广东省潮州市2015届高三第二次模拟考试数学理试卷Word版含答案_图文

潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试 数学(理科)

参考公式:球的表面积 S ? 4?R 2

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.

1.若复数 (2 ? i)(1? ai) 是纯虚数( i 是虚数单位, a 是实数),则 a 等于( )

A. -1

B. ? 1

C.2

D. 3

2

2.为了了解潮州市居民月用电情况,抽查了该市 100 户居民月用电量(单位:度),得到频

率分布直方图如下:根据下图可得这 100 户居民月用电量在〔150,300〕的用户数是( )

A. 70 B. 64 C. 48 D.30

3.已知数列{an} 的前 n 项和 Sn ? n 2 ,则 a32 ? a22 的值为( )

A. 9

B. 16

C.21

4. 在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是(

D.11 )

A.钝角三角形

B.直角三角形

开始

C.锐角三角形

D.不能确定

5.执行右边的程序框图,若输出 s ? 127 , 128
则输入 p ? ( )

A.6 B. 7

C.8

D.9

输入 p
n ? 0, S ? 0
n? p 否


? ? 6.

设集合

A

?

? ?

x

?

x x

? ?

1 1

?

0?? ?

,

B

?

x

x ?1 ? a

,

则“ a ? 1”是“ A B ? ? ”的( )

n ? n?1 S?S? 1
2n

输出 S
结束

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又必要条件

7.已知 A(1,?2) , B(a,?1) ,C(?b,0) 三点共线,其中 a ? 0,b ? 0 ,则 1 ? 2 的最小值是 ab
()

A.2

B.4

C.6

D.8

8.已知奇函数 y ? f (x) 的导函数 f ?? x? ? 0 在 R 恒成立,且 x, y 满足不等式

f (x 2 ? 2x) ? f ( y 2 ? 2 y) ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是( )

A. [0,2 2]

B. [0,2]

C. [1,2]

D. [0,8]

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题)

9.设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) ,

若 P(x ? 1) ? p, 则 P??1 ? x ? 0? ? ________.

10.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,

得该几何体的表面积是________.

11.已知 n 为正偶数,且 (x 2 ? 1 )n 的展开式中 2x
第 3 项的二项式系数最大,则第 3 项的系数是

.(用数字作答)

12.抛物线 y ? 1 x2 上到焦点的距离等于 6 的点的坐标为



4

13.函数 f(x)=sin (? x ? ? )的导函数 y ? f ?(x) 的部分图像

右图所示,其中, A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为

图像的最低点,P 为图像与 y 轴的交点.若在曲线段 ABC

与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的

概率为

.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程 ? ? 2 cos? ,

直线的极坐标方程为 ? cos? ? 2? sin? ? 7 ? 0 ,

则圆心到直线距离为



15.(几何证明选讲选做题)如图所示,⊙ O 的两条切线 PA 和 PB 相交于点 P ,与⊙ O 相

切于 A, B 两点, C 是⊙ O 上的一点,若 ?P ? 70? ,则 ?ACB ? ________.

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

已知向量

m

?

?? ?

sin

x 3

,?1?? ?



n

?

????

3 2

A,

1 2

A cos

x 3

????, (

A

?

0)

,函数

f

?

x?

?

n

?

m

的最大值为

2.

(1)求 f (x) 的最小正周期和解析式;

(2)设? , ? ?[0, ? ] , f (3? ? ? ) ? 10 , f (3? ? 2? ) ? 6 ,求 sin(? ? ? ) 的值.

