2019年高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测(八)二次函数与幂函数

2019 年高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测(八)二次函数与幂函数
1.(xx·南京模拟)设 α ∈???-2,-1,-12,12,1,2???,则使 f(x)=xα 为奇函数,且在 (0,+∞)上单调递减的 α 的值的个数是________.
解析:由 f(x)=xα 在(0,+∞)上单调递减,可知 α <0.又因为 f(x)=xα 为奇函数, 所以 α 只能取-1.
答案:1 2.已知函数 f(x)=ax2-x-c,且 f(x)>0 的解集为(-2,1),则函数 y=f(-x)的图 象的序号为________.
解析:∵函数 f(x)=ax2-x-c,且 f(x)>0 的解集为(-2,1),∴-2,1 是方程 ax2 -x-c=0 的两根,由根与系数的关系可得-2+1=1a,-2×1=-ca,∴a=-1,c=-2,
∴f(x)=-x2-x+2.∴函数 y=f(-x)=-x2+x+2,可知其图象开口向下,与 x 轴的 交点坐标为(-1,0)和(2,0).
答案:④ 3.二次函数的图象与 x 轴只有一个交点,对称轴为 x=3,与 y 轴交于点(0,3).则它 的解析式为________. 解析:由题意知,可设二次函数的解析式为 y=a(x-3)2,又图象与 y 轴交于点(0,3), 所以 3=9a,即 a=13.所以 y=13(x-3)2=13x2-2x+3. 答案:y=13x2-2x+3 4.若关于 x 的不等式 x2-4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立,则 m 的取值范围为________. 解析:只需要在 x∈(0,1]时,(x2-4x)min≥m 即可.因为函数 f(x)=x2-4x 在(0,1]上 为减函数,所以当 x=1 时,(x2-4x)min=1-4=-3,所以 m≤-3. 答案:(-∞,-3]
[练常考题点——检验高考能力] 一、填空题 1.(xx·盐城中学月考)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, 2),则 f(9)=________.

解析:设函数 f(x)=xα ,点(2, 2)代入得 2α = 2,解得 α =12,所以 f(x)=x, f(9)=9=3.
答案:3 2.若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线 x=0 对称,则 f(x)的最大值是 ________. 解析:依题意,函数 f(x)是偶函数,则 y=x2+ax-5 是偶函数,故 a=0,则 f(x)=(1 -x2)(x2-5)=-x4+6x2-5=-(x2-3)2+4,当 x2=3 时,f(x)取最大值为 4. 答案:4 3.(xx·镇江模拟)已知函数 f(x)=x2-m 是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则 f(0)与 f(m)的大小关系是____________. 解析:因为函数 f(x)是奇函数,所以-3-m+m2-m=0,解得 m=3 或-1.当 m=3 时, 函数 f(x)=x-1,定义域不是[-6,6],不合题意;当 m=-1 时,函数 f(x)=x3 在定义域[- 2,2]上单调递增,又 m<0,所以 f(m)<f(0). 答案:f(0)>f(m) 4.(xx·连云港月考)关于 x 的不等式 kx2-2|x-1|+3k<0 的解集为空集,则 k 的取 值范围为________. 解析:当 k=0 时,-2|x-1|<0,解得 x≠1,故不满足题意, 当 x≥1 时,不等式等价于 kx2-2x+2+3k<0, 显然 k>0,则 Δ =4-4k(2+3k)≤0,即为(3k-1)(k+1)≥0,解得 k≥13, 当 x<1 时,不等式等价于 kx2+2x-2+3k<0, 显然 k>0,则 Δ =4-4k(-2+3k)≤0,即为(3k+1)(k-1)≥0,解得 k≥1, 综上所述实数 k 的取值范围是[1,+∞). 答案:[1,+∞) 5.设函数 f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+…+g(20)= ________. 解析:由二次函数图象的性质得,当 3≤x≤20 时,f(x)+|f(x)|=0,∴g(1)+g(2) +…+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112. 答案:112 6.(xx·扬州模拟)已知二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),且 f(x)在[0,2]上是增 函数,若 f(a)≥f(0),则实数 a 的取值范围是________. 解析:由 f(2+x)=f(2-x)可知,函数 f(x)图象的对称轴为 x=2+x+2 2-x=2,又函 数 f(x)在[0,2]上单调递增,所以由 f(a)≥f(0)可得 0≤a≤4.

