3 11.【解析】作出 f(x)的简图:

-6-

由图可知,只有当 f(x)=1 时,它有三个根. 故关于 x 的方程 f2(x)+af(x)+b=3 有且只有 3 个不同实数解, 即解分别是 1,2,3.
2 2 2 2 2 故 x1 ? x2 2 ? x3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 14.

答案:④ 12.【思路点拨】先求 g(x),再求 h(x)并化简,最后判断. 【解析】 g ? x ? ? log 1 x,? h ? x ? ? log 1 ?1? | x |? ,
2 2

? 1 ? x ? 0, ?log 1 ?1 ? x ?, ? 2 ∴ h ?x? ? ? 0 ? x ? 1, ?log 1 ?1 ? x ?, ? 2

得函数 h(x)的大致图象如图,故正确命题序号为②③.

答案:②③
2 ? ?? x ? 2? ? 1, x ? (??,1][3, ??), 13.【解析】 f ? x ? ? ? 作出图象如图所示. 2 ? x ? 2 ? 1, x ? 1,3 , ? ? ? ? ? ?

-7-

(1)递增区间为[1,2), [3,+∞),递减区间为(-∞,1), [2,3). (2)原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y=x+a 的图象, 则当直线 y=x+a 过点(1,0)时,a=-1; 当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 相切时, 由?
? y ? x ? a,
2

? y ? ? x ? 4x ? 3,

得 x2-3x+a+3=0.
3 4

由Δ=9-4(a+3)=0,得 a ? ? .
[ ? 1, ? ] 由图象知,当 a ? 时,方程至少有三个不等实根. 3 4

14.【解析】(1)设 A(m,n)为函数 f(x)=x3+3x2 图象的一个对称点, 则 f(m-x)+f(m+x)=2n 对于 x∈R 恒成立. 即(m-x)3+3(m-x)2+(m+x) 3+3(m+x) 2=2n 对于 x∈R 恒成立, ∴(6m+6)x 2+(2m3+6m2-2n)=0, 由?
?6m ? 6 ? 0,
3 2 ?2m ? 6m ? 2n ? 0,

解得 ?

?m ? ?1, ?n ? 2,

故函数 f(x)图象的一个对称点为(-1,2). (2)因为 f(x)为奇函数,所以 b=2,f(x)=ax3, 若 ax3≥-x2+4x-2 恒成立,
-8-

取 x=1,则 a≥1,∴只能取 a=1. 现说明当 a=1 时,上式不恒成立,即 x3≥ -x2+4x-2 不恒成立. 比如 x=-4,上式为-64≥-16-16-2=-34 不成立, 故不存在符合题意的 a. (3)函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称的充要条件是 f(m+x)=f(m-x). ①a=b=0 时,f(x)=0(x∈R),其图象关于 x 轴上任意一点成中心对称, 关于垂直于 x 轴的任意一条直线成轴对称. ②a=0,b≠0 时,f(x)=bx2(x∈R),其图象关于 y 轴对称. ③a≠0,b=0 时,f(x)=ax 3,其图象关于原点对称. ④a≠0,b≠0 时,f(x)=ax 3+bx2 的图象不可能是轴对称图形. 设 A(m,n)为函数 f(x)=ax3+bx2 图象的一个对称点, 则 f(m-x)+f(m+x)=2n 对于 x∈R 恒成立, 即 a(m-x)3+b(m-x)2+a(m+x) 3+b(m+x) 2=2n 对于 x∈R 恒成立, ∴(3am+b)x 2+(am3+bm2-n)=0, ∴?
?3am ? b ? 0,
3 2 ?am ? bm ? n ? 0,

b ? m?? , ? ? 3a ∴? 3 ?n ? 2b , ? 27a 2 ?
b 2b3 ∴函数 f(x)图象的一个对称点为 (? , 2 ). 3a 27a

【方法技巧】函数对称问题解题技巧
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(1)证明函数图象的对称性,只需证明其图象上的任意一点关于对称中 心(对称轴)的对称点仍在图象上即可. (2)①若 f(a+x)=f(a-x),x∈R 恒成立, 则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称; ②若 f(a+x)=-f(a-x),x∈R 恒成立, 则 y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.

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