2

2 13

5

17.(本小题满分 12 分)

甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,

则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为 1 ,乙获胜的概率为 2 ,各局比

3

3

赛结果相互独立。

(1)求乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;

(2)若每局比赛胜利方得 1 分,对方得 0 分,求甲最终总得分 X 的分布列及数学期望。

18.(本小题满分 14 分)

如图 1,平面五边形 SABCD 中 SA ? 15 , AB ? BC ? CD ? DA ? 2, ?ABC ? 2? , ?SAD 沿

2

3

AD 折起成.如图 2,使顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O , M 为 BC 上一点, BM ? 1 .
2 (1)证明: BC ? 平面SOM ;

(2)求二面角 A ? SM ? C 的正弦值。

D

C

S

A

B

如图 1 19.(本小题满分 14 分)

S

D

C

O M
A B

如图 2

已知数列 ?an ?的前 n 项和Tn 满足 an?1 ? 2Tn ? 6 ,且 a1 ? 6 .

(1)求数列?an ?的通项公式;

(2)求数列

? ? ?

1 an

? ? ?

的前

n

项和

S

n



(3)证明: 1 ? 1 ? 3? S1 32 ? S2

1 3n ? Sn

?3.

20.(本小题满分 14 分)

已知直线 l : y ? 3 x ?1 过椭圆 C : x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点。

3

a2 b2

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C

上,且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴交于点 M,求常数 ? 使得 k AM ? ?kBD

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ?

x2

(a ? R)

ln(x ? a) ? ax

(1)当 a=0 时,求函数 f (x) 的单调区间;

(2)当 a=1 时,设 h(x) ? x2 , f (x)

(i)若对任意的 x ? ?0,??? , h(x) ? kx2 成立,求实数 k 的取值范围;

(ii)对任意 x1

?

x2

?

?1 ,证明:不等式

x1 ? x2 h(x1) ? h(x1) ?

x1

?

x2

?

x1

?

x2 2

?2

恒成

立.

潮州市 2014-2015 学年度高考第二次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分说明

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

B

A

B

A

D

D

解析:

5. S ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1? 1 ? 127 ? p ? 7 .

21 22

2n

2n 128

6. A ? (?1,1) , B ? (1? a,1? a) , 当 a ? 1 时 , B ? (0, 2) , A B ? ? , 反 之 , 若

A B ? ? ,不一定有 a ? 1,
7.由 AC ? ??b ?1, 2?, AB ? ?a ?1,1? 共线,有 2a+b=1 有

2a

?b

?

? ??

2a ? 2

b

?2 ??

?

1 4

?

2a ? ab

b

?

2 2ab

?

8

.

8. 因为函数 y= f (x) 为奇函数,所以 f (x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ,由函数 y= f (x) 的导函

数 f ?? x? ? 0 在 R 恒成立,知函数 y= f (x) 为减函数,? x 2 ? 2x ? 2 y ? y 2

即?(x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,故 x 2 ? y 2 的最小值为 0,最大值为直径 2 2 , 从而 x 2 ? y 2 的最小值为 0,最大值为直径的平方 8
二、填空题:

9. 1 ? p ; 10. 12π ; 11. 3 ; 12. (2 5,5),(?2 5,5) ; 13. ? ;

2

2

4

14. 8 5 ; 15. 55 5

解析:

2?

13.由图知 AC ? T ? 2

? 2

?

? ?

,S

ABC

?

1 2

AC ??

?

? 2

,设 AC 的横坐标分别为 a, b .

设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则

? S ?

b
f ?(x)dx
a

?

f

(x)

b a

? sin(?a ? ?) ? sin(?b ? ?)

? 2,

? 由几何概型知该点在△ABC 内的概率为 P ? S ABC ? 2 ? ? .
S 24

三、解答题:

16.解:(1) f (x) ?

3 2

Asin

x 3

?

1 2

A cos

x 3

?

A????

3 2

sin

x 3

?

1 2

cos

x 3

????

?

A

sin?? ( ?

x 3

?

? 6

?? ?

…3



f (x) 的最小正周期 T

?

2? 1

? 6?

3



……………………………………………4

因为 A ? 0 ,由题意知 A=2,
所以 f (x) ? 2sin(1 x ? ? ), x ? R 36


……………………………5 分 ……………………………6

(2)

10 13

?

f

? ??