答案:[0,4] 7.已知幂函数 f(x)=x,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围是________. 解析:∵f(x)=x= 1 (x>0),易知 x∈(0,+∞)时为减函数,又 f(a+1)<f(10-2a),
x

?? a+1>0, ∴?10-2a>0,
??a+1>10-2a,

?? a>-1, 解得?a<5,
??a>3,

∴3<a<5.

答案:(3,5) 8.(xx·连云港新海中学模拟)已知不重合的两点 P1(x1,2 018)和 P2(x2,2 018)在二次 函数 f(x)=ax2+bx+9 的图象上,则 f(x1+x2)的值为________.
解析:依题意得 x1+x2=-ba,则 f(x1+x2)=f ???-ba???=a???-ba???2+b???-ba???+9=9.
答案:9 9.方程 x2+ax-2=0 在区间[1,5]上有根,则实数 a 的取值范围为________. 解析:方程 x2+ax-2=0 在区间[1,5]上有根,即方程 x+a-2x=0,也即方程 a=2x-x

在区间[1,5]上有根,而函数 y=2x-x 在区间[1,5]上是减函数,所以-253≤y≤1,则-253 ≤a≤1.
答案:???-253,1???
10.(xx·无锡四校联考)《数学统综》有如下记载:“有凹钱,取三数,小小大,存三 角”.意思是说“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点,如果在这三点的纵坐标中 两个较小数之和大于最大的数,则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知
凹函数 f(x)=x2-2x+2,在???13,m2-m+2???上取三个不同的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c, f(c)),均存在以 f(a),f(b),f(c)为三边长的三角形,则实数 m 的取值范围为________.
解析:由题意可知,因为 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,m2-m+2=???m-12???2+74≥74, 所以 f(x)=x2-2x+2 在???13,m2-m+2???上的最小值为 f(1)=1,
因为均存在以 f(a),f(b),f(c)为三边长的三角形,所以 f(x)=x2-2x+2,在

???13,m2-m+2???上的最大值小于或等于最小值的两倍.由 x2-2x+2=2 得 x=0 或 x=2,所 以 m2-m+2≤2,所以 0≤m≤1.实数 m 的取值范围为[0,1].

答案:[0,1]

二、解答题

11.(xx·苏州模拟)已知函数 h(x)=(m2-5m+1)xm+1 为幂函数,且为奇函数.

(1)求 m 的值;

(2)求函数 g(x)=h(x)+ 1-2h x ,x∈???0,12???的值域. 解:(1)∵函数 h(x)=(m2-5m+1)xm+1 为幂函数, ∴m2-5m+1=1,解得 m=0 或 5.

又 h(x)为奇函数,∴m=0.

(2)由(1)可知 g(x)=x+ 1-2x,x∈???0,12???,

令 1-2x=t,则 x=-12t2+12,t∈[0,1],

∴f(t)=-12t2+t+12=-12(t-1)2+1∈???12,1???,

故 g(x)=h(x)+ 1-2h x ,x∈???0,12???的值域为???12,1???. 12.(xx·镇江月考)已知二次函数 f(x)=x2+bx+c 的图象经过点(1,3),且函数 y=

f???x-12???是偶函数. (1)求 f(x)的解析式;

(2)已知 t<2,g(x)=[f(x)-x2-13]·|x|,求函数 g(x)在[t,2]的最大值和最小值;

(3)函数 y=f(x)的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全

平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.

解:(1)因为函数 y=f???x-12???是偶函数, 而二次函数 f(x)=x2+bx+c 的对称轴方程为 x=-12,所以-b2=-12,所以 b=1.

又因为二次函数 f(x)=x2+bx+c 的图象经过点(1,13),

所以 1+b+c=13,解得 c=11.

因此,函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2+x+11.

(2)由(1)知,g(x)=(x-2)·|x|=?????-x-x-

2+1,x≤0, 2-1,x>0,

作出函数图象如图所示. 所以,当 x∈[t,2]时,g(x)max=0;当 1≤t<2 时,g(x)min=g(t)=t2-2t; 当 1- 2≤t<1 时,g(x)min=-1;当 t<1- 2时,g(x)min=g(t)=-t2+2t. (3)如果函数 y=f(x)的图象上存在点 P(m,n2)符合要求其中 m∈N*,n∈N,则 m2+m+ 11=n2,从而 4n2-(2m+1)2=43,即[2n+(2m+1)][2n-(2m+1)]=43.

注意到 43 是质数,且 2n+(2m+1)>2n-(2m+1),2n+(2m+1)>0,

所以有?????22nn+ -

m+ m+

=43, =1,

解得?????mn= =1101,.

因此,函数 y=f(x)的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).


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