3?

?

? 2

? ??

?

2 sin

? ??

1 3

?

? ??

3?

?? 2

? ??

?

? 6

? ??

?

2 sin ? ,

6 5

?

f

(3?

? 2? )

?

2

sin

? ??

1 3

?

(3?

? 2? ) ?

? 6

? ??

?

2

sin

? ??

?

?

? 2

? ??

?

2 cos ? ,

………8 分

?sin? ? 5 , cos ? ? 3 , ? , ? ?[0, ? ]

13

5

2

? cos? ?

1 ? sin2 ? ?

1

?

? ??

5 13

2
? ??

? 12 , 13

sin ? ?

1 ? cos2 ? ?

1

?

? ??

3 5

?2 ? ?

?

4, 5

……………………………10 分

sin(? ? ? )= sin? cos ? ? cos? sin ? ? 5 ? 3 ? 12 ? 4 ? ? 33 … … … … … … …12 13 5 13 5 65



17 解:用 A 表示“乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”, Ak 表示“第 k 局乙获胜”, Bk 表

示“第 k 局甲获胜”,则

2 P( Ak ) ? 3 ,

1 P(Bk ) ? 3 ,

k ? 1, 2,3, 4,5



………………1

(Ⅰ) P( A) ? P( A1A2 ) ? P(B1A2 A3) ? P( A1B2 A3 A4 )

? P( A1)P( A2 ) ? P(B1)P( A2 )P( A3) ? P( A1)P(B2 ( A3)P( A4 ) ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 56
3 3 3 3 3 3 3 3 3 81

…………………4



(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3

……………………………5



P( X

?

0)

?

P( A1A2 )

?

2 3

?

2 3

?

4 9



……………………………6

P( X

? 1)

?

P(B1A2 A3 ) ?

P( A1B2 A3 A4 )

?

1? 3

2? 3

2 3

?

2 3

?1? 3

2 3

?

2 3

?

20 81



……………7

P( X ? 2) ? P(B1B2 ) ? P( A1B2 B2 ) ? P( A1B2 A3B4 A5 ) ? P(B1 A2 B3 A4 A5 ) ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 61
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 243
P( X ? 3) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? 14 ………………………9 243


故 X 的分布列为

X

0

1

2

3

P

4

20

61

14

9

81

243

243

? EX ? 0 ? 4 ? 1? 20 ? 2 ? 61 ? 3? 14 ? 224 9 81 243 243 243

……………………………12 分

18.解:(Ⅰ)证明:题知四边形 ABCD 为菱形,O 为菱形中心,连结 OB ,则 AO ? OB ,

因 ?BAD ? ? ,故 OB ? AB ?sin ?OAB ? 2sin ? ? 1

3

6



……………………………1

又因为 BM ? 1 ,且 ?OBM ? ? ,在 ?OBM 中

2

3

OM 2

? OB2 ? BM 2 ? 2OB ? BM ? cos ?OBM

?

12

?

? ??

1 2

?2 ? ?

?

2

?1?

1 2

?

cos

? 3

?

3 4

…3



所以 OB2 ? OM 2 ? BM 2 ,故 OM ? BM 即 OM ? BC

………………………4 分

又顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O 有 SO ? 平面ABCD ,

所以 SO ? BC ,


……………………………5

从而 BC 与平面 SOM 内两条相交直线 OM,SO 都垂直,所以 BC ? 平面SOM ………6 分 (Ⅰ)法二如图 2,连结 AC, BD ,因 ABCD 为菱形,则 AC BD ? O ,且 AC ? BD ,

以 O 为坐标原点, OA, OB,OS 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,

建立空间直角坐标系 o ? xyz ,

……………………………2 分

因 ?BAD ? ? ,故 OA ? AB ? cos ? ? 3,OB ? AB ?sin ? ? 1,

3

6

6

z

S

D

C

S

A

B

所以

如图 1

D

C

A

x

如图 2

O M
B
y

? ? ? ? ? ? O ?0,0,0?, A 3,0,0 , B ?0,1,0?,C ? 3,0,0 ,OB ? ?0,1,0?, BC ? ? 3, ?1,0 . …3



由 BM

? 1 , BC ? 2 知, BM 2

?

1 4

BC

?

? ???

?

3 4

,

?

1 4

,

0

? ???

从而 OM

? ? OB ? BM ? ??? ?

3 4

,

3 4

,

0

? ???

,即

M

? ???

?

3 4

,

3 4

,

0

? ??? .



题意及如图 2 知 SO ? AB ,有

…………………4

SO ? SA2 ? OA2 ? 15 ? 3 ? 3 , OS ? (0, 0, 3 )

4

2

2



………………………5

?OS ? BC ? 0,OM ? BC ? 0, 所以 BC ? 平面SOM


……………………………6

? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, AS ? ??? ?

3, 0,

3 2

? ??? ,

MS

?

? ???

3 ,? 3, 44

3 2

? ???

,

CS

? ? ???

3, 0,

3 2

? ???

,

设平面 ASM 的法向量为 n1 ? ? x1, y1, z1 ? ,平面 SMC 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? …8



?



n

?

AS

?

0,

n

?

MS

?

0,



???

3x1 ?

3 2

z1

?

0

? ??

3 4

x1

?

3 4

y1

?

3 2

z1

?

0

故可取

n1

?

? ???1,

5

3 3

,

? 2 ???

,

………………………………………………9 分

?



n2

?

MS

?

0, n2

? CS

?

0, 得

?? ?

3 4

x2

?

3 4

y2

?

3 2

z2

?

0

? ??

3x2 ?

3 2

z2

?

0

? ? 故可取 n2 ? 1, ? 3, ?2

……………………………………………………11 分

从而法向量

n1, n2

的夹角的余弦值为 cos

?

n1, n2

??

|

n1 n1 |

? n2 ? | n2

|

?

?

15 5

……………13



故所求二面角 A ? SM ? C 的正弦值为 10 . 5

……………………………14 分

19.解:(1)由 an?1 ? 2Tn ? 6 ①得 an ? 2Tn?1 ? 6(n ? 2) ②

②-①:有 an?1 ? an ? 2Tn ? 2Tn?1

…………………………2 分

即 an?1 ? 3an (n ? 2) ,

…………………………4 分

又 a1 ? 6 ,由②有 a2 ? 2T1 ? 6 ? 2a1 ? 6 ? 18 知 a2 ? 3a1

………………5 分

∴数列 ?an ?是以 6 为首项,公比为 3 的等比数列,∴ an ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n …6



(2)由(1)得: 1 ? 1 ? 1 , an 2 3n

……………………………7





Sn

?

1 a1

?

1 a2

?

1 an

?

11 2 (31

?

1 32

?

1 3n

)

?

1 2

?

1 3

(1

?

1 3n

1? 1

)

?

3n ?1 4 ?3n



3

…8 分

(3)证法一:由(2)得:由 1 3n ? Sn

?

4 3n ?1

……………………………9 分

∵ 3n ?1 ? 3? 3n?1 ?1 ? 2 ? 3n?1 ? 3n?1 ?1 ? 2 ? 3n?1


………………………11 分

1 3k ? Sk

?

4? 3k ?1

4

?

2 ? 3k?1 ? 3k?1 ?1

4 2 ? 3k?1

?

2 3k ?1

,

(k

? 1, 2,..., n)

… … … … …12



1

1

3? S1 ? 32 ? S2 ?



1

11

3n

? Sn

?

2(1 ?

? 3

32

?

?

1 3n?1

)

?

2

1

?

1 3n

1? 1

1 ? 3(1? 3n ) ? 3

3

… … …14

证法二:

1 3n ? Sn

?

4 ?4
3n ?1 (3n

3n?1 ?1 ?1)(3n?1 ?1)

2 ? 3n ? 2

?

6

?

(3n

3 ?1)(3n?1 ?1)

?

6

?

(3n

2 ? 3n ?1)(3n?1

?1)

?

6?

(

1 3n ?

1

?

1 3n?1

?

) 1

………………………12 分

11

1

11

11

1

1

? 3? S1

?

32

? S2

?

3n

? Sn

? 6[(31

?1 ? 32

?

) 1

?

(

32

?1 ? 33

)? ?1

?

( 3n

?1

?

3n?1

)] ?1

?

6

?

(

1 2

?

1 3n?1 ?

) 1

?

3

?

6 3n?1 ?

1

?

3

………………………14 分

证法三:当 n ? 1 时,不等式显然成立,



n

?

2

时,令 cn

?

1 3n ? Sn

?

4, 3n ?1

cn

?

4 3n ?1

?

4 3

?

1 3n?1 ?

1

?

1? 3

4 3n?1 ?1

?

1 3 ? cn?1

…11

3



? cn

?

1 3

? cn?1

?

1 32

? cn?2

?

?

1 3n?1

? c1

?

2?

1 3n?1

,

……………………………12



?c1 ? c2 ? ... ? cn

?

2(1 ?

1 3

?

1 32

?

...

?

1 3n?1

)

?

2

?

1

?

1 3n

1? 1

?

3(1

?

1 3n

)

?

3

.

3



… … … …14

综上得命题得证.

证法四:令 cn

?

1 3n ? Sn

?

4 3n ?

1

,

下面用数学归纳法证明,

①当 n ? 1 时,结论显然成立

……………………………9 分

②假设当 n ? k(k ? 1) 时,结论成立,即 c1 ? c2 ? ??? ? ck ? 3 ,

当 n ? k ?1时,

左边= c1

?

c2

?????

ck

?

ck ?1

?

2?

4 3(3 ?

1)

?

4 3(32 ?

1)

?

3

3

?

2

?

1 3

(

3

4 ?

1

?

4 32 ?

1

?

?

4

3k

) ?1

?

2

?

1 3

?3

?

3

所以当 n ? k ?1 时,结论也成立

?4 3(3k ? 1) 3
……………………………13



综合①、②可知 c1

? c2

? ??? ? cn

?

3即

1 3? S1

?

1 32 ? S2

?

1 3n ? Sn

? 3 对 n? N?

都成立.

…14



? ? 20.解:(1)直线 l : y ? 3 x ?1 过两点 ?0,1?, ? 3, 0 3

………………………1 分

因为椭圆 C : x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点在 x 轴时, a2 b2

? ? 故焦点为 ? 3, 0 ,顶点为 ?0,1?

………………………………………2 分.

? b ? 1, c ? 3

………………………………………3 分.

? a ? b2 ? c2 ? 2

………………………………………4 分.

所以,所求椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 4

………………………………………5 分

(2)设

A( x1 ,

y1)(x1 y1

?

0), D(x2,

y2 ) ,则 B(?x1, ? y1) ,直线

AB

的斜率 kAB

?

y1 x1

,…6



又 AB ? AD ,所以直线 AD 的斜率 k ? ? x1 , y1


…………………………………7

设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m ,由题意知 k ? 0, m ? 0 ,

………………………8 分

? y ? kx ? m



? ?

x

2

?? 4

?

y2

,可得 (1? ?1

4k 2 )x2

? 8mkx

?

4m2

?

4

?

0.

所以 x1

?

x2

?

? 8mk 1? 4k 2



因此

y1

?

y2

?

k ( x1

?

x2 ) ?

2m

?

2m 1? 4k 2



…………………………………………9 分

由题意知, x1

?

x2 ,所以 kBD

?

y1 x1

? y2 ? x2

?? 1 4k

?

y1 4x1



……………………………11



所以直线

BD

的方程为

y

?

y1

?

y1 4 x1

(x

?

x1 )



令 y ? 0 ,得 x ? 3x1 ,即 M (3x1, 0) .

可得 kAM

? ? y1 . 2 x1



…………………………………………13

所以 kAM ? ?2kBD ,即 ? ? ?2 .因此存在常数 ? ? ?2 使得结论成立.


………………14

21.解:(Ⅰ)当

a=0

时,

f

(x)

?

x2 ln x

(x

?

0,

x

?

1)



f

?( x)

?

x ?2 ln x ?1? ?ln x?2

(x

?

0,

x

?

1)

…1 分

令f ?(x) ? 0得x> e,令f ?(x)<0得0<x< e且x?1

… … … … … … …2


? ? ? ? ? f (x)的单调减区间为:?0,1?, 1, e ;单调增区间为 e, ??

……………4



(Ⅱ)当 a=1时, h(x) ? ln(x ?1) ? x(x ? 0),

…………………5



(i) k ? 0时,取x ? 1, h(1) ? ln 2 ?1 ? 0,知 h(x) ? kx2 不恒成立,? k ? 0 舍去 …6



?当k ? 0,设g(x) ? h(x) ? kx2 ? ln(x ?1) ? x ? kx2

则 g?(x) ? 1 ?1? 2kx ? ?x(2kx ? 2k ?1)

x ?1

x ?1



…………………7



g ?( x)

?

0得

x1

?

0,

x2

?

?

2k ?1 2k

?

?1

若x2

?

?

2k ?1 2k

?

0,即k

?

-

1 2

,g? ?

x?>0在x ?

?0,

?? ? 上恒成立

? g ? x?在?0, ???上是增函数,从而有g ? x? ? g ?0? =0,即h ? x? ? kx2在?0, ??? 恒成立

?k ? - 1 2


…………………8

若x2

?

?

2k ?1 2k

?

0,即-

1 2

<k<0,当x

?

? ??

0,

?

2k ?1 2k

??? 时,g? ?

x ? <0,

?g

?

x?



? ??

0,

?

2k ? 2k

1

? ??

上单调递减

?

当取x 0

?

? ??

0,

?

2k ? 2k

1

? ??

时,g

?

x0

?<g ?0? =0,即h ? x0

?

?

kx02不成立

? ? 1 ? k ? 0不合舍去 2

… … … … … …9



综上:?k ? - 1 2

…………………10 分

(ii)要证明

x1 ? x2

? x1 ? x2 ? 2

h(x1) ? h(x1) ? x1 ? x2

2

只需证明 (x1 ? 1) ? (x2 ? 1) ? (x1 ? 1) ? (x2 ? 1)

ln(x1 ? 1) ? ln(x2 ? 1)

2

只需证明

( x1 ( x1

? 1) ? 1)

? ?

( x2 ( x2

? 1) ? 1)

?

1 2

? ln( x1

? 1)

?

ln( x2

?1)?



…………………11

(x1 ? 1) ?1

即证明 (x2 ? 1) ? 1 ln x1 ? 1 ,令 t ? x1 ? 1 (t ? 1) ,则需证明 t ?1 ? 1 ln t ? 0 …12

(x1 ? 1) ? 1 2 x2 ? 1

x2 ?1

t ?1 2

(x2 ? 1)



令?(x) ?

t ?1 ? t ?1

1 ln t(t 2

? 1) ,则? ?(x) ?

? (t ?1)2 2t(t ? 1)2

? 0 ??(t)在(1,? ?)上单调递减

??(t) ? ?(1) ? 0即 t ?1 ? 1 ln t ? 0 t ?1 2

故不等式

x1 ? x2

? (x1 ? 1) ? (x2 ? 1) 得证

ln(x1 ? 1) ? ln(x2 ? 1)

2


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